[理學]線性代數(shù)4-1矩陣的運算ppt課件

1、第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性1 1 向量組及線性表示向量組及線性表示nnn組組稱稱為為 維維向向量量，這這 個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的 個個分分量量，12 ,nna aaL L個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)所所組組成成的的數(shù)數(shù)分量全為復數(shù)的向量稱為復向量分量全為復數(shù)的向量稱為復向量. .分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，默以為實向量默以為實向量 . iiai第第 個個數(shù)數(shù) 稱稱為為第第 個個分分量量例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii 第第1 1個分量個分量第第n n個分量個分量第第2 2個分量個分量2 2、n n

2、 維向量的表示方法維向量的表示方法),(21nTaaaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列n TTTTba,矩陣，通常用矩陣，通常用 等表示，如：等表示，如： ,ba矩陣，通常用矩陣，通常用等表示，如：等表示，如：留意留意行向量和列向量總被看作是兩個不同的行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩陣的運算法那么行向量和列向量都按照矩陣的運算法那么進展運算；進展運算；當沒有明確闡明是行向量還是列向量時，當沒有明確闡明是行向量還是列向量時，都當

3、作列向量都當作列向量. . RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n(0,0,0)TnO L L12(,)Tnaaa L L12100010,001neee L LMMMMMM思索題思索題比如一個本科學生大學階段共修比如一個本科學生大學階段共修3636門門課程課程, ,成果描畫了學生的學業(yè)程度，把他的成果描畫了學生的學業(yè)程度，把他的學業(yè)程度用一個向量來表示，這個向量是學業(yè)程度用一個向量來表示，這個向量是幾維的？請大家再多舉幾例幾維的？請

4、大家再多舉幾例, ,闡明向量的實闡明向量的實踐運用踐運用 在日常任務、學習和生活中，有許多問在日常任務、學習和生活中，有許多問題都需求用向量來進展描畫題都需求用向量來進展描畫.比如平均成果、總學分等，維數(shù)還將添加比如平均成果、總學分等，維數(shù)還將添加答答3636維的維的 假設我們還需求調(diào)查其它目的，假設我們還需求調(diào)查其它目的，maaa,21:Amaaa,2112,.ma aa:A行向量組行向量組列向量組列向量組b xaxaxann2211 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn12,na aa b二、向量的運算二、向量的運算11

5、1 ,0 1 2 ,1 0 1 T TT TT T（ ， ， ）（ ， ， ）（， ， ）. 2 1,3 ,1T 2(1, 1,1)T (0,1,2)T ( 1,0,1)T (2, 2,2)T(0,1,2)T ( 1,0,1)T ，對于任何一組實數(shù)，對于任何一組實數(shù)給定向量組給定向量組12,n L L，12,nk kkL L，稱向量，稱向量1122nnkkk L L為向量組為向量組A的線性組合的線性組合.12,nk kkL L，稱為，稱為線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù). n ，2112,n L L，,21nkkk1122( )nnkkk L L n ，21 n ，21,21nkkknnkkk 2

6、211nkkk,21nkkk,21舉例：舉例：12,n L L，12000n Q QL L12,nnxxx L LT T（， ）neee,21，1 122nnnx ex ex e Q QL L12,n L L，j 12,n L L，112100n Q QL L1231kk 20k 00 121 0 0, 31 0 0,0,(3,1,0,0)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ， ） 21 ，2211 kk 21 ， 21,kk03 1122nnxxxL L有解；有解；其中其中12,n L L1212(,),(,)nnAB L LL L()( )R AR B 121 0 0, 31 0

7、 2, 1,(3,0,4,1)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ，）1122kk 21 ，122,1kk 21 ， 21 ，1212(,),(, )B ()( )2R AR B121 0 0, 31 0 2, 1,(3,0,4,1)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ，） 21 ，41rr 312rr 432rr 23rr 212r 213rr 26b87 ，123412313153:,.21220545Aaaaa 知向量知向量向量組向量組問向量問向量b能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示? 12341234,( , )a a a aBa a a a b 123

8、12315362122805457rB ()3()4R AR B 因此向量因此向量 b 不能由向量組不能由向量組 A 線性表示線性表示. 7100054010050001000001 12341234,( , )a a a aBa a a a b 12303221031,21013212aaab 123,a a a證明：向量證明：向量b b 能由向量組能由向量組并求出表示式并求出表示式.線性表示，線性表示，123(,)Aa a a 123(, )Ba a a b 0322103121013212B 112233a xa xa xb 1231/41/21/4xxxx123111424baaa 故

9、方程故方程即即的解為的解為1001/40101/20011/40000r123(,)Aa a a 123(, )Ba a a b 四、向量組的線性表示與等價四、向量組的線性表示與等價1212:,;:,msB L LL L；mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （使得使得存在數(shù)存在數(shù)假設記假設記1212,),)msAB L LL L（jb12,jjmjkkkL L從而從而()m sijKk 110223 ，100010001 ，能由能由但不等價但不等價. .線性表示，線性表示，11101 , 1001 ，100010001 ，與與等價等價. . 1201:1 ,110A

10、 aa 123113:0,2 ,2111B bbb 知向量組知向量組證明：向量組證明：向量組A A與向量組與向量組B B等價等價. .和和12(,)Aa a 123(,)Bb b b 01113( ,)1102210111rA B 101110111300000 01113( ,)1102210111rA B 101110111300000 ( )2R B ( )( )( ,)R AR BR A B ()2 ( ,)2 R AR A B 11| 0,0,02B 因此向量組因此向量組A A與向量組與向量組B B等價等價. .AB證證明明： 123123,K 10111020,.011KQ Q可可

11、逆逆123123:,;:,B 設設；且且112223313 1123123,K .AB因因此此 snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （m nm ss nCAB m nm ss nCAB TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121rAB BA的的行行向向量量組組能能由由 的的行行向向量量組組線線性性表表示示1A= P B AB的的行行向向量量組組能能由由 的的行行向向量量組組線線性性表表示示AB的的行行向向量量組組與與 的的行行向向量量組組等等價價PB = PA 可可逆逆陣陣 , ,使使得得cABQB = AQ 可可逆逆陣陣 , ,使使得