北京市西城區(qū)(北區(qū))2012-2013學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷(20211202003600)

1、北京市西城區(qū)（北區(qū)）20122013 學年下學期高一期末考試數(shù)學試卷試卷滿分： 150 分考試時間： 120 分鐘一、本大題共10 小題，每小題4 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1. 在數(shù)列na中，12nnaa，且11a，則4a等于（）（ a）8 （b） 6 （c）9 （ d） 7 2. 將一根長為3m 的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m 的概率是（）（ a）14（b）13（c）12（ d）233. 在 abc 中，若222abc，則 abc 的形狀是（）（ a）銳角三角形（b）直角三角形（c）鈍角三角形（d）不能確定4. 若0ab，則下列不等

2、式中成立的是（）（ a）33ab（b）ab（c）11ab（d）11ab5. 若實數(shù) x，y 滿足10,0,0,xyxyx則2zxy的最小值是（）（ a）12（b）0 （c）1 （d） 1 6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s 的值為（）（ a）2 （ b）12（ c） 3 （ d）237. 已知 100 件產(chǎn)品中有5 件次品， 從中任意取出3 件產(chǎn)品， 設 a 表示事件 “3 件產(chǎn)品全不是次品” ，b 表示事件 “3件產(chǎn)品全是次品” ，c 表示事件 “3件產(chǎn)品中至少有1 件次品 ” ，則下列結論正確的是（）（ a）b 與 c 互斥（b）a 與 c 互斥（ c）任意兩個事件均互斥（d）任意兩個事

3、件均不互斥8. 口袋中裝有三個編號分別為1， 2，3 的小球，現(xiàn)從袋中隨機取球，每次取一個球，確定編號后放回，連續(xù)取球兩次。則“ 兩次取球中有3號球 ” 的概率為（）（ a）59（b）49（c）25（d）129. 設 o 為坐標原點，點a（ 4，3），b 是 x 正半軸上一點，則oab 中obab的最大值為（）（ a）43（b）53（c）54（d）4510. 對于項數(shù)為m 的數(shù)列na和nb，記 bk為12,(1,2,)ka aakm中的最小值。給出下列判斷：若數(shù)列nb的前 5 項是 5，5，3，3，1，則43a；若數(shù)列nb是遞減數(shù)列，則數(shù)列na也一定是遞減數(shù)列；數(shù)列nb可能是先減后增數(shù)列；若1

4、(1,2,.,)km kbac km，c 為常數(shù)，則(1,2,.,)iiab im。其中，正確判斷的序號是（）（ a）（b）（c）（d）二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分。把答案填在題中橫線上。11. 不等式220 xx的解集為 _。12. 在 abc 中，2,3,150bca，則 a=_。13. 某校高一年級三個班共有學生120 名，這三個班的男、女生人數(shù)如下表。已知在全年級學生中隨機抽取1 人，抽到二班女生的概率是0.2。則 x=_；現(xiàn)用分層抽樣的方法在全年級抽取30 名學生，則應在三班抽取的學生人數(shù)為_。一班二班三班女生人數(shù)20 x y 男生人數(shù)20 20 z 14

5、. 甲、乙兩人各參加了5 次測試，將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數(shù)相等，則m=_ ；乙得分的方差等于_。15. 設na是等差數(shù)列，sn為其前 n 項的和。若533,27as，則1a_；當 sn取得最小值時，n=_。16. 當 x 1， 9時，不等式22332xxxkx恒成立，則k 的取值范圍是_。三、解答題：本大題共6 小題，共80 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分13 分）在等比數(shù)列na中，12236,12aaaa。（）求數(shù)列na的通項公式；（）設nb是等差數(shù)列， 且 b2 =a2， b4=a4。 求數(shù)列nb的公差，并

6、計算1234100.bbbbb的值。18. （本小題滿分13 分）某市某年一個月中30 天對空氣質量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （）完成下面的頻率分布表；（）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a 的值；（） 在本月空氣質量指數(shù)大于等于91 的這些天中隨機選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質量指數(shù)在區(qū)間101， 111）內的概率。分組頻數(shù)頻率41，51）2 23051，61）3 33061，71）4 4307

