高中數(shù)學(xué)3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案新人教A版選修1-1-新人教A版高二選修1-1數(shù)學(xué)

1、【金版學(xué)案】 2015-2016 學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案新人教 a版選修 1-1 ?基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的最大值與最小值一般地，如果在區(qū)間a，b 上函數(shù)yf(x) 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值 和最小值 函數(shù)的最值必在極值點(diǎn) 或區(qū)間端點(diǎn) 取得2求函數(shù)yf(x) 在區(qū)間 a，b 上的最大值與最小值的一般步驟：(1) 求函數(shù)yf(x) 在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)的 極值 ；(2) 將函數(shù)yf(x) 的各 極值 與端點(diǎn) 處的函數(shù)值f(a)，f(b) 比較，其中最大的一個(gè)是最大值 ，最小的一個(gè)是最小值 . 3極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系：(1) 極值與最值是不同的，極值只

2、是相對(duì)一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而最值是相對(duì)于整個(gè)定義域或所研究問題的整體性質(zhì)；(2) 函數(shù)的最值通常在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值；(3) 求函數(shù)的最值一般需要先確定函數(shù)的極值因此函數(shù)極值的判斷是關(guān)鍵，如果僅僅是求最值， 可將導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值直接求出并進(jìn)行比較，也可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值,?自測自評(píng)1函數(shù)f(x) x33x(|x| 1)( c) a有最大值，但無最小值b有最大值，也有最小值c.無最大值，也無最小值d無最大值，但有最小值解析：f(x) 3x23. 當(dāng)|x| 1，f(x) 0，函數(shù)f(x) 在(1，1) 上單調(diào)遞減，故選c.2函數(shù)f(x

3、) x2 4x1 在區(qū)間 3 ，5 上的最大值和最小值分別是4， 4解析： 令f(x) 2x40，則x2，f(x) 在3 ，5 上是單調(diào)函數(shù)，排除f(2) ，比較f(3) ，f(5) ，即得3函數(shù)yxln x在1 ，3 內(nèi)的最小值為0解析：y ln x1，x1 ，3 ，y 0，函數(shù)yxln x在1 ，3 內(nèi)是遞增函數(shù)，當(dāng)x1 時(shí)，ymin0. 1. 函數(shù)f(x) x33x1在閉區(qū)間 3， 0 上的最大值、最小值分別是( c) a1， 1 b1， 17 c3， 17 d 9， 19 解析： 根據(jù)求最值的步驟，直接計(jì)算即可得答案為c.2已知f(x) 12x2cos x，x 1，1 ，則導(dǎo)函數(shù)f(x

4、) 是( d) a僅有最小值的奇函數(shù)b既有最大值又有最小值的偶函數(shù)c僅有最大值的偶函數(shù)d既有最大值又有最小值的奇函數(shù)解析： 求導(dǎo)可得f(x) xsin x，顯然f(x) 是奇函數(shù)，令h(x) f(x) ，則h(x)xsin x，求導(dǎo)得h(x) 1cos x，當(dāng)x 1，1 時(shí)，h(x) 0，所以h(x) 在 1，1 上單調(diào)遞增，有最大值和最小值所以f(x) 是既有最大值又有最小值的奇函數(shù)故選d. 3函數(shù)f(x) x2ax1 在點(diǎn) 0 ，1 上的最大值為f(0) ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析： 依題意有：f(0) f(1) ，即 12a，所以a 1. 答案： ( ， 1 4求下列函數(shù)的最值：(1)

5、f(x) x32x，x 1，1 ；(2)f(x) (x1)(x 2)2，x0 ，3 ，解析： (1) 當(dāng)x 1，1 時(shí)，f(x) 3x220，則f(x) x3 2x在x 1，1 上單調(diào)遞增 因而f(x) 的最小值時(shí)f( 1) 3，最大值是f(1) 3. (2) 因?yàn)閒(x) (x 1)(x2)2x35x28x 4，所以f(x) (3x4)(x2) 令f(x) (3x4)(x2) 0，得x43或x2，f(0) 4，f43427，f(2) 0，f(3) 2，f(x) 的最大值是2，最小值時(shí)4. 5 已知函數(shù)f(x) x3ax24在x 2處取得極值， 若m，n 1， 1 ， 求f(m) f(n)的最

6、小值解析： 求導(dǎo)得f(x) 3x22ax，由函數(shù)f(x) 在x2 處取得極值知f(2) 0，即34 2a20，a3. 由此可得f(x) x33x24，f(x) 3x26x，易知f(x) 在 ( 1，0) 上單調(diào)遞減，在(0 ， 1)上單調(diào)遞增，當(dāng)m 1，1 時(shí)，f(m)minf(0) 4. 又f(x) 3x26x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x1. 當(dāng)n 1，1 時(shí)，f(n)minf( 1) 9. 故f(m) f(n) 的最小值為13. 1函數(shù)f(x) x33x在(0 ， ) 上的最小值是( a) a4 b 5 c3 d 1 2當(dāng)x 1，2 時(shí)，x312x22xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( b

