【精品】實分析與復分析02

1、kuh vw,則存在函數入2,，n）,使得aj （x） 4-4-an（x） = 1 （工 wk）.（1）因為（1），集族加，九稱為k上的從屬于覆蓋匕，匕的單位分解.證明 由定理27,每個工wk有一個鄰域具有緊閉包，丙,u匕對某個訂依賴于工） 成立.存在點乃，心，使得wfuuw. =k.對lwdwm 令乩是含于匕的朿的1mf并.由烏雷松引理，存在函數使得hxgxv,.定義仏=幻，人2 = <1 gl）g2，“、h“=（1 一 gi）（l g2（lgi）g 八則ht<vt由歸納法，容易驗證+屁 + + 九=1 （1 gl）（l g2）（1 gj（3）因為kuh|uuhj故對每一點至少有

2、一個g.a）= h因此，（3）證明了（1）成立.里斯表示定理2.14定理 設x是局部緊的豪斯多夫空間，人是c（x）上的正線性泛函，則在x內存在 一個包含x的全體博雷爾集的代數®i，并存在狽上的唯 個正測度宀“在下述意義上 表示了 a：(a) 對每個 /ecc(x)> a/= f 眼401 并有下述的附加性質:（b）（c） x對每個緊集kux, ju（k）<oo對每個ee®i,有尸（e） = infzav）: e u v,v 是開集.(d)對每個開集e或每個eg5r而“（e）<g,有卩（e） = supp（k）: k u e,k 是緊集若 eg9r, aue

3、,并且 /x（e）=o,則 ag5w為清晰起見，讓我們進一步明確一下假設中“正"字的含義：人被假定是復向量空間c/x） 上的一個線性泛函，具有如下的附加性質即對每一個取值為非負實數的函數/ 也是非 負實數.簡言之，若 f（x）uo, oo）, a/0, oo）.當然，（a）是最感興趣的一個性質.定義狽和“之后在證明狽是廠-代數、是可數可加 的過程中，（b）到（d）也就會建立起來.我們稍后將看到（定理2.18）,在“合理的”空間x內, 每_個滿足（b）的博雷爾測度也滿足（c）和（d）,并且在那些情況下，實際上對每個ewwb <d） 一定成立.性質（e）僅說明，在定理1.36的意義

4、下，（x,狽，“）是一個完備測度空間在這個定理的整個證明中，字母k表示x的緊子集，v表示x內的開集（k）=h（k）就夠了.我們從證明"的唯一性開始.如果“滿足（c）和（d）,那么顯然h在狽上由它在緊集上的值所決定.因此，當少和抄是滿足定理的測度時，只要對一切k,證明丹 于是，固定k和e>0.由（b）和（c）,存在vok,使“2（vo<f2（k）+“由烏雷松引理，存在八使得因此,“i(k)= j *才 fg = af = x£ x紜yd”？ = “2（v）< 卩2（k） + e.這樣，“|（k）£“2（k）.妙和抄互換，就會得到相反的不等式.從而證

5、明了 “的唯一性. 上述計算還附帶地證明了由（a）可推得（b） 卩和狽的構造對x中的每個開集定義“（v） = sup4/： / v,（1） 41若xus，顯然（1）蘊涵著以匕）£“（匕>因此，若e是一個開集，則“（e） = inffcv）： ed v,v 是開集幾（2）并且對每個eux,由（2）來定義p（e）和（1）是一致的注意，盡管對每個eczx定義了“（e）,但“的可數可加性將僅對x中某個。-代數猱證明 令sjv是一切eux的類，這里e滿足兩個條件，（e）<oo,以及“（e） = sup/z（k） : k u e9k 是緊的（3）最后，令sr是一切eux的類，這里e對

6、每個緊集k有eakew.證朋fi和3r具有所要求的性質顯然“是單調的，即aub時，有h（a）w“（e）,而且“（e） = 0蘊涵著eew和 因此，（e）成立，且根據定義（c也成立因為其他結論的證明相當長，把它分成若干個步驟來證比較方便可以看出，a的正性蘊涵著a是單調的:任g蘊涵著這是顯然的，因為ag = a/4且g-f鼻0.此單調性將用于步驟ii和步驟x步膝i 若e e2 > e? 是x的任意子集，則(4)oo8“（u ej < 耳"（e）證昵 首先證明若匕和卩2是開集，則“（x u %）=“（匕）+“（匕）（5）(6)選擇gyuiux.由定理2- 13,存在函數協和仏，

