2022年2022年高中數(shù)學(xué)圓錐曲線

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)學(xué)定義幾何學(xué)基本概念: 從平面解析幾何的角度來看,平面上的直線就為由平面直角坐標(biāo)系中的一個二元一次方程所表示的圖形；求兩條直線的交點, 只需把這兩個二元一次方程聯(lián)立求解,當(dāng)這個聯(lián)立方程組無解時,二直線 平行；有無窮多解時,二直線重合；只有一解時,二直線相交于一點；常用直線與x軸正向的夾角（叫直線的傾斜角）或該角的正切（稱直線的斜率）來表示平面上直線 對于 x 軸 的傾斜程度；可以通過斜率來判定兩條直線為否相互平行或相互垂直,也可運算它們的交角；直線與某個坐標(biāo)軸的交點在該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo),稱為直線在該坐標(biāo)軸上的截距；直線在平面上的位置,由它的斜率和一個截距完全確

2、定；在空間,兩個平面相交時,交線為一條直線；因此,在空間直角坐標(biāo)系中,用兩個表示平面的三元一次方程聯(lián)立,作為它們相交所得直線的方程；空間直線的方向空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示,該向量稱為這條直線的一個方向向量 ；直線在空間中的位置,由它經(jīng)過的空間一點及它的一個方向向量完全確定；在歐幾里得幾何學(xué)中,直線只為一個直觀的幾何對象；在建立歐幾里得幾何學(xué)的公理體系時,直線與點.平面等都為不加定義的,它們之間的關(guān)系就由所給公理刻畫；關(guān)系式直線的斜率：k=y2-y1/x2-x1（x1x2）(1) 一般式 : 適用于全部直線ax+by+c=0 其中 a.b 不同時為0 兩直線平行時： a1

3、/a2=b1/b2c1/c2 兩直線垂直時：a1a2+b1b2=0兩直線重合時：a1/a2=b1/b2=c1/c2兩直線相交時： a1/a2b1/b2(2) 點斜式 : 知道直線上一點x0、y0、并且直線的斜率k 存在,就直線可表示為y-y0=kx-x0當(dāng) k 不存在時,直線可表示為x=x0(3) 截距式 : 不適用于和任意坐標(biāo)軸垂直的直線和過原點的直線知道直線與x 軸交于 a、0、與 y 軸交于 0、b、就直線可表示為x/a+y/b=1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(4) 斜截式 : y=kx+b k 0當(dāng) k>0 時, y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)k<0時, y

4、 隨 x 的增大而減?。粌芍本€平行時k1=k2兩直線垂直時k1 x k2 = -1(5) 兩點式x1 不等于 x2 y1不等于y2 y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1（ 6）法線式x·cos +ysin -p=0（ 7）點到直線方程留意： 各種不同形式的直線方程的局限性：點斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直線；兩點式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；截距式不能表示與坐標(biāo)軸平行或過原點的直線；直線方程的一般式中系數(shù)a.b 不能同時為零（ 8）兩平行直線間的距離ic1-c2i /根號下a 的平方加上b 的平方精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橢圓橢圓作圖范例橢圓為平面上到

5、兩定點的距離之和為常值的點之軌跡,也可定義為到定點距離與到定直線間距離之比為常值的點之軌跡；它為圓錐曲線 的一種,即圓錐與平面的截線；橢圓在方程上可以寫為標(biāo)準(zhǔn)式x2/a2+y2/b2=1,它仍有其他一些表達(dá)形式, 如參數(shù)方程 表示等等；橢圓在 開普勒行星 運行三定律中扮演了重要角色,即行星軌道為橢圓,以恒星為焦點；橢圓的第肯定義tu yuán平面內(nèi)與兩定點f.f' 的距離的和等于常數(shù)2a2a>|ff'| 的動點p 的軌跡叫做橢圓；即： pf+pf' =2a其中兩定點f . f'叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離ff' 叫做橢圓的焦距；橢圓的其次

6、定義平面上到定點f 距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e 即橢圓的偏心率 , e=c/a 的點的集合（定點f 不在定直線上,該常數(shù)為小于1 的正數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中定點f 為橢圓的焦點,定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的方程為x=±a2/c或 者 y=±a2/c ；橢圓的其他定義依據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就為橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積為定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點的連線的斜率之積為常數(shù)k 的動點的軌跡為橢圓,此時k 應(yīng)滿意肯定的條件,也就為排除斜率不存在的情形切線與法線的幾何性質(zhì)定理1： 設(shè) f1. f2 為橢圓c 的兩個焦點,p 為

