大一高等數(shù)學復習題2(含答案)

1、工程數(shù)學二復習題（教師用）、選擇題:1、卜列等式中有'一個是微分方程，它是（D )U V UVUA、UV UV(UV)B、2VVdy Xd(y ex)C、eD、y 3y4y 0dxdx解：選項A和B是求導公式，選項 C為恒等式，選項 D符合微分方程的定義2、下列方程中有一個是一階微分方程，它是(C )Z、22/、2、457 CA、(yxy) XyyB、(y)5(y) y X 02 2 2 2C、(X y )dx (X y )dy 0D、Xy 3y 4y 03、若級數(shù) an與 bn都發(fā)散，則（C ）n 1n 1A、(an bn)發(fā)散n 1C、(anbn )發(fā)散n 1B、anbn發(fā)散n 1

2、D、（a； b）發(fā)散n 1解：由Ianl Ianl Ibnl推知若選項C收斂，則an收斂，與題設矛盾，故選 Cn 14、級數(shù) an的部分和數(shù)列 Sn有界是該級數(shù)收斂的（ A ）n 1A、必要非充分條件C、充要條件B、充分非必要條件D、既非充分也非必要條件5、級數(shù) 弓（a為常數(shù)）收斂的充分條件是（ A ）n 1 qnA、q>1B、q=1 C、q<1D、q<111解：該級數(shù)是公比為 丄的幾何級數(shù)，所以當丄 1 ,即q>1時級數(shù)收斂qq6、若級數(shù)an收斂，那么下列級數(shù)中發(fā)散的是( B )n 1A、100anB、(an 100) C、100+anD、 an 100n 1n 1n

3、 1n 1解：選項B中，因為lim(an 100)1000 ,所以該級數(shù)發(fā)散n7、若級數(shù)an發(fā)散，則( D )n 1A、Iiman 0 B、IimSn(Sn a1 a2an)nnC、an任意加括號后所成的級數(shù)必發(fā)散n 1D、an任意加括號后所成的級數(shù)可能收斂n 1解：選項A和B均為級數(shù)發(fā)散的充分條件，但非要條件。若級數(shù)發(fā)散，則任意加括號后所成級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散8、 若級數(shù)an收斂，則下述結(jié)論中，不正確的是(C )n 1A、(a2n 1 a2n)收斂B、 ka*收斂(k 0)n 1n 1C、Ianl 收斂D、Iim an0n 1解：選項A中因為 (a2n I a2n) (a1 a2) (a3

4、 a4)所以A正確n 1選項B中由級數(shù)收斂性質(zhì)知該級數(shù)收斂，所以B正確選項D是級數(shù)收斂的必要條件，所以D正確選項C中原級數(shù)收斂，|an |可能收斂也可以發(fā)散n 19、 無窮級數(shù)(1)nUn(Un0)收斂的充分條件是( C )n 1A、Un 1Un(n1,2,)B、IimUnn0C、U n 1Un(n1,2,),且 IimUn 0nD、( 1)nn 1(Un Un 1)收斂解：所給級數(shù)為交錯級數(shù),選項C為交錯級數(shù)判斷收斂性的萊布尼茨定理中的條件10、設 0Un1(nn1,2,）,則下列級數(shù)中必定收斂的是（D )A、Unn 1B、(n 11)nunC、寸 Unn 1D、( 1)nn 12Un22在

5、球Xz2 2z 0內(nèi)部的點是（11、(O, 0, 2)B、(0, 0, -2) C、2 2 21 1 1(2,2, 2)2 XX2 2 2解：球的標準方程為 X y （Z 1）1 ,是以（0, 0, 1）為球心，1為半徑的球面,3經(jīng)驗算選項C中的點到球心的距離為3 1212、設函數(shù)Zf(, y)Xy 2 X,則下列各結(jié)論中不正確的是（yC、f(1,-)XXy2yXy2 2X y1 1f(-,-)X yXy2 2X yXyf ( y, y)2X13、設函數(shù)z=f（x,y）在點（xo,yo）處存在對x,的偏導數(shù)，貝U f '（xo,yo)= ( B )A、lim f (XO 2 X，yO)

