集合好題篩選

1、集合 設全集，集合，則( ) . . . .答案：D 已知集合則為（ ） A B C D答案：A 已知全集UR，集合，則（ ） A B C D答案：A 設集合，集合（ ）ABC（1，+）D（-，1）答案：B 設向量集合M=N=則MN=A、 B、 C、 D、解析 法一：令由得同理得N=聯(lián)立故MN=。法二：利用驗證法，若MN=。則 即若MN= ，易確定不適合，故選C已知集合，則集合（ ）A B C D答案：B設，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”。那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”的個數(shù)是（ ）A. 4 B. 8 C. 9 D. 16答案：C若集合具有以下性質(zhì)：，；若

2、，則，且時， 則稱集合是“好集”（1）集合是好集；（2）有理數(shù)集是“好集”；（3）設集合是“好集”，若，則；(4)設集合是“好集”，若，則必有；（5）對任意的一個“好集，若，且，則必有.則上述命題正確的個數(shù)有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個答案：C在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，給出如下四個結(jié)論： ； ； ； 整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A BC D答案：C若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：、；對于的任意子集、，當且時，有；對于的任意子集、，當且時，有；則稱是集合的一個“集合類”.例如：是集合的一個“集合

3、類”。已知集合，則所有含的“集合類”的個數(shù)為 （ ） .A.8 B.9 C.6 D.10答案：D設集合，則下列關(guān)系中不正確的是 A B C D答案：D設常數(shù),集合,若,則的取值范圍為( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B. 已知集合=0,1,2,則集合中元素的個數(shù)是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9【答案】C 設全集,下列集合運算結(jié)果為的是( )(A) (B) (C) (D)【答案】A 已知全集中有m個元素，中有n個元素若非空，則的元素個數(shù)為A B C D 答案：D【解析】因為，所以共有個元素,故選D已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,

4、8，集合B=2,4,5,6,8，則為(A)5,8 (B)7,9 (C)0,1,3 (D)2,4,6【答案】B已知集合A1，3， ，B1，m ，ABA, 則m=（ ）A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 【答案】B設全集，集合，則_?！敬鸢浮吭O集合則滿足且的集合為（ ）（A）57 （B）56 （C）49 （D）8【答案】B若非空集合滿足，且不是的子集，則（ ）A. “”是“”的充分條件但不是必要條件【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】B. “”是“”的必要條件但不是充分條件【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】C. “”是“”的充要條件D. “”既不是“”的充分條件也不是“”必要條件答案

5、：B已知M，N為集合u的非空真子集，且M，N不相等，若=，則（ ）AM BN CI D答案:A已知A，B均為集合U=1,3,5,7,9的子集，且AB=3,BA=9,則A=（A）1,3 (B)3,7,9 (C)3,5,9 (D)3,9【答案】D設集合A=若AB,則實數(shù)a,b必滿足（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】本題主要考查絕對值不等式的解法與幾何與結(jié)合之間的關(guān)系，屬于中等題。A=x|a-1<x<a+1,B=x|x<b-2或x>b+2因為AB,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|3若A、B、C為三個集合，則一定有（A）（B）（

6、C）（D）【正確解答】因為由題意得所以選A已知集合Pa,b,c,Q1,0,1，映射f:PQ中滿足f(b)0的映射個數(shù)共有A、2個B、4個C、6個D、9個答案：D a的象有C31種，c的象有C31種，滿足f(b)0的映射個數(shù)為C31C319.選D有限集合中元素的個數(shù)記做，設都為有限集合，給出下列命題：的充要條件是；的充要條件是；的充要條件是；的充要條件是；其中真命題的序號是A B C D解：Û集合A與集合B沒有公共元素，正確Û集合A中的元素都是集合B中的元素，正確Û集合A中至少有一個元素不是集合B中的元素，因此A中元素的個數(shù)有可能多于B中元素的個數(shù)，錯誤Û

7、集合A中的元素與集合B中的元素完全相同，兩個集合的元素個數(shù)相同，并不意味著它們的元素相同，錯誤,故選B設函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)解：設函數(shù), 集合，若a>1時，M=x| 1<x<a；若a<1時M=x| a<x<1，a=1時，M=；，=>0， a>1時，P=R，a<1時，P=； 已知,所以選C.設S,T,是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數(shù)滿足: 對任意當時,恒有,那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是( )A. B