7、 c 上任意一點；如直線ab 切橢圓 c 于點 p,就 apf1= bpf2 ；定理2： 設(shè) f1 . f2 為橢圓c 的兩個焦點,p 為 c 上任意一點；如直線ab為 c在 p 點的法線,就ab 平分 f1pf2 ；上述兩定理的證明可以查看參考資料1 ；運算機(jī)圖形學(xué)約束橢圓必需一條直徑與x 軸平行,另一條直徑y(tǒng) 軸平行；不滿意此條件的幾何學(xué)橢圓在運算機(jī)圖形學(xué)上視作一般封閉曲線；標(biāo)準(zhǔn)方程高中課本在平面直角坐標(biāo)系中,用方程描述了橢圓,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“標(biāo)準(zhǔn) ”指的為中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種,取決于焦點所在的坐標(biāo)軸：1）焦點在x 軸時,標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/a2+y2/b2=

8、1 a>b>02）焦點在y 軸時,標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/b2+y2/a2=1 a>b>0其中a>0 , b>0 ； a. b 中較大者為橢圓長半軸長,較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸,對稱精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 點 在 y 軸軸被橢圓所截,有兩條線段,它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸 和 半短軸 ）當(dāng)a>b 時,焦點在x 軸上,焦距為2*a2-b20.5,焦距與長. 短半軸的關(guān)系:b2=a2-c2 、準(zhǔn)線方程為 x=a2/c和 x=-a2/c, c 為橢圓的半焦距；又及：假如中心在原點,但焦點的位置不明確在x軸或y軸

9、時,方程可設(shè)為mx2+ny2=1m>0, n>0 , m n；既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式；橢 圓 的 面 積 為ab； 橢 圓 可 以 看 作 圓 在 某 方 向 上 的 拉 伸 , 它 的 參 數(shù) 方 程 為 ：x=acos ,y=bsin 標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在x0 , y0 點的切線就為：xx0/a2+yy0/b2=1lk一般方程ax2;+bxy+cy2;+dx+ey+f=0 a.c不 為 0公式橢圓的面積公式s=圓周率 ×a×b 其中 a、b 分別為橢圓的長半軸、短半軸的長.或 s=圓周率 ×a×b/4 其中 a、b 分別為橢圓的長軸、 短軸的長

10、.橢圓的周長公式橢圓周長沒有公式,有積分式或無限項綻開式；橢圓周長l 的精確運算要用到積分或無窮級數(shù)的求和；如l = 0、 /24*a sqrt1 -e*cost&sup2;dt2a& sup2;+b&sup2;/2 橢圓近似周長、其中 a 為橢圓長半軸、e 為離心率橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比,設(shè)橢圓上點p 到某焦點距離為pf,到對應(yīng)準(zhǔn)線 距離為pl ,就e=pf/pl精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橢圓的準(zhǔn)線方程x=±a2/c橢圓的離心率公式e=c/a0<e<1、 因 為 2a>

11、;2c橢圓的 焦準(zhǔn)距 ：橢圓的 焦點 與其相應(yīng)準(zhǔn)線 如焦點（ c、0 ）與準(zhǔn)線 x=+a&sup2;/c的距離 、數(shù)值 =b&sup2;/c橢圓焦半徑公式焦點在 x 軸上： |pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0橢圓過右焦點的半徑 r=a-ex過左焦點的半徑 r=a+ex焦點在 y 軸上： |pf1|=a-ey0 |pf2|=a+ey0橢圓的 通徑 ：過焦點的垂直于x 軸（或y 軸）的直線與橢圓的兩交點a、b 之間的距離,數(shù)值=2b2/a點與橢圓位置關(guān)系點 m （ x0 , y0 ）橢圓x2/a2+y2/b2=1點在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b2<1 點在圓上