7、1，81）6 63081，91）91，101）101，111）2 23019. （本小題滿分13 分）在 abc 中， a，b，c 分別為角a，b，c 所對的邊，已知c=3，3c。（）若sinb=2sina ，求 a，b 的值；（）求a2+b2的最大值。20. （本小題滿分14 分）已知函數(shù)( )(1)(1)f xaxx。（）當a=1 時，求( )f x在區(qū)間 1，2上的值域；（）若函數(shù)( )f x在區(qū)間1,上是減函數(shù)，求a 的取值范圍；（）解關于x 的不等式( )0f x。21. （本小題滿分14 分）設數(shù)列na的前 n 項和為 sn，且1*12( ),2nnsnn。（）求數(shù)列na的通項公式

8、；（）設數(shù)列(215)nnbna。（ i）求數(shù)列nb的前 n 項和 tn；（ ii）求 bn的最大值。22. （本小題滿分13 分）對于數(shù)列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定義 “t變換 ” ：t 將數(shù)列 a 變換成數(shù)列b：b1，b2，b3，其中1(1,2)iiibaai，且331baa。這種 “t變換 ” 記作 b=t（a），繼續(xù)對數(shù)列b進行 “t變換 ” ，得到數(shù)列c：cl， c2， c3，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0 時變換結束。（）寫出數(shù)列a：2， 6，4 經(jīng)過 5 次“t變換 ” 后得到的數(shù)列；（）若a1， a2， a3不全相等，判斷數(shù)列a：a1，a2，a3經(jīng)過不

9、斷的 “t 變換 ” 是否會結束，并說明理由；（）設數(shù)列a： 400， 2，403 經(jīng)過 k 次“t變換 ” 得到的數(shù)列各項之和最小，求k 的最小值?！驹囶}答案】一、選擇題：本大題共10 小題，每小題4分，共 40 分。1. d 2. b 3. c 4. c 5. a 6. d 7. b 8. a 9. b 10. b 二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分，11. 1|02xx12. 1313. 24 9 14. 6，8.4 15. 11，6 16. ,13注：一題兩空的試題，第一空2 分，第二空3 分：三、解答題：本大題共3 小題，共36 分，17. 解：（）設等比數(shù)列n

10、a的公比為q，由已知，211116,12aa qa qa q 2 分兩式相除，得q=2。 4 分所以 a1=2， 6 分所以數(shù)列na的通項公式2nna。 7 分（）設等差數(shù)列nb的公差為d，則114,316bdbd 9 分解得12,6bd11 分1234100123499100.()().()bbbbbbbbbbb 12 分50300d 13 分18. 解：（）如下圖所示。4 分（）如下圖所示。6 分由己知，空氣質量指數(shù)在區(qū)間71，81）的頻率為630，所以 a= 0.02。 8 分分組頻數(shù)頻率81，91）10 103091，101）3 330（）設a 表示事件 “ 在本月空氣質量指數(shù)大于等于

11、91 的這些天中隨機選取兩天，這兩天中至少有一天空氣質量指數(shù)在區(qū)間101，111）內 ” ，由己知，質量指數(shù)在區(qū)間91，101）內的有 3 天，記這三天分別為a， b，c，質量指數(shù)在區(qū)間101，111）內的有 2 天，記這兩天分別為d， e，則選取的所有可能結果為：（ a，b），（ a，c），（ a， d），（ a，e），（ b，c），（ b，d），（ b，e），（ c，d），（ c，e），（ d，e）?；臼录?shù)為10。10 分事件 “ 至少有一天空氣質量指數(shù)在區(qū)間101， 111）內 ” 的可能結果為：（ a，d），（ a，e），（ b，d），（ b，e），（ c，d），（ c，e），（