8、.C. D.【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】【答案】D 設整數(shù),集合.令集合,若和都在中,則下列選項正確的是( )A . , B., C., D., 設集合， 都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個數(shù)中的較小者），則的最大值是（ ）A10 B11 C12 D13【答案】B【解析】含2個元素的子集有15個，但1，2、2，4、3，6只能取一個；1，3、2，6只能取一個；2，3、4，6只能取一個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個。設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,bS,對于有序元素對(a,b)，在S中有唯一確定的元素a*b與

9、之對應）。若對于任意的a,bS,有a*( b * a)=b，則對任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是 （A）( a * b) * a =a (B) a*( b * a) * ( a*b)=a （B）b*( b * b)=b （C）( a*b) * b*( a * b) =b答案：A設集合S=A0，A1，A2，A3，在S上定義運算為：AiAj=Ak,其中k為I+j被4除的余數(shù)，i、j=0,1,2,3.滿足關(guān)系式=（xx）A2=A0的x(xS)的個數(shù)為（ ）A.4 B.3 C.2 D.1解析：由定義A1 A1= A2，A2 A2= A0，x =A1能滿足關(guān)系式，同理x=A3滿足關(guān)系式，選C設a，

10、b，c為實數(shù)，=.記集合S=若，分別為集合元素S，T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是（A）=1且=0 （B）（C）=2且=2 （D）=2且=3【解析】：A 在a=b=0，c0下成立；B在a0，下成立；C 在a0，下成立；D 必須在和同時成立下才成立，故不可能。選D。1.已知集合, .若存在實數(shù)使得成立,稱點為“”點，則“”點在平面區(qū)域內(nèi)的個數(shù)是 ( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 無數(shù)個2.設集合，集合，若中含有3個元素，中至少有2個元素，且中所有數(shù)均不小于中最大的數(shù)，則滿足條件的集合、有（ B ）A、33組B、29組C、16組D、7組3.已知集合，其中，且.則中所有元素之和等于（

11、 D ） A. 3240 B. 3120 C. 2997 D.28894.設集合S=,，在集合S上定義運算+為：+=，其中為+被4除的余數(shù)，則(+)+(+)=(C )A. B. C. D. 5.用()表示非空集合中的元素個數(shù)，定義|=.若=1，2，=|+1|=1，且|=1，由的所有可能值構(gòu)成的集合為S，那么(S)等于（ C ）A.1 B.2 C.3 D.46.定義：若平面點集A中的任一點，總存在正實數(shù)，使得集合，則稱A為一個開集。給出下列集合：；。其中是開集的是（ C ）A B C D 7.集合上定義兩種運算+和×如下+ × 那么×+（A）xO1O2O3O4y(第

12、5題)A. B. C. D.8.如圖，有4個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)， O3(0，2)，O4(2，2)記集合MOii1，2，3，4若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點，則稱 (A，B) 為一個“有序集合對” (當AB時，(A，B) 和 (B，A) 為不同的有序集合對)，那么M中“有序集合對” (A，B) 的個數(shù)是(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 89.設集合,若都是M的含有兩個元素的子集，且滿足：對任意的， 都有：，表示兩個數(shù)中的較小者），則的最大值為（B）A、10B、11C、12D、1310.函數(shù)的定義域為R，且定

13、義如下：（其中M是實數(shù)集R的非空真子集），在實數(shù)集R上有兩個非空真子集A、B滿足，則函數(shù)的值域為 （ B ）A B C D 11.若，且，則稱A是“伙伴關(guān)系集合”在集合的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“伙伴關(guān)系集合”的概率為（ A ）A B C D12.設是R上的一個運算,A是R的非空子集,若對任意有,則稱A對運算封閉,下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是（C）(A)自然數(shù)集 (B)整數(shù)集 (C)有理數(shù)集 (D)無理數(shù)集13.集合，則運算可能是（ B ）A加法 減法 乘法 B 加法 乘法 C加法 減法 除法 D乘法 除法14.對于復數(shù)a,b,c,d,若集合