12、： x02/a2+y02/b2=1 點在圓外： x02/a2+y02/b2>1直線與橢圓位置關(guān)系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出 x2/a2+ （ kx+m ） 2/b2=1相切 =0相離 <0 無交點相交 >0 可利用 弦長公式 ： ax1、y1 bx2、y2|ab|=d=1+k2|x1 -x2|=1+k2x1 - x22=1+1/k2|y1 -y2|= 1+1/k2y1 -y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橢圓的斜率公式過橢圓上x2/a2+y2/b2=1上一點（x , y ）的切線斜率為-b2x/a2y橢圓焦點三角形面積公式如 f1pf

13、2=、就 s=b2tan/2橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用求解橢圓上點到定點或到定直線距離的最值時,用參數(shù)坐標(biāo)可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù) 問題求解x=a×cos,y=b×sin a為長軸長的一半相關(guān)性質(zhì)由于平面截圓錐（或圓柱） 得到的圖形有可能為橢圓,所以它屬于一種圓錐截線；例如：有一個圓柱,被截得到一個截面,下面證明它為一個橢圓（用上面的第一定義）：將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓,它們遇到截面的時候停止,那么會得到兩個公共點,明顯他們?yōu)榻孛媾c球的切點；設(shè)兩點為f1. f2對于截面上任意一點p,過p 做圓柱的母線q1 . q2 ,與球.圓柱相切的大圓分別交于q1 . q

14、2就 pf1=pq1 . pf2=pq2 ,所以pf1+pf2=q1q2由定義1 知：截面為一個橢圓,且以f1 . f2 為焦點用同樣的方法,也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓例：已知橢圓c ： x2/a2+y2/b2=1（ a>b>0 ）的離心率為6/3,短軸一個端點到右焦點的距離為3.（ 1 ）求橢圓c 的方程 .（ 2 ）直線l ： y=x+1與橢圓交于a , b 兩點, p 為橢圓上一點,求pab 面積的最大值 .（ 3 ）在（ 2）的基礎(chǔ)上求aob 的面積 .一分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a,端點到左右焦點的距離相等橢圓的定義） ,可知 a=3,又 c

15、/a= 6/3、代入得c=2,b=a2-c2=1、 方程為x2/3+y2/1=1,二要求面積,明顯以ab 作為三角形的底邊,聯(lián)立x2/3+y2/1=1, y=x+1解得x1=0、y1=1、x2=-1.5、y2=-0.5.利用弦長公式有 1+k2x2 -x1 中括號表示肯定值）弦長=3 2/2、對于 p 點面積最大,它到弦的距離應(yīng)最大,假設(shè)已經(jīng)找到p 到弦的距離最大,過 p 做弦的 平行線 ,可以發(fā)覺這個平行線為橢圓的切線為才會最大,這個切線和弦平行故斜率和弦的斜率= ,設(shè)y=x+m、 利用判別式等于0 ,求得m=2、-2. 結(jié)合圖形得m=-2.x=1.5、y=-0.5、p1.5、-0.5、三直

16、 線 方 程x-y+1=0、利 用 點 到 直 線 的 距 離 公 式 求 的 2/2、 面 積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1/2* 2/2*3 2/2=3/4、雙曲線雙曲線 hyperbola為指與平面上兩個定點的距離之差的肯定值為定值的點的軌 跡,也可以定義為到定點與定直線的距離之比為一個大于1 的常數(shù)的點之軌跡；雙曲線為 圓錐曲線 的一種,即圓錐面與平面的交截線；雙曲線在肯定的仿射變換下,也可以看成 反比例函數(shù) ；定義： 我們把平面內(nèi)與兩個定點f1、f2 的距離的差的肯定值等于一個常數(shù)的軌跡稱為雙曲線定義1：平面內(nèi),到兩個定點的距離 之差的 肯定值 為常數(shù)（小于這兩個定

17、點間的距離1 ）的點的軌跡 稱為 雙曲線 ；定義2：平面內(nèi),到給定一點及始終線的距離之比大于1 且為常數(shù)的點的軌跡稱為雙曲線 ；定義3：一平面截一圓錐面 ,當(dāng)截面與圓錐面的母線 不平行,且與圓錐面的兩個圓錐都相交時,交線稱為雙曲線 ；定義4：在平面直角坐標(biāo)系中,二元二次方程hx、y=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿意以下條件時,其圖像為雙曲線 ；1. a、b、c 不都為0； 2. b2 - 4ac > 0；在高中的解析幾何中,學(xué)到的為雙曲線的中心在原點,圖像關(guān)于x, y 軸對稱的情形；這時雙曲線的方程退化為：x2/a2 - y2/b2 = 1；上述的四個定義為等價的；精品學(xué)習(xí)