7、) a2 ， ) b(2 ，)c( ， 2 d ( ， 2) 解析： 這是函數(shù)最值的簡單應(yīng)用，令f(x) x312x22x，x 1，2 ，則問題轉(zhuǎn)化為求f(x) 得最大值， 不難求得f(x)maxf(2) 2，則m2. 3函數(shù)yln xx的最大值為 ( a) ae1 b e ce2 d.103解析： 令y（ ln x）xln xxx21ln xx20，xe，當(dāng)xe 時(shí)，y 0；當(dāng)xe 時(shí)，y 0，y極大值f(e) 1e，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax1e. 4在區(qū)間12，2 上，函數(shù)f(x) x2pxq與g(x) 2x1x2在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f(x) 在12，2 上的最大值是

8、( d) a.134 b.54c8 d 4 解析： 由g(x) 22x30，得，x1，因?yàn)間125，g(1) 3，g(2) 174，所以，當(dāng)x1 時(shí)，g(x)ming(1) 3. 于是p2 1，1pq3，解得，p 2，q4. 因此，f(x)x22x4(x1)23，故當(dāng)x2 時(shí)，f(x)maxf(2) 4. 5對(duì)于 r上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x) ，若滿足 (x1)f(x) 0，則必有 ( c) af(0) f(2) 2f(1) bf(0) f(2) 2f(1) cf(0) f(2) 2f(1) df(0) f(2) 2f(1) 解析： 依題意，當(dāng)x1 時(shí)，f(x) 0，函數(shù)f(x) 在(1 ， )

9、 上是增函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f(x) 0，f(x)在( ，1)上是減函數(shù) 故f(x) 在x1時(shí)取得最小值， 即有f(0) f(1) ，f(2) f(1) 6函數(shù)f(x) 12ex(sin xcos x) 在區(qū)間0，2上的值域?yàn)?( a) a.12，12e2 b.12，12e2c.1，e2 d.1，e27函數(shù)y12x21x(x0) 的最小值是 _解析： 直接計(jì)算，得ymin32. 答案：328若函數(shù)f(x) x33xa在區(qū)間 0 ，3 上的最大值、最小值分別是m、n，則mn的值為 _解析： 令f(x) 3x230，解得x1 或x 1. 因?yàn)閒(0) a，f(1) 2a，f(3) 18a，所以n 2a

10、，m18a，所以mn 20. 答案： 20 9已知函數(shù)f(x) x22x3 在區(qū)間 a，2 上的最大值為154，則a等于 _解析：f(x) (x1)24. f(x) 的開口向下，對(duì)稱軸為x 1，當(dāng)x 1，f( 1) 4154，a 1. f(x) 在a， 2 是減函數(shù)f(a) 154，解得a12，或a32( 舍去 ) 答案： 1210設(shè)函數(shù)f(x) ln xln(2 x) ax(a0) (1) 當(dāng)a1 時(shí)，求f(x) 的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x) 在(0，1 上的最大值為12，求a的值解析： 函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?(0 ，2)，f(x) 1x12xa. (1) 當(dāng)a1 時(shí)，f(x) x22

11、x（2x），所以f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 ，2) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，2)(2) 當(dāng)x(0， 1 時(shí)，f(x) 2 2xx（2x）a0，即f(x) 在(0 ，1 上單調(diào)遞增，故f(x) 在(0 ，1 上的最大值為f(1) a，因此a12. 11設(shè)函數(shù)f(x) ax3bxc(a0) 為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1) 處的切線與直線x6y70 垂直，導(dǎo)函數(shù)f(x) 的最小值為 12. (1) 求a，b，c的值；(2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x) 在 1，3 上的最大值和最小值解析： (1) f(x) 為奇函數(shù)，f(x) f(x) ，即ax3bxcax3bxc，c0.