14、具有性質(zhì)“對任意，必有”，則當時，等于（ B ） A.1 B.-1 C.0 D.i15.設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,bS，對于有序元素對（a,b）,在S中有唯一確定的元素a*b與之對應），若對任意的a,bS,有a*(b*a)=b,則對任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是（ A ） A.（a*b）*a=a B.a*(b*a)*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)* b*(a*b)=b16.設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是（ A）A中至少有一

15、個關(guān)于乘法是封閉的B中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D中每一個關(guān)于乘法都是封閉的17.設集合，定義集合 ，已知,則的子集為 ( D ) A. B. C. D. 18.設集合I=1，2，3，AI,若把集合MA=I的集合M叫做集合A的配集，則A=1，2的配集有（ D ）個 A，1 B，2 C，3 D，4 19.設A、B是非空集合，定義A×B=且，己知A=，B=，則A×B等于（ A ）A(2，+) B0，12，+) C0，1)(2，+) D01(2，+)20.已知集合，函數(shù)的定義域、值域都是，且對于任意，. 設是的任意一個排列，定義數(shù)表，若兩個數(shù)表的對

16、應位置上至少有一個數(shù)不同，就說這是兩張不同的數(shù)表，那么滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為 ( A )A BCD21.函數(shù)其中p、M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定.給出下列四個判斷：若PM=，則，若PM，則.若，則.若，則.其中正確判斷有：（ B ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個22.設U為全集，對集合X，Y，定義運算“”， XY (XY)對于任意集合X，Y，Z，則 ( XY )Z( B )(A) (XY) Z (B) (XY) Z (C) ( X Y )Z (D) ( X Y )Z23.設非空集合滿足：當，給出如下三個命題：若；若若；其中正確的命題的個數(shù)為（ D ）A0個 B 1個 C2個

17、 D3個 24.記集合，將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2011個數(shù)是（ B ）ABC D25.設集合，則的子集的個數(shù)是（ C ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）126.是正方體，點為正方體對角線的交點，過點的任一平面，正方體的八個頂點到平面的距離作為集合的元素，則集合中的元素個數(shù)最多為（ B ）A3個 B4個 C5個 D6個27.設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為D（A） （B） （C） （D）28.設函數(shù)的集合，平面上點的集合，則在同一直角坐標系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是（ B ）A4 B6 C8 D1029.設M為平面內(nèi)一些向量組成的集合,若對任意正實數(shù)

18、和向量,都有,則稱M為錐.現(xiàn)有下列平面向量的集合: 上述為錐的集合的個數(shù)是B A1 B2 C3 D430.設是正及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點是的中心，若集合，則集合表示的平面區(qū)域是（D ）A三角形區(qū)域B四邊形區(qū)域C五邊形區(qū)域D六邊形區(qū)域 31.設集合，函數(shù) 若當時，B， 則的取值范圍是32.已知集合，若非空集合滿足：中各元素都加4后構(gòu)成的一個子集，中各元素都減4后也構(gòu)成的一個子集，則=_33.已知集合，當為4022時，集合的元素個數(shù)為 34.若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：、；對于的任意子集、，當且時，有；對于的任意子集、，當且時，有；則稱是集合的一個“集合類”.例如：

19、是集合的一個“集合類”。已知集合，則所有含的“集合類”的個數(shù)為 10 .35.已知全集=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合，則滿足的集合A的個數(shù)是 .（用數(shù)字作答） 5636. 設集合，對任意，運算“具有如下性質(zhì)：(1) ； (2)； (3)給出下列命題： 若1A,則（11)1=0;若，且，則a = 0;若a、b、，且，則a = c.其中正確命題的序號是_ (把你認為正確的命題的序號都填上）.37.對任意兩個集合M、N，定義：，則 .答案 3,0)(3,)38.對任意兩個正整數(shù)m，n定義運算：當m，n都是正偶數(shù)或都是正奇時數(shù)mn=m+n，當m，n有一個是正偶數(shù)，有一個是正奇時數(shù)mn

20、=mn，則M=(m,n)|mn=36,m,n為正整數(shù)中的元素個數(shù)為 .答案：3539.設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么是A的一個“孤立元”，給定，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.答案 符合題意的集合是：共6個.40.非空集合G關(guān)于運算滿足：（1）對任意，都有;(2)存在，便得對一切，都有，則稱G關(guān)于運算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算：，為整數(shù)的加法.為整數(shù)的乘法.，為平面向量的加法.，為多項式的加法.，為復數(shù)的乘法.其中G關(guān)于運算為“融洽集”的是 .（寫出所有“融洽集”的序號）.解題思路 準確理解題意，從“新運算”的定義入手，逐一檢驗.解答 對于