18、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載重要概念和性質(zhì)以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì)；雙曲線有兩個分支；在定義1 中提到的兩給定點稱為該雙曲線的焦點 ,定義 2 中提到的一給定點也為雙曲線的焦點 ；雙曲線有兩個焦點；在定義2 中提到的給定直線稱為該雙曲線的準(zhǔn)線 ；在定義2 中提到的到給定點與給定直線的距離之比,稱為該雙曲線的離心率 ；雙曲線 有兩個焦點,兩條準(zhǔn)線；（留意：盡管定義2 中只提到了一個焦點和一條準(zhǔn)線；但為給定同側(cè)的一個焦點,一條準(zhǔn)線以及離心率可以依據(jù)定義2 同時得到雙曲線的兩支,而兩側(cè)的焦點,準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線為相同的；）雙曲線與兩焦點連線的交點,稱為雙曲

19、線的頂點 ；雙曲線有兩條漸近線 ；雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)1.軌跡上一點的取值范疇： xa、x -a（焦點在x 軸上）或者ya、y -a（焦點在y軸上）；2. 對稱性 ：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱；3.頂點 ： a-a、0 ,a'a、0 ；同時aa' 叫做雙曲線的實軸 且 aa'=2a. b0、-b ,b'0、b ；同時bb' 叫做雙曲線的虛軸且bb'=2b.4. 漸近線 ：焦點在x 軸： y=±b/ax.焦點在y 軸： y=±a/bx.圓錐曲線=ep/1-ecos當(dāng) e>1 時,表示雙曲線；其中p為焦點到準(zhǔn)線距離,為弦與x 軸夾

20、角令 1- ecos=0可以求出,這個就為漸近線的傾角；=arccos1/e 令 =0,得出=ep/1-e、 x= cos=ep-/1e令 =pi,得出=ep/1+e 、x= cos-e=p/1+e這兩個x 為雙曲線定點的橫坐標(biāo)；求出他們的中點的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)）x=ep/1-e+-ep/1+e/2（留意化簡一下）直線cos=ep/1-e+-ep/1+e/2為雙曲線一條對稱軸,留意為不與曲線相交的對稱軸；將這條直線順時針旋轉(zhuǎn)pi/2-arccos1/e角度后就得到漸近線方程,設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度 為 就 =-pi/2-arccos1/e就 = +pi-/a2rccos1/e代入上式：cos

21、+pi-/a2rccos1/e=ep/1-e+-ep/1+e/2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即： sinarccos1/e - =ep/1-e+-ep/1+e/2現(xiàn)在可以用取代式中的了得到方程：sinarccos1/e -=ep/1 -e+-ep/1+e/2現(xiàn)證明雙曲線x2/a2-y/b2=1上的點在漸近線中設(shè) mx、y 為雙曲線在第一象限的點,就y=b/a x2-a2 x>a由于x2-a2<x2、所以y=b/a x2-a2<b/a x2=bx/a即 y<bx/a所以,雙曲線在第一象限內(nèi)的點都在直線y=bx/a下方依據(jù)對稱性其次.三.四象限亦如此5.離

22、心率：第肯定義：e=c/a且 e 1 , +.其次定義： 雙曲線上的一點p 到定點f 的距離 pf 與點 p 到定直線相應(yīng)準(zhǔn)線的距離d的比等于雙曲線的離心率e. d 點 pf/d 線（點p 到定直線相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）=e 6.雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點px、y 到焦點距離）左焦半徑：r= ex+a右焦半徑：r= ex-a 7.等軸雙曲線一雙曲線的實軸與虛軸長相等即： 2a=2b且e=2這時漸近線方程為：y=±x （無論焦點在x 軸仍為y 軸）8. 共軛雙曲線雙曲線s'的實軸為雙曲線s 的虛軸且雙曲線s'的虛軸為雙曲線s 的實軸時, 稱雙曲線s'與雙曲線