7、使得九yx，并且對g的支集內的一切工, 有d（刃十馬（工）=1因此，仏匕，g = hgrh2g9從而ag = a（fhg） + a（/i2g）m /i（vi） + /（%）因為（6）對每個g<v,uv2都成立，由此得到（5）若對某個幾有尸（e）=oo.則（4）顯然為真.因此，設對每個詳有“（ejvoo.取>0. 由（2）.存在開集匕使得42“(匕)v“(e)+2飛ci = 1,2,3,-).oc令v= uv,并選擇/<匕 因為f有緊的支集，可以看出對某個小 有于vxuux. 1對（5）應用歸納法，于是得到msx u u 匕）“（匕）+以匕）< d（e）+& 因為

8、對每個f<v,此不等式成立，且ueuu,由此得到8oo“（u ei） wm ”“（e十由于e是任意的，故證明了（4）°'步驟ii 若k是緊的，則kew，并且“（k） = inf af ： k < /.（7）由此就得到定理中的（b）證明 若 kv/, 0<a<l,令 va=x： f（x）>a9 則 kczk，并且當 g<vo 時，*仁因此“(k)冬 p(vj = supag : g y 比 w a 1 a/.令最終得到(k) < af.(8)因此，p（k）<8由于k顯然滿足（3）, ke w. 若 >（）則存在 vok,使

9、“（v）v/（k+e由烏雷松引理，存在/使k<f<v.因此由此式并結合（8）式，就得到（7）.步驟證明專個開集都滿足（3）因此刃k包含毎個滿足z/（v）<oo的升集匕 令。是一個實數，使得a<“（u）存在一個使ava/的f<v.若w是包含/*的支集k的任意一個開集.則從而a/<“（w）因此，a/</z（k）.這就表示有滿足av “（k）的緊集kuv.于是對于v，（3）式成立g步驟jv設e= u ei9其中e29 e"是加f的互不相交的元素，則i" 1“（e）=工“（ej.<« 143并且，若戶（e）voo,則ec刃u

10、證明 我們首先指出，若k和k?是不相交的緊集，則尸（k ij k2）= “（ki ）+“（k2）（1。取£>0.由烏雷松引理，存在f c（x）,使得在k上f（工）= 1，在k2上f（工）= 0,并且 由步驟11，存在g使得k| u k2 v g 和 ag <“（ki u k2）+e注意kt<fg和k2<（1 y）g.因為a是線性的，由（8）式得到h（kj +“（k2）< a（/k）+a（g-/g）=如 <h（k u kj +e由于w是任意的，因此由步驟i得到(10).若呻)=8,則由步驟i得到(9).因此，設并取e>0.因為et.6 w存 在

11、緊集有ht) > /z(ej 2 le (i = l,2,3,).(11)令k“ = h|uuh”，并對(10應用歸納法得到“(e)»(kq => £址&)一匸(12) 11=1由于對每個刃和每個£>0, (!2)成立，所以(9)的左邊不小于右邊.于是從步驟i得到(9). 但是，當“(e)<x而£>0時，(9)表明，存在某個n使(13)ft嚴(e) m+w.f 1由(12),就得到“(忙)£“(心)+2這就證明了 e滿足(3；因此，ewsotf.步驟v 若ewwu和則存在緊集k和開集使得kueuu而尸(v

12、k)<e 證明 我們的定義表明，存在kue和vzde，使得“(v)號 < fjt(e) v ju(k) + 號.因為v-k是開集，由步驟nn v-k6 w.于是步驟iv蘊涵著“(k) +/2(v-k) = “(v) </i(k)十&步驟vi如果人和bwswf，則a-b. aub和ap|b均屬于戒尸證明 如果£>0,步驟v表明，對*1，2,存在集和匕使得kiuauv, k2ubu v2,并且(匕一kjc&由于a bu 匕一k2 u (刃一 kj u(k】一vu(v2-k2),步驟1表明a b) mw + ”(ki v2) 4- £.(1