21、，兩個非負整數(shù)的和仍是非負整數(shù)，即滿足（1）；對于一切非負整數(shù)，取，故滿足（2）是“融洽集”.對于滿足（1），而不滿足（2），故不是“融洽集”，對于，滿足（1），取.即滿足（2），故是“融洽集”，對于，不滿足（1），如則，故不是“融洽集”.對于不滿足（1），如，則，故不是“融洽集”.故填.41.對于集合N=1，2，3，n及其它的每個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排我該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)，例如集合1，2，4，6，9的交替和是9-6+4-2+1=6，當集合N中的n=1時，它的閃替和S1=1；當集合N中的n=2時，集合N=1，2的所有非空子集為1，2，1

22、，2，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2-1)=4.請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N=1，2，3，n的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn=_. 點拔：對于任一個不含元素n的子集A，加入一個元素n后成集B，則集合A與集合B“交替和”的和為n.這種構(gòu)造的集合A集合與集合B是一一對應的，各有2n-1個，切每一對集合的“交替和”的和為n，故非空子集的“交集和”的總和Sn=n·2n-42.若規(guī)定E=的子集為E的第k個子集，其中k= ，則（1）是E的第_個子集；（2）E的第211個子集是_（1）5.（2）E的第211個子集是_43

23、.設是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意，都有、（除數(shù)），則稱是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集就是數(shù)域，有下列命題： 數(shù)域必含有這兩個數(shù)； 整數(shù)集是數(shù)域； 若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域； 數(shù)域必為無限集；則其中正確命題的序號是 .（把你認為正確的命題的序號都填上44.設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：集合Sabi|為整數(shù)，為虛數(shù)單位為封閉集；若S為封閉集，則一定有；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是 （寫出所有真命題的序號）45.對于平面上的點集，如果連接中任意兩點的線段必 定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形

24、如右（陰影區(qū)域及其邊界）：其中為凸集的是 （2）（3）（寫出所有凸集相應圖形的序號）。46.若點集，則點集所表示的區(qū)域的面積為_47.將集合的元素分成不相交的三個子集：，其中，且，則集合為：.48.集合1,2,2011的元素和為奇數(shù)的非空子集的個數(shù)為 .解析：22010令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x2011),問題中要求的答案為f(x)的展開式中，x奇次項的系數(shù)和故所求的答案為(f(1)f(1)=22010.49.在集合中，末位數(shù)字為的元素個數(shù)為 答案：解：將集合中的每個數(shù)都截去其末位數(shù)字，都會得到集合中的數(shù)，而中形如的數(shù)，皆可看成由中的元素后面添加數(shù)字而得到；故中形如

25、的元素個數(shù)，等于的元素個數(shù)，即個50.設集合，是的子集，且滿足，那么滿足條件的子集的個數(shù)為 185 51.設數(shù)集，而兩兩之和構(gòu)成集合，則集合 答案：或解：設 ，由于集中有個元，即知兩兩的和互不相同，因 ，且 ，只有兩種情況：，則 ，由，得 ，進而得 ，；，則 ，于是，得 ，進而得 ，60.已知集合，若非空集合滿足：中各元素都加4后構(gòu)成的一個子集，中各元素都減4后也構(gòu)成的一個子集，則=_52.已知集合，對它的任一非空子集A，可以將A中的每一個元素k都乘以再求和(例如，A=2,3,8，則可求得和為(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),對的所有非空子集，

26、這些和的總和為 .解析：因為S=2，3，9，對于每個k(k=2,3,9)，在總和中出現(xiàn)27次，故總和為53.已知兩個集合A=，B=，若AB，則整數(shù)a 的值為 .解析：由題意知，方程組有整數(shù)解(x，y)，x>0.顯然a0，y<0，從而a<0.消去y，可得即3a2-2a9，由于a是負整數(shù)，所以a只能等于1.當a=-1時，所以a=-154.對于非空實數(shù)集，記設非空實數(shù)集合，若時，則 現(xiàn)給出以下命題：對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有；對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有；對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有； 對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必存在常數(shù)，使