23、s 為共軛雙曲線；幾何表達(dá)：s： x2/a2-y2/b2=1 s'： y2/b2-x2/a2=1特點：（ 1）共漸近線（ 2 ）焦距相等（ 3 ）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于19.準(zhǔn)線 ：焦點在x 軸上： x=±a2/c焦點在y 軸上： y=±a2/c 10 . 通徑 長 ：（圓錐曲線（除圓外）中,過焦點并垂直于軸的弦） d=2b2/a11.過焦點的弦長公式：d=2pe/1- e2cos2 12 .弦長公式：d=1+k2|x1 - x2|=1+k2x1 -x2 2=1+1/k2|y1 -y2|= 1+1/k2y1 -y22推導(dǎo)如下：由直線的斜率公式：k =

24、y1 - y2 / x1 - x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得y1 - y2 = kx1 - x2或x1 - x2 = y1 - y2/k分別代入兩點間的距離公式：|ab| =x1 - x2&sup2; + y1 - y2&sup2; 稍加整理即得：|ab| = |x1 -x2| 1 + k&sup2;或|ab| = |y1 -y2| 1 + 1/k&sup2;· 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù)x2/a2 - y2/b2 = 1a>0、b>0而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型為xy = c c 0但為反比例函數(shù)的確為雙曲線函數(shù)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得

25、到的由于xy = c的對稱軸為y=x、 y=-x而 x2/a2 - y2/b2 = 1的對稱軸為x 軸, y軸所以應(yīng)當(dāng)旋轉(zhuǎn)45 度精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為a （ a0順、時針）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角就有x = xcosa + ysina y = - xsina + ycosa取a =/4就x2 -y2 = xcos/4 + ysin/4-2xsin/4- ycos /42= 2/2 x +2/2 y2- 2/2 x - 2/2 y2= 4 2/2 x 2/2 y= 2xy. 而 xy=c 所以x2/2c -

26、y2/2c = 1 c>0 y2/-2c - x2/-2c = 1 c<0由此證得,反比例函數(shù)其實就為雙曲線函數(shù).只不過為雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.雙曲線焦點三角形面積公式如 f1pf2=、就 s f1pf2=b2;· cot （ /2· 例：已知 f1 .f2 為雙曲線c ：x 2;-y;=1的左右焦點, 點 p 在 c 上, f1pf2=60° ,就 p 到 x 軸的距離為多少？解：由雙曲線焦點三角形面積公式得s f1pf2=b2;·cot （ /2=1 ×cot03°,設(shè)p 到x 軸的距離為h,就s

27、f1pf2=&frac12; ×f1f2×h=&frac12;2 2×h=3,h= 6/2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線拋物線拋物線為指平面內(nèi)到一個定點和一條定直線l距離相等的點的軌跡； 他有很多表示方法,比如參數(shù)表示,標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等；它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處；拋物線也為 圓錐曲線 的一種,即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而 得的曲線；拋物線在合適的坐標(biāo)變換下,也可看成二次函數(shù) 圖像；拋物線定義平面內(nèi),到一個定點f 和不過f 的一條定直線l 距離相等的點的軌跡或集合 稱之為拋物線；且定點f 不在直線上另外、 f稱為

28、 " 拋物線的焦點" , l稱為 " 拋物線的準(zhǔn)線 " ；定義焦點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為" 焦準(zhǔn)距 "、 用 p 表示 p>0.以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐,可得一個圓,假如傾斜這個平面直至與其一邊平行,就可以做一條拋物線；標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四個：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線右開口拋物線：y2=2px左開口拋物線 :y2= -2px 上開口拋物線： x2=2py 下開口拋物線 :x2= -2pyp 為焦準(zhǔn)距（ p>0 ）在拋物線y2=2px中, 焦點為 p/2 ,0）,準(zhǔn)線 l

29、的方程為x= -p/2 ； 在拋物線y2=-2px中,焦點為 -p/2 , 0）,準(zhǔn)線l 的方程為x=p/2 ；在拋物線x2=2py中,焦點為（ 0 , p/2 ）,準(zhǔn)線l 的方程為y= -p/2 ；在拋物線x2= -2py中,焦點為（0, -p/2 ）,準(zhǔn)線 l 的方程為y=p/2 ；相關(guān)參數(shù)對于向右開口的拋物線離心率：e=1焦點 :p/2 , 0準(zhǔn)線方程l:x=-p/2頂點： 0 , 0通徑 ：2p；定義： 圓錐曲線 （除圓外） 中,過焦點并垂直于軸的弦定義域 （ x0）值域（ y r解析式求法以焦點在x 軸上為例知道p（ x0 , y0令所求為y2=2px就有y02=2px0 2p=y0