13、4)因為kx-v2是a-b的緊子集，(14)表明a-b滿足(3),所以a-b44由于 aub=(a b)ub，應用步驟 iv，可證明 aub69rf.因為 aab = a-(a-b), 也有刃u0步驟vi 狽是x中包含所有博雷爾集的棧數證明令k是x內的任一個緊集.如果aw3jl則ank = k-(ack),于是acck是的兩個元素之差因此，山dkg3ri于是可以得出結論：aw9r蘊涵著a疋戒其次，設這里每個令且bn = (a“ n k) 一(b u u ”1)5 = 2.3,4,)，(15)那么，由步驟vi知&是wif中的互不相交元素的序列，且aclk= u brt.由步驟iv得到 a

14、akcw-因此，aesw最后，若c是閉集，則crik是緊的.因此crikw派i于是ce w.特別地，xgsr. 這樣，我們證明了頸是x中的一個<7 -代數，它包含有x的全體閉子集.故9r包含x內 的全體博雷爾集.步驟ml a»f恰好由那些使h（e）vs的集ew2r所組成.這蘊涵著定理中的（d）證明 設步驟u和vi蘊涵著對每個緊集k, eflkc 因此.e" 反之，設ew5r，“（e）<8,并取£>0這時，存在開集voe,而（vxoo；由步驟皿 和步驟v,存在緊集kczv,而fav-k）<e.因為ehke存在緊集hczeqk.而（ae fl

15、k） v 尸（h）+e因為ec（enk）u（v-k）,由此得到尸（e） m“（e h k） +“（uk） v“（h） +2這就蘊涵著 451步驟ix “是sw上的一個測度.證明 直接由步驟iv和步驟啣得到"的可數可加性 步驟x 對每個/ea（x）, a/= f辱.7 x這就證明了 5）并完成本定理(16)證明 顯然，對實的/證明就夠了.而且、對每個實/ec（x）,只要證明不等式x 3也就夠了.因為，一旦（16）成立，a的線性表明af a（ f、冬（一x此不等式和（16） 起說瀾（茁）的等號成立(17)令k是實支集，5，刃是一個包含/的值域的區(qū)間（注意定理2. io的推論）, 取

16、63;>0.并對5=0, 1,，九選擇，八使得y<和< <>< <> = bet = x：< f（h冬卯 cl k （i h 1.2,“）（18）由于f連續(xù)，f是博雷爾可測的，因此集碼是不相交的博雷爾集，它們的并是k.于是存在 開集匕使得(19)z（vj） v（e» + 亍 （i = 1,2, “?）并對_切xev.,有/（x）<j, 4-.由定理2.13,存在函數仏 <匕，使得在k上有另九=1. 因此f=/h、f、并且步驟ij表明“（k）ma（另入）=另人尼.閻 由于 hifw（yi+）h“ 在 ei ±

17、3t </（x）,我們有i = 1i ihn=另（丨 a |+y+）aa, i a |：aa：l-il-=lw（ i a l + y+g）“（er ）+£/| a i h（k）1 = 1nn=23 ® ）（e,）+ 2甲（k+ 空工（i a 1 + y, +e）t=1并 i）w fs + 2p（k）+| a i + b + g因為是任意的，故（16）成立.定理證明完畢.博雷爾測度的正則性2. 15定義 定義在局部緊的豪斯多夫空間x的全體博雷爾集組成的/ t弋數上的測度“稱 為x上的博雷爾測度.如果“是正的，并且一個博雷爾集eux具有定理214的性質（c）或 （d）我們

