高中數(shù)學(xué)第2章幾個重要的不等式33.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案北師大版選修4-5-北師大版高

1、3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題.2. 了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件，會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式( 難點 ) 教材整理貝努利不等式定理閱讀教材p38p39“練習(xí)”以上部分，完成下列問題定理對任何實數(shù)x 1 和任何正整數(shù)n，有 (1 x)n1nx. 在貝努利不等式中當(dāng)x0 時，n為大于 1 的自然數(shù)，不等式形式將有何變化？ 解當(dāng)x0 時，不等式將變成等式，即(1 x)n1nx. 貝努利不等式的簡單應(yīng)用【例 1】設(shè)ba0，nn，證明：banna(ba) 1. 精彩點撥 由ba0，令 1xba(x0)，利用貝努利不等式證明 自主解答 由b

2、a0，知ba1，令 1xba(x0)，則xba1，由貝努利不等式(1 x)n1nx，ban(1 x)n1nx1nba1 ，故banna(ba)1. 利用 1xba代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件. 1試證明11n 12n+1 1 1n1與 11n1n+1 11nn (nn) 證明 由nn，n12.由貝努利不等式，得(1)11n12n+1 1 n1n1211n 1. (2) 由(1) 得11n1n+111n1n+1 1 1n1，故 11n1n+1 11n1-nn1nn 11nn. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例 2】試證明： 2n2n2(nn) 精彩點撥 驗證n1，2，3時，不等式成立假設(shè)nk成立，

3、推證nk1nk1成立，結(jié)論得證 自主解答 (1) 當(dāng)n1 時，左邊 2124，右邊 1，左邊 右邊；當(dāng)n2 時，左邊 222 6，右邊 224，所以左邊 右邊；當(dāng)n3 時，左邊 232 10，右邊 329，所以左邊 右邊因此當(dāng)n 1,2,3時，不等式成立(2) 假設(shè)當(dāng)nk(k3 且kn)時，不等式成立當(dāng)nk1 時，2k+12 22k2 2(2k2) 22k22 k22k 1k22k 3 (k22k1)(k1)(k3)( 因k3，則k30，k10) k22k 1(k 1)2. 所以 2k+12(k1)2. 故當(dāng)nk1 時，原不等式也成立根據(jù) (1)(2)知，原不等式對于任何nn都成立通過本例可知

4、，在證明nk1 時命題成立的過程中，針對目標(biāo)k22k1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍k1 太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟把驗證n1擴(kuò)大到驗證n 1，2，3 的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo) . 2已知sn112131n(n1，n n) ，求證：s2n1n2(n2，nn) 證明 (1) 當(dāng)n 2 時，s2211213142512122，即n 2時命題成立(2) 假設(shè)nk時命題成立，即s2k1121312k1k2. 當(dāng)nk1 時，s2k+11121312k12k112k+11k22k2k2k1k2121k12. 故當(dāng)nk1 時，命題也成立由(1)(

5、2)知，對nn，n2，s2n1n2都成立探究性問題【例 3】設(shè)f(n) 112131n，由f(1) 112，f(3)1 ，f(7)32，f(15)2 ，.(1) 你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；(2) 是否存在一個正數(shù)t，使對任意的正整數(shù)n，恒有f(n)n2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1 時，f(211)f(1) 112，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn) 時不等式成立，即f(2k 1)k2，則f(2k+11) f(2k1) 12k12k112k+1212k+11f(2k1) 12k212k12. 當(dāng)nk1 時不等式也成立據(jù)知，對任何nn原不等式均成立(2) 對任意給定的正數(shù)t，設(shè)它的整數(shù)部分為

6、t，記mt 1，則mt. 由(1) 知，f(22m1)m，f(22m1)t，這說明，對任意給定的正數(shù)t，總能找到正整數(shù)n( 如可取假設(shè)中n為 2m) ， 使得f(n) t， 不存在正數(shù)t， 使得對任意的正整數(shù)n， 總有f(n)a24對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論 解當(dāng)n1 時，111112131 1a24，則2624a24，a2524. (1)n1 時，已證(2) 假設(shè)當(dāng)nk時，1k11k213k12524. 當(dāng)nk1 時，1k1 11k1 213k113k 213k313k 1 11k11k213k113k213k313k41k1252413k213k423k1.

7、13k213k 46k19k218k823k1，13k213k 423k10，1k1 11k1 213k1 12524也成立由(1) ，(2) 可知，對一切nn，都有1n11n213n12524，a的最大值為25. 1用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2(n5，nn) 成立時第二步歸納假設(shè)的正確寫法是( ) a假設(shè)nk時命題成立b假設(shè)nk(kn) 時命題成立c假設(shè)nk(k5)時命題成立d假設(shè)nk(k5) 時命題成立 解析 由題意知n5，nn，應(yīng)假設(shè)nk(k5)時命題成立 答案 c 2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1121312n1f(n)(n2，nn) 的過程，由nk到nk 1 時，左邊增加了( ) a1 項b

8、k項c2k-1項d2k項 解 析 11213 12k+111121312k112k12k112k2 12k+11. 共增加2k項 答案 d 3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1121412n-112764成立，起始值至少取( ) a7 b8 c9 d10 解析 左邊等比數(shù)列求和sn112n1122 112n12764，即 112n127128，12n1128，12n127. n7，n取 8，選 b. 答案 b 4用數(shù)學(xué)歸納法證明1121312n11) 時，第一步即證明不等式_成立 解析 因為n1，所以第一步n2，即證明112132 成立 答案 112132 5證明： 112131n2n(nn) 證明 (1)