12、f(x) 3ax2b的最小值為12，b 12. 又直線x6y70 的斜率為16，因此f(1) 3ab 6，解得a2. 故a2，b 12，c0. (2)f(x) 2x312x，f(x) 6x2126(x2)(x2) ，令f(x) 0，得x2或x2. 在 1，3 上，當(dāng)x變化時(shí)，f(x) 與f(x) 的變化情況如下表：函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為( ，2) ，(2， ) f( 1) 10，f(3) 18，f(2) 82；當(dāng)x2時(shí)，f(x) 取得最小值為82. 當(dāng)x3 時(shí)，f(x) 取得最大值為18. 12設(shè) r，函數(shù)f(x)ax33x2. (1) 若x2 時(shí)函數(shù)yf(x) 的極值點(diǎn)，求a的值；(

13、2) 若函數(shù)g(x)f(x) f(x) ，x0 ，2 ，在x0 處取得最大值， 求a的取值范圍解析： ( 1)f(x) 3ax26x3x(ax2) 因?yàn)閤2 是函數(shù)yf(x) 的極值點(diǎn)，所以f (2) 0，即 6(2a2) 0，因此a1. 經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a1 時(shí)，x2 是函數(shù)yf(x) 的極值點(diǎn)(2) 由題設(shè)，g(x) ax33x2 3ax26xax2(x3) 3x(x2) 當(dāng)g(x) 在區(qū)間 0 ，2 上的最大值為g(0) 時(shí)，g(0) g(2) ，即 020a24. 故得a65. 反之，當(dāng)a65時(shí)，對(duì)任意x0 ， 2 ，g(x) 65x2(x3) 3x(x 2)3x5(2x2x 10) 3x5

14、(2x 5)(x2)0，而g(0) 0，故g(x) 在區(qū)間 0 ，2 上的最大值為g(0) 綜上，a的取值范圍為，65. ?體驗(yàn)高考1(2014安徽卷 ) 設(shè)函數(shù)f(x) 1(1 a)xx2x3，其中a0. (1) 討論f(x) 在其定義域上的單調(diào)性；(2) 當(dāng)x0 ， 1 時(shí)，求f(x) 取最大值和最小值時(shí)的x的值解析： (1)f(x)的定義域?yàn)?( ， ) ，f(x) 1a2x3x2. 令f(x) 0，得x1143a3，x2143a3，x1x2，所以f(x) 3(xx1)(xx2) 當(dāng)xx1或xx2時(shí)，f(x) 0；當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x) 0. 故f(x) 在( ，x1) 和(x2， )

15、 內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2) 內(nèi)單調(diào)遞增(2) 因?yàn)閍 0，所以x10，x20. 當(dāng)a4 時(shí)，x21，由 (1) 知，f(x) 在 0 ，1 上單調(diào)遞增，所以f(x) 在x0 和x1處分別取得最小值和最大值當(dāng) 0a 4，時(shí)，x21，由(1) 知，f(x) 在0 ，x2 上單調(diào)遞增， 在x2，1 上單調(diào)遞減，所以f(x)在xx2143a3處取得最大值又f(0) 1，f(1) a，所以當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x) 在x1 處取最小值；當(dāng)a1 時(shí)，f(x) 在x0 處和x 1處同時(shí)取得最小值；當(dāng) 1a4 時(shí)，f(x) 在x0 處取得最小值2(2014江西卷 ) 已知函數(shù)f(x) (4x24axa2)x

16、，其中a0. (1) 當(dāng)a 4 時(shí)，求f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 若f(x) 在區(qū)間 1 ，4 上的最小值為8，求a的值解析： (1) 當(dāng)a 4 時(shí)，由f(x)2（5x2）（x2）x0 得x25或x2. 由f(x) 0 得x0，25或x(2， ) ， 故函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為0，25和(2 ，) (2) 因?yàn)閒(x)（ 10 xa）（ 2xa）2x，a0，由f(x) 0 得xa10或xa2. 當(dāng)x0，a10時(shí) ，f(x) 單 調(diào) 遞 增 ； 當(dāng)xa10，a2時(shí) ，f(x) 單 調(diào) 遞 減 ；x a2，時(shí)，f(x) 單調(diào)遞增，易知f(x) (2xa)2x0，且fa20. 當(dāng)a21，

17、即2a0 時(shí)，f(x) 在1 ，4 上最小值為f(1) ，由f(1) 44aa2 8，得a 222，均不符合題意當(dāng) 1a24，即 8a 2 時(shí)，f(x) 在1 ，4 上的最小值為fa2 0，不符合題意當(dāng)a24，即a 8 時(shí)，f(x) 在1 ，4 的最小值可能在x1 或x4 上取得，而f(1) 8，由f(4) 2(64 16aa2) 8 得a 10 或a 6( 舍去 ) ，當(dāng)a 10 時(shí)，f(x)在(1 ，4) 上單調(diào)遞減，f(x) 在1 ， 4 上的最小值為f(4) 8，符合題意綜上有a 10. 3已知函數(shù)f(x) ax3bxc在x2 處取得極值為c16. (1) 求a、b的值；(2) 若f(x) 有極大值28，求f(x) 在 3， 3 上的最小值解析： (1) 因?yàn)閒(x) ax3bxc，故f(x) 3ax2b. 由于f(x) 在點(diǎn)x2 處取得極值c16，故有f（ 2） 0，f（2）c16，即12ab0，8a2bcc 16，化簡得12ab0