18、就分別稱e為外正則或內正則的.如果x內的每個博雷爾集同時是外正則和內正則的，則稱“為正則的.在里斯定理的證明中，每個集e的外正則性是在構造的過程中建立的，而內正則性則僅就開集和h（e）8的esw作過證明.產生這一缺陷是自然的在定理214的假設下，我們 無法證明f的正則性；習題17中介紹了一個例子.然而，稍強的假設確實能給出一個正則測度.定理217指明了這一點定理2.18說明,如果我們把假設更待殊化一些，一切正則性的問題都會消失干凈2. 16定義 拓撲空間中的一個集e稱為/-緊的，如果e是緊集的可數并 對于測度空間（測度為“）中的一個集e,如果e是集e的可數并，而/z（e,）oo,那么稱e有（7

19、 -有限測度.47例如，在定理214所述的情況下，每個緊集有。-有限測度.另外容易看出，如果eg 狽，e有（7-有限測度，則e是內正則的.2. 17定理 設x是局部緊、（？-緊的豪斯多夫空間若9r和/都像定理214所敘述的那樣，則頸和“有下述性質：（a）若e6 2r和0,則存在閉集f和開集v使得fueuv且“（vf）£（b）p是x上的一個正則博雷爾測度.（c若eg 5r,則存在集人和e使得a是一個f。集，"是一個s集，aueub且“（b a） = 0作為（c）的推論，我們看出每個e6 2r是一個f；集和一個測度為0的集的并.證明 令x =k|uk2uk3u其中kw是緊的若e

20、wsr且£0,則“（kmexoo,并存在開集匕=）k”ce,使得v=uvn,則 u-euu(匕一(k”de),于是用f代替e,并把此結果用到f上，存在開集使得“(w-f)v號若f=wj 則fue并且e f = w f于是得到(a).因為f=u(frikj,每個閉集fux是緊的，因此，(a)塑涵著每一個集e6 5w是內 正則的.這就證明了(b).對e=l/j(j=l9 2, 3.)應用(a),就得到閉集耳和開集匕，使得fueu匕并艮 (v.-fjxl/j.令a-uf；和匕則aueu乩 a是一個f,集，"是一個g占集，并 且由于b-adv,-f > = 1, 2, 3,，

21、可得“(b人)=0.這就證明了(c).2.18定理 設x是局部緊的豪斯多夫空間.其每個開集是/-緊的設入是x上的任一 個正博雷爾測度，對每個繪集k.有a(k)<oo.則入是正則的.48 注意.毎個歐氏空間r*滿足現在的假設，因為用中的每個開集是閉球的可數并證朋 對/6q(x)t令a/= f fdx.因為對每個緊集k, a(k)<oo,人是cxx)上的正 x線性泛函并且存在正則測度“滿足定理217的結論于是(1)/cu x我們將指出入=“設卩是x中的開集，則u=uk其中k,是緊集，2=1, 2, 3,.由烏雷松引理，我 們可以選擇亢.使得kt<ft<v.設，人)，則g”c

22、c(x八芥且對每個 x.弘(工)遞增到xv()因此由(1)和單調收斂定理推出a(v) = lim gda(2)皿 </e c(x)=lim gnd/z = “(von-*ooj x 現在設e是x中的一個博雷爾集并選擇w>0因為嚴滿足定理217,存在閉集f和開集 v,使得 fueuv 并且“(u f)v因此 “(v)wh(f)+ew/(e)&因為v-f是開集，(2)式表明a(v-fxe.于是a(vxa(e)+e,從而a(e) w 入(v) = “(v)£“(e) +w,“(e) < “(v) = a(v) < a(e) + e.這樣對任意>0,有丨

23、入(e)“(e) | <£,因此he)=“(e).、図習題18中描述了_個緊豪斯多夫空間，其中某個點的余集不是°_緊的，并使上述宦理的 結論不成立.勒貝格測度2. 19歐氏空間©維歐氏空間疋是所有點工=(&，&，的集，它的坐標&是實 數.并有下述代數結構和拓撲結構設!*=(&, &)，=(%，%)，a 為共數定乂 h + «y 和如下 2（a& 9 、*q（1）=（才工）匕則由施瓦茨不等式x + y （$i 十巾+ %）, or 這使用成為一個實向最空間.若工 y=z.,| xi yi導出三角不等式(