30、2/x0拋物線為y2=y02/x0x光學(xué)性質(zhì)經(jīng)焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載面積和弧長公式拋物線面積area=2ab/3弧長arc length abc=b2+16a2 /2+b2/8a ln4a+b2+16a2 /b其他拋物線：y = ax2 + bx + c（ a0就為y 等于 ax的平方加上bx 再加上c a > 0 時開口向上a < 0 時開口向下c = 0 時拋物線經(jīng)過原點b = 0 時拋物線對稱軸為y 軸仍有 頂點式y(tǒng) = a （ x-h ） 2 + k就為y 等于 a 乘以（ x-h ）的平方+kh 為

31、頂點坐標(biāo)的xk 為頂點坐標(biāo)的y一般用于求最大值與最小值 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px它表示拋物線的焦點在x 的正半軸上,焦點坐標(biāo)為p/2、0準(zhǔn)線方程為x=-p/2由于拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2py x2=-2py對稱性解題我們知道,拋物線y = ax2 + bx + c a為0軸 對稱圖形,它的對稱軸為直線x =- b/ 2a,它的頂點在對稱軸上；解決有關(guān)拋物線的問題時,如能巧用拋物線的對稱性,就?？梢越o出簡捷的解法；例 1已知拋物線的對稱軸為x=1 ,拋物線與y 軸交于點（0 , 3）,與x 軸兩交點間的距離為4 ,求此拋物線的解析式；分析設(shè)拋

32、物線的解析式為y = ax2 + bx + c；如按常規(guī)解法,就需要解關(guān)于a.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b.c 的 三元一次方程組,變形過程比較紛雜；如巧用拋物線的對稱性,解法就簡捷了；由于拋物線的對稱軸為x =1 ,與 x 軸兩交點間的距離為4,由拋物線的對稱性可知,它與 x 軸交于a （ -1 , 0）. b （ 3, 0）兩點；于為可設(shè)拋物線的解析式為y = a （ x+1 ）（ x-3 ）；又由于拋物線與y 軸交于點（0, 3 ）,所以3 = -3a ；故a =-1 ； y = - （ x+1 ）（ x-3 ）,即y = - x2 + 2x +3；例 2已知拋物線經(jīng)

33、過a （ -1 , 2 ）. b（ 3, 2）兩點,其頂點的縱坐標(biāo)為6,求當(dāng) x =0 時 y 的值；分析要求當(dāng)x =0時 y 的值,只要求出拋物線的解析式即可；由拋物線的對稱性可知,a （ -1 , 2 ）.b（ 3 , 2）兩點為拋物線上的對稱點；由此 可知,拋物線的對稱軸為x = 1 ；故拋物線的頂點為（1 , 6）；于為可設(shè)拋物線的解析 式為 y = a （ x-1 ） 2+ 6 ；由于點（-1 , 2）在拋物線上,所以4a + 6 = 2 ； 故 a = -1 ； y = -x-12+ 6,即y = - x2 + 2x +5；當(dāng)x =0 時, y = 5 ；例 3已知拋物線與x 軸兩

34、交點a . b 間的距離為4 ,與y 軸交于點c,其頂點為（ -1 , 4）,求 abc的面積；分析要求 abc的面積,只要求出點c 的坐標(biāo)即可；為此,需求出拋物線的解析式；由題設(shè)可知,拋物線的對稱軸為x=-1 ；由拋物線的對稱性可知,a . b 兩點的坐標(biāo)分別為（-3 , 0）.（ 1, 0 ）；故可設(shè)拋物線的解析式為y = a （ x+1 ） 2+ 4 或 y= a （ x+3 ）（ x-1 ） ；點（ 1 , 0）在拋物線上, 4a + 4 = 0 ； a = -1 ； y = - （ x+1 ） 2+ 4 ,即y = - x2 - 2x +3；點c 的坐標(biāo)為（0, 3）； s abc = 1/2 × （ 4×3） = 6