27、得對任意的，恒有，其中正確的命題是 1、4 （寫出所有正確命題的序號）55.若是一個集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：屬于，屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于則稱是集合上的一個拓撲已知集合，對于下面給出的四個集合：；其中是集合上的拓撲的集合的序號是 【解析】 不是拓撲，因為，但；是拓撲，可以逐一驗證三條性質(zhì)都滿足；不是拓撲，因為全集；是拓撲，可以逐一驗證三條性質(zhì)也都滿足56.在平面直角坐標系中，點集，則 點集所表示的區(qū)域的面積為_； 點集所表示的區(qū)域的面積為 【解析】 ；點集就是整個單位圓；點集所表示的區(qū)域是如圖所示的直角三角形，其中， 點集是將點集中的所有點

28、橫坐標加縱坐標加得到的，即都進行了一個向量的平移，所以整體上集合也按照向量進行了平移，得到的點集還是一個半徑為的圓，圓心在，所以面積依舊是； 點集實際上可以寫成：，其中看成是按照向量的平移得到的點集而得到的是以為圓心半徑為的圓，所以就是所有圓心在里半徑為的圓的并；如圖所示：當半徑為的圓在邊界上滑動時，分別得到矩形，矩形，矩形；在頂點滾動時，得到三個扇形；所以最終就是圖示陰影部分不難求得面積【點評】 解決本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)實質(zhì)是的平移，是的全體平移的并如果只從集合的描述性表示入手的話是很抽象的本題可以推廣到一般情形：如果是兩個閉圖形，則都是的全體平移的并57.已知集合,使得集合A中所有整數(shù)的元素

29、和為28,則a的范圍是_.58.設A和B是從集合M=a,b,c,d的子集中選出的2個不同的非空真子集，且A和B滿足，那么共有_中不同的選法。36.59. 已知集合,有下列命題若則；若則；若則的圖象關(guān)于原點對稱；若則對于任意不等的實數(shù)，總有成立.其中所有正確命題的序號是 設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、bR，都有a+b、a-b， ab、P（除數(shù)b0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域.其中正確的命題的序號是.（把你認為正確的命題的序號填填上）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)

30、，若對任意a、bR，都有a+b、a-b， ab、P（除數(shù)b0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域.其中正確的命題的序號是.（把你認為正確的命題的序號填填上）若規(guī)定E=的子集為E的第k個子集，其中k= ，則（1）是E的第_5_個子集；（2）E的第211個子集是_設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：集合Sabi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）為封閉集；【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】若S為封閉集，則一定有；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足的任意集合也是

31、封閉集.【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】全品教學網(wǎng)， 用后離不了！其中真命題是 （寫出所有真命題的序號）解析：直接驗證可知正確.當S為封閉集時，因為xyS，取xy，得0S，正確對于集合S0，顯然滿足素有條件，但S是有限集,錯誤取S0，T0,1，滿足,但由于011ÏT，故T不是封閉集，錯誤答案：【來源：全,品中&高*考*網(wǎng)】對于平面上的點集，如果連接中任意兩點的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）：其中為凸集的是 （寫出所有凸集相應圖形的序號）?！敬鸢浮繉φ麛?shù),記,.(1)求集合中元素的個數(shù);(2)若的子集中任意兩個元素之

32、和不是整數(shù)的平方,則稱為“稀疏集”.求的最大值,使能分成兩人上不相交的稀疏集的并.【答案】 60.對于集合M，定義函數(shù)對于兩個集合M，N，定義集合. 已知，.（）寫出和的值，并用列舉法寫出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的個數(shù)，求的最小值；（）有多少個集合對（P，Q），滿足，且？解：（），. （）根據(jù)題意可知：對于集合，若且，則；若且，則.所以 要使的值最小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響的值；集合不能含有之外的元素.所以 當為集合1,6,10,16的子集與集合2,4,8的并集時，取到最小值4. （）因為 ，所以 .由定義可知：.所以 對任意元素， .