24、2)(3)i t y im h z l + l z y i，x-y丨定義的度量.我們假定這些事實是熟悉的，并將在第4章因此得到一個由pcr, y）= i中以更一般的形式加以證明.如果eur*和工則e對于工的平移是集e + z= y + x：y 6 e我們稱形如w二才：8 <2 v亦w幼的集或者用代替（4）中的任一個或所有的楙<”符號而得的集為k胞腔；它的體積定義為k vol（w） a （仕a）（5）設aerk. 3>0,我們稱集： $）二"2 :偽 £ £ < 8 + 5,1 w , w ©（6）為以a為頂點的5-單元這里.g）對

25、” =1, 2. 3.，我們令玖是所有坐懷是廠”的整數倍的rerk的集令久是所有以 幾的點為頂點的單元爼成的康族找們需要o,的下述四個性質其中前三個性質是顯而易見的.定小 則每個工卅屬于且僅屬于c.的一個元素.(b若qwq八而 y>,則 qug或者qng=0.（c）若qwg，則vol（q） = 2_r* ；若n>r.則集e恰好有2"個點屬于q（d）rk中的每個非空開集是屬于niuauau中不相交單元的可數并.（d）的證明 v是開集，這時每個xev屬于含于v內的一個開球,因此存在屬杲卜 a的q,使 疋quv.換句話說v是所有那些含于v內且屬于某個c”的單元之并從此單 元的集

26、族中，選出那些屬于口的單元，并從02, 03,中去掉包含在已選單元之內的單元.從余下的集族中，選岀屬于02且含于v的單元，并從03，a，05，中去掉包含在已選卓元之內的單元.如果我們按這種方法繼續(xù)進行下去由（r和（b）就可證明（d）成立.2. 20定理在用中，存在定義在<t-代數狽上的正完備測度加，具有下列性質:q）巾（w）=yo1（w）,對毎個代亠胞腔w成立（b）an包含r*中的所有博雷爾集；更確切些.ew9r當且僅當存在集aur*和burs 使得aueub, a是一個幾集，b是一個（和集，并且加（b-a） = 0祝也是正則的（c）m是平移不變的即對毎個ee 9r和每個工有m（e +

27、j?）=加（e）（d）如果廠是上任意一個正的平移不變博雷爾測度，使得對每個緊集k有卩（k）<g, 則存在常數c.使得對所有博雷爾集eur*, h（e=5（e）.(e) 對每個用到r'的線性變換對應有實數("使得對任意e®1,有 m(t(e) = a(t)m(e)特別是當t是一個旋轉時，有w(t(e) = (e)狽的元素是用中的勒貝格可測集，協是勒貝格測度.當需要明確這一點時，我們將記為 用以代替加.證明 設/是hk t任一個具有緊支集的復函數，定義(1)af = 2一誡 yfcx) (n = 1,2,3,)，這里的p”與2.19節(jié)中的一樣.現設fwcw f是實

28、的w是一個開的上-胞腔，它包含/的支集，并且>0. /的 一致連續(xù)性(26,定理4.19)表明存在一個整數n及支集位于w內的函數g和/1,使得: (i)g和人在屬于cm的毎個單元上是常數，(ii)g£/w兒(iii)a-g<e.當”>“時性質29 (c)表明(2)(3)a ng = ang m anf < anh = am.因此.aj的上、下極限至多相差evol(vv),并由于£是任意的我們證明了極限 af = lima j (f c(r"r才f 8的存在性.!可以宜接得出a是ckrt上的正線性泛函(事實上，a/正好是/在川上的黎曼積分 為

29、了不至于依賴多元黎曼積分的任何一個定理，我們才討論匕述構造.)我們定義加和瀕為定理2. 14中與a相對應的測度和/ -代數由于定理2. 14給出了一個完備測度而rk是莎-緊的，根據定理2. 17即推出定理2. 20的 斷言(b)_為了證明(a).設w是2.19(4)中的開胞腔，碼是閉包位于w內的屬于0尸的單元之并. 選擇/，使得er<fr<w.又令gr = max(/t ,，fr t a的構造表明vol(er) < afr < agr < vol(w).當loo時，vol(er)-vol(w),并且因為對所有的zgrs由單調收斂定理，有(5)agr = g/dm

