導數(shù)部分的計算能力要求(齊建民第一版)

1、專題 導數(shù)部分的計算能力要求說明： 這是我下午寫的一個資料，適合中等文科生。在這里，我提出一個“資源接力”的理念，就是說，我與大家共享我的原創(chuàng)資源，作為“齊建民第一版”，希望大家繼續(xù)將其修改，推出“*第二版”，“*第三版”。，將之不斷完善，達到最好，我們的理念就是“我有的，你也會有，我們都有的，才是最好的”！（你可以在“修訂說明”里說明，相對于上一版你修改了哪些地方，方便讀者）專題 導數(shù)部分的計算能力要求修訂說明：1、 求導及其化簡，變形能力22、 解方程（二次方程，三次方程）22.1二次方程22.1.1基本解法22.1.2 根的分布2練習82.1.3根的分布在導數(shù)中的應用8針對練習82.2三

2、次方程的討論102.2.1 三次方程的解法102.2.2三次方程在導數(shù)中的應用13練習143、 解不等式163.1一元二次不等式的解法163.2 例題講解173.3練習173.4參數(shù)取值范圍問題18練習181、 求導及其化簡，變形能力(1) 求導；(2) 化簡，包括通分，合并同類型，因式分解2、 解方程（二次方程，三次方程）2.1二次方程2.1.1基本解法 （1）求根公式（2）因式分解2.1.2 根的分布設(shè)方程的不等兩根為且，相應的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況兩個負根即兩

3、根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中進行總

4、結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)，在處理根的分布問題時，（1） 要畫函數(shù)圖像（2） 要關(guān)注下面這些因素：A. 判別式的符號，它決定了根的個數(shù)；B. 區(qū)間端點的函數(shù)值C. 特殊點（如原點）的函數(shù)值；D. 對稱軸的位置所以，掌握了這些規(guī)律，我們就不難記住上述看似復雜的各種情況，以不變應萬變。例1、已知二次方程有一正根和一負根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個不等正實根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。練習1、已知二次函數(shù)與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。2、已知二次方程只有一個根，且為正數(shù)，并小于1，求實數(shù)的取值

5、范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個正根，則 即為所求范圍。2.1.3根的分布在導數(shù)中的應用例題1 已知函數(shù)， 若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍解：方法1：若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，只需在上恒有，數(shù)形結(jié)合可知，只需即可，得；方法2： ，即，則，得針對練習1、（2012唐山模擬 22）已知函數(shù) （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）當在區(qū)間1，2上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。解： （I）3分調(diào)遞減區(qū)間為 6分 （II）由，故a的取值范圍是 12分2、 （04年浙江文）已知a為實數(shù)，若在（，2和2，+）上都是遞增的，求a的取值范圍.解: 的圖象為開口向上的拋物線,要使在（，2和2，+）都有，只需即

6、 -2a2. 所以a的取值范圍為-2,2.3、 （04年全國（文） 已知f(x)=在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。解：對f(x)求導得：f(x)3a+6x-1由f(x)在R上是減函數(shù)知：對任意實數(shù)恒有f(x)3a+6x-1<0, 則a>0不可能滿足條件。則a<0時，3612a<0即a<-3。當a=-3時，則知是R上減函數(shù)。當a>-3時，在R上存在f(x)0的區(qū)間。綜上可知：a(-,-3】評點：該題實質(zhì)上轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)值在R上恒小于零問題。4、 （2014高考大綱卷文第21）函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函

7、數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.2.2三次方程的討論2.2.1 三次方程的解法（1） 特殊情況下的因式分解法高考中出現(xiàn)的三次方程，往往能觀察出一個特殊根，往往為0,1，-1等，這樣就可以采取分解因式的方法，將方程化為乘積形式例 (1)x3+x-2=0(x-1)(x2+x+2)=0(2) x3-5x2+17x-13=0(x-1)(x2-4x+13)=0(3) x3-2x2-5x+6=0(x-1)(x2-x-6)=0（2） 一般情況下，三次方程根的個數(shù)的判斷方法運用導數(shù)研究三次方程的根的個數(shù)，具體方法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，極值，畫出反映函數(shù)單調(diào)性和極值的草圖，確定函數(shù)的零點等問題