6、 f (X0，yO)X 0lim空現(xiàn)X 0f (Xox, yo)lim f(,y) f(o,yo)X 0X X0CHmf (XO,y0y)f (X0，yO)X 0解：根據(jù)偏導數(shù)定義知選項 C和D顯然錯誤 選項A中，Hm f (XO 2X，yO) f(X0，yO)= 2lim f(XO 2 X，yO) f(X0，yO)2f(x°,y°)X 0X 0選項B中,A、(xo, yo)是f (x, y)的極值點B、(o, yo)是f (x, y)的最小值點Iimf(X0,y°)X 0f (XoX, yo)Hm f (XOX OX, yo) f(o,y°)Xf(&#

7、176;, yo)ZZ14、二元函數(shù)z=f(X,y)的兩個偏導數(shù)存在，且0,0，則(D )XyA、當y保持不變時,B、當X保持不變時, C當y保持不變時, D、當X保持不變時,f(X,y)是隨X的減少而單調(diào)增加的 f(X,y)是隨y的增加而單調(diào)增加的 f(X,y)是隨X的增加而單調(diào)減少的 f(X,y)是隨y的增加而單調(diào)減少的解：由一Z 0知當y保持不變時，f(X,y)是X的單調(diào)增加函數(shù);X由一Z 0知當X保持不變時，f(X,y)是y的單調(diào)減少函數(shù); y15、函數(shù)z=f(X,y)在點(X0,y0)處可微的充分條件是( D )A、f(X,y)在點(X0,y0)處連續(xù)B、f(X,y)在點(X0,y0

8、)處存在偏導數(shù)C Ii叫 Z f(x°,y°) Xfy(°,y°) y 0Zf(0,y0) X fy(x0,y0)人 C 甘出；D> IimJ0 ,其中 ,(X)2( y)2解：二元函數(shù)在點(X°,y° )連續(xù)或偏導數(shù)存在均不能保證在此點可微由全徽分的定義知選項D正確216、已知函數(shù)f(x y,X y) Xy2，則旦山A、2x-2y B、x+yC、2x+2yD、-yf(,y)f(, y)Xy17、已知函數(shù)f(y, X y) X2 y2 Xy ,則f(,y)f(,y)XyA、-1, 2yB、2y, -1C、 2x+2y, 2y+x

9、D、2y, 2x解：設u=xy,v=x+y ,貝U f(u ,v)=(x+y) 2-y=v 2-u所以 f(x, y)=y2-解：設 u=+y，v=-y ,貝U f(u，V)=UV ,從而 f(，y)=y分別為(A )c、(o,yo)是f(,y)的最大值點D、(xo,yo)可能是f(,y)的極值點解：f(,y)0且fy(,y)0是f(,y)在(x°,y°)有極值的必要而非充分條件19、設區(qū)域D是單位圓x2y21在第一象限的部分，則二重積分XydD1y2dx 1x20 01 J y2B 0 d 0Xydy1 J y2C、0 dy 0 XydXSin 2 dr:在直解坐標系下:

10、XydD0dy1 y20XydX11 X20dx0 XydyXXydD-1-1 32 d r cos rsin rdr 2 d r Sin COS d000011 X20、dx0 0f (,y)dy (D )1 X111A、dy0 0f (,y)dB、 dy0 JO f(,y)d11 X11 yC、dy0 0f(,y)dD、 dy0 JO f(, y)d解：改變積分次序后，積分區(qū)域可記為D ( x, y) | 0 y 1,0 X 1 y21、若 dxdy 1 ,則積分區(qū)域 D可以是( C )DA、由X軸，y軸及x+y-2=0所圍成的區(qū)域B、由x=1， x=2及y=2，y=4所圍成的區(qū)域C由兇=