30、亠加(w)這樣，對每個開胞腔w,砒(w) = vol(w),又因為每個怡-胞腔都是一個開的& -胞腔的遞 減序列之交，所以我們得到()(c)、(d)和(e)的證明將用到下列觀察：若入是斤上的一個正博雷爾測度并且對所有的單 元e有a(e)=m(e),所以由性質2.19(d),對所有的開集e等式也成立，再由；i和丹的正則 性(定理218),對所有的博雷爾集等式也都成立現在證明(c),固定工尺，定義入(e) = tw(e+h)顯然入是一個測度；由(r，對所有的 單元有入(e) = /n(e),因此對所有的博雷爾集e,有加(e+h)=»z(e).由于(b),等式同樣對 每一個eesw

31、成立.其次，假定嚴滿足(d)的假設.設q。是一個1-單元，令c=faqq.因為q是曠個不相 交的、彼此相鄰的單元之并，對每個2一”單元q我們有2"“(q) = “(qo) = ctw(qo) = c 277?(q).性質2. 19(d)蘊涵著對所有的開集eur"有“(e)=cm(e),這就證明了(d).u：現在證明(c),設t： rkrk是線性的.若丁的值域是一個低維的子空間y,則加(y)=0 且(" =(),所期望的結論成立.在另一種情況下，初等線性代數告訴我們丁是一個疋到尺 上的一一映射，并且其逆映射也是線性的.這樣丁是一個p到爐 上的同胚，對于每一個博 雷爾

32、集e, 丁(e)也是博雷爾集，并且可以由“(e) = n?(t(e)在尺上定義一個正博雷爾測度利用t的線性和也的平移不變性得出(e + h) = 7n(t(e + jr) = m(t(e) + tjt) = m(t(e) = p(e)這樣嚴是平移不變的，(e)的第一個論斷可從(d)得出，首先對博雷爾集e,然后由(b)對 所有的eewi52為了求出a(t) t只需對一個滿足0<th(e)voo的集e求出m(t(e)/7n(e)的值就夠了 若t是旋轉.設e是r'中的單位球，則t(e) = e9 a(t) = l2.21評注 若加是rk l的勒貝格測度，習慣上用記號t1( rk)來代替

33、u()若e是 r*的勒貝格可測子集，并把加限制在e的可測子集上顯然町得到一個新的測度空間術語 “在e上，/e l1"或用來指明/在這個測度空間上是可積的pa如果=1, i是集(am (a, b, a, 6), a,小中的任一個 / l1 (d i習慣上用 記號/(x)dx 來代替 j dm.j aji由于任意單個點的勒貝格測度為°,這就使在上述四個集上進行積分沒有什么差別.在初等微積分課程中學到的關于積分的所有知識在這里仍然是有效的.因為若/是刃 上的連續(xù)復函數，則f在a,靈上的黎曼積分和勒貝格積分一致.當f(q)二f(b) = o,并且對 工va和x>b.定義/(小

34、是0時，這是很明顯的.推廣到一般的情形也沒有什么困難.實際 上，對a,刃上每個黎曼可積的f，這一事實都成立.由于以后沒有機會討論黎曼可積函數， 我們省略了證明，請參閱26的定理h-33.否尺至此，某些讀者可能會產生兩個自然的問題：是否每個勒貝格可測集都是博雷爾集嗎？是 否卍的每個子集都是勒貝格可測的？即使上=1，這兩種情形的答案也都是否定的.通過一種勢的推理能夠解決第一個問題，我們簡述如下.令是連續(xù)統(tǒng)(實線，或者等價 地說，整數的所有子集族)的勢我們知道，r有可數基(中心在斤的某個可數稠密子集；帶 有有理數半徑的開球)，的所有博雷爾集的集族)是由這個基生成的莎一代數.由此得到 (我們略去證明)