12、d，e）?；臼录?shù)為7，12 分所以7( )0.710p a13 分19. 解：（）因為sin b=2sina ，由正弦定理可得b=2a，3 分由余弦定理c2= a2 +b22abcosc， 5 分得 9=a2 +4a22a2， 7 分解得 a2=3， 8 分所以3,22 3aba9 分（）由余弦定理c2= a2 +b22abcosc，得 ab=a2+b29，10 分又 a2 +b2 2ab ，11 分所以 a2+b2 18 ，當且僅當a=b 時，等號成立。12 分所以 a2+b2的最大值為18。13 分20. 解：（）當a=l 時，2( )1f xx，函數(shù)( )f x在區(qū)間(,0上單調遞減

13、，在區(qū)間0,上單調遞增所以，( )fx在區(qū)間1,2上的最小值為(0)1f 2 分又(2)( 1)ff。所以( )f x在區(qū)間1,2上的最大值為(2)3f3 分( )f x在區(qū)間1,2上的值域為1,34 分（）當a=0 時，( )1f xx，在區(qū)間1,上是減函數(shù)，符合題意5 分當0a時，若函數(shù)( )f x在區(qū)間1,上是減函數(shù)，則0a，且11a，7 分所以 1a 1。10 分當 a0 時，1()(1)0 xxa，解得11xa 11 分當 a0 時，不等式的解集為1|1xxa; 當 a=0 時，不等式的解集為|1x x；當 1a0 時，不等式的解集為1|1x xxa或; 當 a = 1 時，不等式的

14、解集為|1x x當 a1 時，不等式的解集為1|1x xxa或21. 解：（）由已知，當n=1 時，111as。1 分當2n時，1nnnass 2 分1211112( )2()( )222nnn3 分綜上，1*1( ),2nnann 4 分（）（ i）11(215)().2nnbn所以2111113( 11)( 9)().(215)()222nntn5 分2111111( 13)( 11)().(217)()(215)()22222nnntnn 6 分兩式相減，得21111111322( ).2( )(215)()22222nnntn8 分211111132().()(215)()2222nn

15、n2111132( )(215)()(112 )()11222nnnnn所以11(112 )()222nntn 10 分（ ii）因為11111(213)()(215)()(172 )()222nnnnnbbnnn 11 分令10nnbb，得172n12 分所以129.bbb，且910.bb，即9b最大， 13 分又8991333( )2256ba。所以，nb的最大值為325614 分22. 解：（）依題意，5 次變換后得到的數(shù)列依次為4，2，2；2，0，2；2， 2，0；0，2，2；2，0， 2 3 分所以，數(shù)列a：2，6，4 經(jīng)過 5 次“t變換 ” 后得到的數(shù)列為2，0，2， 4 分（）

16、數(shù)列a 經(jīng)過不斷的 “t變換 ” 不可能結束設數(shù)列 d：d1，d2，d3， e：e1，e2，e3，f：o，0，0，且 t（d）=e，t（e）=f 依題意1223310,0,0eeeeee，所以123eee即非零常數(shù)列才能通過“t變換 ” 結束。6 分設123eeee（e為非零自然數(shù)）。為變換得到數(shù)列e 的前兩項，數(shù)列d 只有四種可能111:,2 ;dd de de111:,;d d de d111111:,;:,2 ;dd de ddd de de而任何一種可能中，數(shù)列e 的笫三項是o 或 2e。即不存在數(shù)列d，使得其經(jīng)過“t變換 ” 成為非零常數(shù)列。8 分由得，數(shù)列a 經(jīng)過不斷的 “t變換 ” 不可能結束。（）數(shù)列a 經(jīng)過一次 “t變換 ” 后得到數(shù)列b：398，401，3，其結構為a，a+3，3。數(shù)列 b 經(jīng)過 6 次“t變換 ” 得到的數(shù)列分別為：3，a，a3；a3，3，a6：a6，a 9，3;3，a12，a9;a15，3，a12;a18，a15，3。所以，經(jīng)過6 次 “t變換 ” 后得到的數(shù)列也是