33、所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 . 所以 ，即.因為 ，所以 滿足題意的集合對（P，Q）的個數(shù)為.61.若集合，其中，且。如果，且中的所有元素之和為403.（1）求；（2）求集合。解：（1）由可知必為某兩個正整數(shù)的平方，而，故必有（2）由（1）知，而于是又必有于是中的所有元素之和為403,因為，逐一檢驗：當時：由當時，必須有，這與矛盾綜上所述62.已知集合A的元素全為實數(shù)，且滿足：若aA，則A.(1)若a=2,求出A中其他所有元素.（2）0是不是集合A中的元素？請你設計一個實數(shù)aA,再求出A中的所有元素.（3）根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論？請證明你的猜想（給出一條即可）.解析：

34、（1）由2A,得=-3A. 又由-3A，得A.再由-A，得A. 而A時，=2A.故A中元素為2，-3，-，.（2）0不是A的元素.若0A，則=1A，而當1A時，不存在，故0不是A的元素. 取a=3,可得A=3,-2,-.(3)猜想：A中沒有元素-1，0，1；A中有4個元素，且每兩個互為負倒數(shù).證明：由上題，0、1A，若0A，則由=0,得a=-1.而當=-1時，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.設a1A,則a1Aa2=Aa3=-Aa4=Aa5=a1A.又由集合元素的互異性知，A中最多只有4個元素：a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1,顯然a1a3,a2a4.若

35、a1=a2,即a1=，得a12+1=0,此方程無解；同理，若a1=a4,即a1=,此方程也無實數(shù)解.故a1a2,a1a4.A中有4個元素.63.己知集合A=x|x=f(x)，B=x|x=f(f(x),其中f(x)=x2+ax+b (a,bR)，證明：（1）AB （2）若A只含有一個元素，則A=B .證明：（1）(2)設A=c，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c為 f(x)-x=0的重根. f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x)=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x)-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=(x-c)2+x-c2+(x-c)2=0故

36、f(f(x)=x也只有惟一解x=c，即B=c. 所以A=B64.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立 （）函數(shù)是否屬于集合？說明理由； （）設函數(shù)，求的取值范圍； （）設函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，證明：函數(shù).解：（1）若，則在定義域內(nèi)存在，使得化簡得， 方程無解， （2），有解且法一：利用值域得法二：利用方程有解得（3）函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象交于點，則，所以其中，即65.設a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點 （a，b）映射為函數(shù) （1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數(shù)； （2）證明：當，這里t為常數(shù)； （3）對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，

37、求其原象，并說明它是什么圖象.解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數(shù)，即與相同，即 對一切實數(shù)x均成立.特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立.故不存在兩個不同點對應同函數(shù).（2）當時，可得常數(shù)a0，b0，使=由于為常數(shù)，設是常數(shù).從而.（3）設，由此得在映射F之下，的原象是（m，n），則M1的原象是.消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原點為圓心，為半徑的圓.66.設集合由滿足下列兩個條件的數(shù)列構(gòu)成：；存在實數(shù)，使（為正整數(shù)）.在只有項的有限數(shù)列，中，其中；試判斷數(shù)列，是否為集合的元素；設是各項為正的等比數(shù)列，

38、是其前項和，證明數(shù)列；并寫出的取值范圍；設數(shù)列，且對滿足條件的的最小值，都有（）求證：數(shù)列單調(diào)遞增對于數(shù)列，取，顯然不滿足集合的條件，故不是集合中的元素，對于數(shù)列，當時，不僅有，而且有，顯然滿足集合的條件，故是集合中的元素是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項和，設其公比為，整理得， ，對于任意，有，且，故，且證明：（反證法）若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)，使，易證對于任意的，都有，證明如下：假設（）時，當時，由，而，所以所以對于任意的，都有顯然這項中有一定存在一個最大值，不妨記為；所以（），從而與這題矛盾所以假設不成立，故命題得證67.分析：正確理解要使,由當k=0時，方程有解,不合題意；當又

39、由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=168. 已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當時，成等比數(shù)列.解：（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P.（）具有性質(zhì)P，與中至少有一個屬于A，由于，故. 從而，.， ，故.由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，. （）由（）知，當時，有，即， ，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.69.已知集合.對于A的一個子集S，若存在不大于的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素，都有，則稱S具有性質(zhì)P.（）當時，