35、傍卜有勢另_方面，存在康托集eurx而m(e)=o(習題5).加的完備性 蘊涵疳e的2個子集中的每一個都是勒貝格可測的.由于個>"大部分e的子集不是博 雷爾集.下面的定理回答了第二個問題2.22定理 若aurx并且a的每個子集都是勒貝格可測的，則m(a)=o.推論每個正測度集都有不可測的子集.證明 我們將利用尺關于加法是一個群的事實.設q是由有理數組成的子群.乂設e是 53 一個集，它與q在卍 的每一個陪集恰好有一個公共點.(存在這樣一個集的斷言是選擇公理 的直接應用)這時，e有下列兩個性質.(a) 當 rg qtrs 時，(e+廠)0( e+s) = 0 (b) 對每個存在r

36、gq使jrge+r現在證明(a),假設jtw (e+廠)pl (e+s),則對于z e, yhz有工=，+廠=疋+ $ 但是yzsrq,所以z屬于q的同一個陪集，這是矛盾的.現在證明(b),設y是與工屬于同一個陪集的e的點，廠=工一卩暫時固定rgq并令£ = an(e+z)由假設，代是可測的.設kua,是緊集 h是廠取 遍qaeo. 1時平移km 的并.則h是有界的，因而m(h)<oo因為kue+八(q表明 這些k +廠的集是互不相交的.于是有加(h) = m“(k +廠)但是m(k + r)=m(k).于是得 出m(k)=o.這對每個緊集kua,都成立，因此也(兒)=0最后.

37、(b)表明a=uaf,其中上取遍q因為q是可數的，所以加(a)=0.2.23行列式在定理2. 20(e)中出現的比例因子可以用行列式來進行代數的解釋.設班是圧的一個標準基：當i=時引的第i個坐標為當ihj時勺的第個坐標為0.若t：疋一是線性的并且k(1)t勺=工(1 j m 小1*1則由定義.dett是矩陣丁的行列式，其中第1行、第j列的元素為s我們斷言(t) =| dett |若t= ts t2,顯然有(t) = a(t,)(t2).行列式的乘法定理表明，若(2)式對°和八 成立，則(2)式對丁也成立.因為每個應上的線性算子都是有限個下列三種類型的線性算了 的乘積，所以只需對其中每

38、一個證明(2)式成立即可(i ) 丁，"是2】，的一個置換(1) t©=aei，嚴©, i2.，k.(hi ) 丁6=&1十勺，tei et i2 ，k.設q是由滿足0=，廠的所有工=(&，魚)組成的立方體he若丁是()型的，則t的每一行和每一列都恰好有一個位置其元素為1，而其他位置元 素為 0.這樣 dett=±l,同時 t(q) = q、所以 (t) = l= i dett | .若丁是(ii)型的，則顯然有a(t)= i a i = 1 dett | 若丁是(ffl)型的，則det7=1,并且t(q)是所有那些坐標滿足°

39、we vi (對 i 2)(3)的點工w©構成的集.若s是t(q)中滿足& <1的點的集，e是t(q)中余下的點的集，則si u (s2 e2) = qt(4)并且 sc|(s2-02)是空集.于是(t)=m(s】 us2)=m(s) + /n(s2-s)=加(q) = l,因此再 次有 a(t)= | dett | 可測函數的連續(xù)性由于連續(xù)函數在博雷爾測度特別是在勒貝格測度的構造中占有突岀的地位，似乎有理由相 信在連續(xù)阪數和可測函數之間存在著某些有趣的聯系.本節(jié)將給出兩個這種類型的定理.在這兩個定理中，我們將設“是局部緊豪斯多夫空間x上的一個測度，它有定理2. 14中

40、 所述及的性質.特別是，尸可以是某個rk ±的勒貝格測度.2. 24竇金定理 設產是x上的復可測函數.“（ax®,若時，并且>0, 則存在一個gg（x）,使得f（jc）工 &（工）>）< £（l）并且，還可汶做到sup | g（jr） iw sup | f（x） |.（2）xy x證明 首先設o并且a是緊的如定理117中的證明一樣，作出一個收斂于/ 的序列幾.并f1令山=釘，對n = 2. 34,，令=$“一 則2匕是一個集tua的 特征函數，而且g= £匚（工）（工 6 x）.” q i固宦開集v使得auv,而且卩是緊的則存在