11、1/2 , y=12所圍成的區(qū)域D、由x+y=1，x-y=1所圍成的區(qū)域解：由二重積分的幾何意義 可知D的面積為1,畫出草圖可知選項 A、B、D所給區(qū)域面積均為2,選項C所給區(qū)域的面積為1二、填空題：11、微分方程Xy y 0滿足條件y(1)1的解是( y2、微分方程(1 y)dx (1 x)dy 0 的通解是(1x)(1 y) C )解:y上，于是 ln(1 y) ln(1 x) In C1 y 1 X8、設 Z X ,則 dz=(少 dx 仝 dy)V y2xy 2y2 y12 X0dx X f (x, y)dy)1 y22 y4、0dy O f (x, y)dx I dy O f(x,y

12、)dx 交換二次積分的次序為(5、已知 a (1,1, 4),b(1, 2,2),則 a b (-9), a 與 b 的夾角為(1)nX ()6、二元函數(shù)Z'y的定義域是（ D(,y)2X22y 4, Xy2二、計算題1、求級數(shù) 2x 4x3 6x5 8x7的收斂域,并求和函數(shù)。解: an(x) 2n x2n 1Iimnan 1 (X)an(x)Iimn2n 1(2n 2)x 2n 12nx當Ix2 | 1即|x| 1時收斂，當|xIxI22 | 1即|X|1時發(fā)散當x=1時，原級數(shù)為2n發(fā)散，當X= 1時,n 1原級數(shù)為2n）發(fā)散所收斂域為（一1，1）令 S(X)C 2n 12nxn

13、 1X,則 S(0)=0 O S(t)dtn1 0X2nt2n 'dt2n 12nXn 1X21 X2(|x| 1)S(X)2X1 X22x(Y(IXI )2、將函數(shù)f(x)展開成X的幕級數(shù)。參考答案:解:exnXXn 1 n!nXn 1 n!n 3從而 f (x)x3e X ( 1)n -X (,)n 1n!13、級數(shù) 1 n 是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂? n 2 Inn參考答案：1 1 1 1解：因| Un | -,而一發(fā)散，故一發(fā)散。Inn n n 2 nn 21n n因此原級數(shù)不是絕對收斂，1 1 1顯然 一一 ，n 2,3,且 Iim0，InnIInnn ln

14、 n故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。rr4、已知a (1,1, 4)，b(1, 2,2),求a在b上的投影。參考答案：r ra b 1 1 1 ( 2)( 4) 2=-9r b raQra3rb 十blra- raVbPP5、設ZUe Sin V,而 U Xy，VX y求一X參考答案:ZZ UZ VXU XV XUUye Sinve cosvexy(ys in(x y) CoS(X y)6、計算函數(shù)Z exy在點(2,1)處的全微分參考答案：ZXyye ,Zxexy,Ze2Z2e2XyX(2,1)y(2,1)所求全微分dze2dx2e2dy7、設 Z arcs inX ,求一ZX2y2參考

15、答案:X 2-y22 2X y|y|(X2y2)3|y|-22.X y8、求 Z X33y3 xy的極值參考答案：解：由ZX3x223y0X0X1Zy3y3x0y0,y1又 ZXX6X,z:Xy3,Zyy6y對于（0，0）占八、：ACB290,故（:0, 0)對于（1，1）占八、：ACB2369270 ,且所以（1，1）為極小值點,且極小值Z=1不是極值點A>0 ,9、求（2D參考答案：y2)d ，D是由yX, y X a, ya,y3a(a0）所圍成的區(qū)域解:D(x2y2)d3a ydyy a(X2 y2)dX3aa (2ay3a3)dy 14a410、計算二重積分.1Xy 3ddy，其中D是由X y30, y1所圍成的第一象限的閉區(qū)域。參考答案:積分區(qū)域:7dXdy10dy 0y Xy dx.1 y3y3dy11、欲圍一個面積為 62平方米的矩形場地，正面所用材料每米造價 10元。其余價5元，求場地長、寬各為多少米時，所和