8、。這樣做的原理，讓我們從最熟悉的二次函數(shù)說起，二次函數(shù)何時有兩個零點？1個零點？沒有零點？你當然可以從二次方程的判別式角度分析，下面我們從導數(shù)與極值角度重新審視這個問題；的極值點是，極小值是，單調(diào)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，畫出草圖，我們有下列結(jié)論：（1） 要使函數(shù)有兩個零點，只需極小值零即可，即；（2） 要使函數(shù)有1個零點，只需極小值=零即可，即；（3） 要使函數(shù)無零點，只需極小值零即可，即；例2 ：設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)= x3 + 3x+a ，當a為何值時，方程f(x)=0恰好有兩個實數(shù)根.解：求導得f (x) =3(x1)(x+1)，當x1或x1時，f (x) <0；當1x1時，f

9、 (x) 0，f(x)在(，1)和1，上單調(diào)遞減，在1，1在單調(diào)遞增，f(x)的極小值為f(1)=a2，f(x)的極大值為f(1)=a+2.     要使方程f(x)=0恰好有兩個實數(shù)根，只需f(x)的圖象與x軸恰有兩個公共點，畫出只反映f(x)的單調(diào)性和極值的草圖圖略a2=0且a2>0，或a+2=0且a2<0a=2或a=2，故當a=2或a=2時，方程恰有兩個實數(shù)根.例3 若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)有3個解，求實數(shù)的取值范圍解： （1） 由題意： 所求解析式為（2）由（1）可得： 令，得或 當變化時，、的變化

10、情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當時，有極大值 當時，有極小值 函數(shù)的圖象大致如圖： 由圖可知： 2.2.2三次方程在導數(shù)中的應用例1 2010高考全國卷II文科已知函數(shù)（1）當時，求的極值；（2）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.解：（）當時，在內(nèi)單調(diào)減，在內(nèi)單調(diào)增，在時，有極小值. 所以是的極小值.例2 2008高考江西文科數(shù)學已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個交點，求的取值范圍解：（1）因為 令得 由時，在根的左右的符號如下表所示極小值極大值極小值所以的遞增區(qū)間為 的遞減區(qū)間為 （2）由（1）得到， 要使的圖像與直線恰有兩個交點，只要或， 即或. 練習

11、1、2008高考湖南文科數(shù)學試題已知函數(shù)有三個極值點。（I）證明：；（II）若存在實數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解：（I）因為函數(shù)有三個極值點, 所以有三個互異的實根. 設(shè)則 當時， 在上為增函數(shù); 當時， 在上為減函數(shù); 當時， 在上為增函數(shù); 所以函數(shù)在時取極大值,在時取極小值. 當或時,最多只有兩個不同實根. 因為有三個不同實根, 所以且. 即,且,解得且故. （II）由（I）的證明可知，當時, 有三個極值點. 不妨設(shè)為（），則 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是, 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則, 或, 若,則.由（I）知，,于是 若,則且.由（I）知， 又當時，; 當時，. 因此, 當時，

12、所以且即故或反之, 當或時，總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述, 的取值范圍是.3、 解不等式3.1一元二次不等式的解法解集情況如下表：一元二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩實根有兩相等的實根無實根一元二次不等式的解集R不等式的解集從上表可以看出，求一元二次不等式實際上與解二次方程，二次函數(shù)關(guān)系緊密！經(jīng)驗總結(jié)：（1）若，可以兩邊乘以-1化為正數(shù)的情況，也可不化；（2）解一元二次不等式的基本步驟：求根畫圖找解，畫圖時，不必畫y軸，使得圖象更利于觀察（3）一元二次不等式的解集的端點與相應一元二次方程根的關(guān)系：的解集為（x1, x2）a<0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0

13、的實根。的解集為（-, x1）（x2,+）a>0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實根。3.2 例題講解例題1 解不等式：（1）；：解析：因為, 方程的解為， 所以不等式的解集是：.（2）解：（2） 所以原不等式的的解集是：例題2 不等式ax2+bx+12>0的解集為x|-1<x<2，則a=_, b=_。解析：由不等式的解集為x|-1<x<2知a<0，且方程ax2+bx+12=0的兩根為-1，2。由根與系數(shù)關(guān)系得解得a=-6, b=6。注：本題也可將-1與2分別代入原方程，得到含a，b的二元一次方程組來解3.3練習1、解下列不等式： (2) 1不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 2若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)= 3已知不等式的解集為，則 4若關(guān)于x的方程兩實根有一個大于2，而另一個根小于2，則實數(shù)的取值范圍是 3.4參數(shù)取值范圍問題例題 若關(guān)于的不等式的解集為一切實數(shù)R，求的取值范圍.解析：因為二次項系數(shù)是m-1，故應該對其進行討論；（1）當時，原不等式為：，不符合題意.（2）當m1時，原不等式為一元二次不等式；當時，顯然不符合題意當時，只需，即，解得