40、試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由. (II)若集合具有性質(zhì)P，試判斷集合 )是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由. 解：（）當時，集合，不具有性質(zhì). .因為對任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到集合中兩個元素與，使得成立 . 集合具有性質(zhì). 因為可取，對于該集合中任意一對元素，都有 . （）若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì). .7分 首先因為，任取 其中，因為，所以，從而，即所以 由S具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素，都有 ， 對上述取定的不大于的正整數(shù)m，從集合中任取元素，其中， 都有 ； 因為，所以有，即 所以集合具有性質(zhì) 70.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的

41、函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意R，有成立.（1）函數(shù)是否屬于集合M？說明理由；（2）設函數(shù)且）的圖象與的圖象有公共點，證明：M；（3）若函數(shù)M ,求實數(shù)的取值范圍.解（1）對于非零常數(shù)T，f （x+T）=x+T，Tf （x）Tx 因為對任意xR，x+T =Tx不能恒成立， 所以f （x）x M （2）因為函數(shù)f （x）=ax （a>0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，所以方程組： 有解，消去y得ax=x，顯然x=0不是方程的ax=x解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T于是對于f （x）=ax ，有f （xT）=ax+T = aT·ax=T·ax =T f （

42、x），故f （x）=axM（3）當k=0時，f （x）=0，顯然f （x）=0M當k0時，因為f （x）=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對任意xR，有f （xT）= T f （x）成立，即sin（kxkT）= T sinkx因為k0時，且xR，所以kxR，kxkTR，于是sinkx1，1，sin（kxkT） 1，1，故要使sin（kxkT） = Tsinkx成立，只有T=±1當T1時，sin（kxk）= sinkx成立，則k=2mp，mZ當T1時，sin（kxk）= sinkx成立，即sin（kxkp） = sinkx成立，則kp =2mp，mZ，即k= （2m1） p，mZ綜合

43、得，實數(shù)k的取值范圍是k | k= mp，mZ 71.設數(shù)列滿足 (1)當a(一，-2)時，求證：aM； (2)當a(0，)，求證：aM； (3)當a( ，+oo)時，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論證明：（1）如果，則， （2） 當 時，（） 事實上，當時， 設時成立（為某整數(shù)），則對，由歸納假設，對任意nN*，|an|2，所以aM （3） 當時，證明如下：對于任意，且對于任意， 則來源:Z#xx#k.Com 所以，當時，即，因此72.已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底.（）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由； ，；，.（）

44、若集合是集合的一個元基底，證明：；（）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底.解：（）不是的一個二元基底.理由是 ； 是的一個二元基底. 理由是 ， .（）不妨設，則形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)至多有個；形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù)，為集合的一個元基底.故，即. 8分（）由（）可知，所以.當時，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復一個. *假設為的一個4元基底，不妨設，則.當時，有，這時或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，易知不是的

45、4元基底，矛盾.當時，有，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，易知不是的4元基底，矛盾.當時，均不可能是的4元基底.當時，的一個基底；或3,7,8,9,10；或4,7,8,9,10等，只要寫出一個即可.綜上，的最小可能值為5.73 集合，集合B=，x、tR,且AB.（1）對于區(qū)間，定義此區(qū)間的“長度”為b-a,若A的區(qū)間長度為3，試求t的值；（2）某個函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x) A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍.解析：（1）A的區(qū)間長度為3，-2=3，即=5.解得t=32.（2）由,所以B得區(qū)間長度為10.

46、設A的區(qū)間長度為y，f(x) A的概率不小于0.6，.又AB。12.即t=4096. t的取值范圍是.74.已知二次函數(shù)有最大值且最大值為正實數(shù)，集合，集合。（1）求和；（2）定義與的差集：且。設，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的三組值，使，并分別寫出所有滿足上述條件的（從大到?。?、（從小到大）依次構(gòu)成的數(shù)列、的通項公式（不必證明）；（3）若函數(shù)中， （理）設、是方程的兩個根，判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應的值；若不存在，請說明理由。（1）有最大值，。配方得，由。 ，。 （2）要使，?？梢允怪杏?個元素，中有2個元素， 中有1個元素。則。中有6個元素，中有4個元素， 中有2個元素。則。中有9個元素,中有6個元素,中有3個元素。則。 （3）（理），得。， ，當且僅當時等號成立。在上單調(diào)遞增。 又，故沒有最小值。75.對，定義（I）求方程的根；