41、緊集k”和開集匕使得k”u7；u*uv且 產（匕一kj<2壯.由烏雷松引理，存在函數札使得k<hn<vn.定義cog （工）=2（rrex）°）這個級數存x上一致收鈔，因而g是連續(xù)的.并且，g的支集含于p中.由于除v*-kn中的 點外，2-"hj=tn（x）.所以除u（匕一 k“）中的點以外，g（h）= f（h），并且后一個集有比£ 區(qū) 小的測度這樣，當a是緊集且°1時，（1）式成立宦此得到，當a是緊的、/是有界可測函數時，（1）式成立.a的緊性容易去掉，因為， 若“（&）<*,則a包含一個緊集k,使“（a-k）小于事先給

42、定的任意正數.再者，若于是_ 個復可側函數，| /（x） | >n.則db> = 0，于是由定理119（e） , /bjfo.由于 除在b”上以外，f同有界函數d-xb（i） /致，故在一般情形卜一（1）也成立.最后，令 r = sup | y（> i :工wx,并定義，若丨 z i wr,卩（z）= s 若 ' z i >r， 卩（n）=rz/|n|.則護是復平面到半徑為r的圓盤上的連續(xù)映射若g滿足（1），如=¥。&， 則知滿足（）和（2）推論 設滿足魯金定理的條件且i / i £1 則存在序列禺幾使得禺 c（x）,i gn且/（x

43、） = iimg”（工）a匕證明 由定理得出，對每個n對應有一個g“c（x）,使得丨g” i ml,而 2*2= 這里的位是使/（工）工弘（工）的所有工的集.對幾乎每個孫 它至多屬于有限多個集e,（定理 1.41）.對任意一個這樣的工和充分大的“都有/（工）=乳（工）.這就得到（5）.2. 25維塔利-卡拉泰奧多里定理 設fwl'3, /是實值的，并且>0則在x上存在 函數"和u,"是上半連續(xù)且有上界的，t/是下半連續(xù)且有下界的，使得 vfs 且（v u）da <c （1）x證明 首先假宦/no.并且f不恒等于6由于/是個簡單函數九的遞增序列的點態(tài) 極限

44、，所以f就是簡單函數匚=» 片7（取$。=0）的和又由于匚是特征函數的線性組合，所 以就存在可測集e（不一定要互不相交）和常數匚>0,使得oo56/（工）=另欽忙（x）（工e x）.i=li(2)由于(3)（3）中的級數是收斂的.存在緊集k,和開集匕使得k,ue,uv且咔(匕-kj < 2十1u = 1,2,3嚴(4)令oonp= sc«zvt 1 “ =藝儀 k ,1 = 1 1(5)其中n是這樣選擇的，使得oc工c山(ej <號(6)因此，7丿是下半連續(xù)的，力是上半連續(xù)的，©s并且ngv u =另g（右一才+ sc#xv 心*卄】gx-“）+

45、 s e t-lz1于是由（4）和（6）得到（i）“在一般情況下，記/=廠一廠，如上面一樣，對廠作出和5,對/作出血和5, 并令“=小_5, u=仙一 “2由于一盹是上半連續(xù)的，而兩個上半連續(xù)函數之和是上半連續(xù)的 （對下半連續(xù)也類似，我們把證明留作習題兒故"和p有所要求的性質.習題1,設人是r上的非負實函數的序列，考慮下述四個命題:（a）若八和斤是上半連續(xù)的則 m 是上半連續(xù)的(b)若八和/2是下半連續(xù)的則八+九是下半連續(xù)的.(c) 若每個人是上半連續(xù)的，則 另幾足上半連續(xù)的.i(小若每個人是下半連續(xù)的.則2 a是下半連續(xù)的.1證明其中的三個是正確的.但有一個是錯課的.如果省去“非負

46、”一詞會產生什么結果？如果用一般的拓撲 空間代轎r會影響命題的真實性嗎？2.設/是疋上的任意復函數，定義卩(工，5) = sup i /(5) /(/) i ； w (x “工 + 5) 護o) = inf(jt») : 5 > 0證明護是上半連續(xù)的，并且當且僅當卩(工)=0時/在點z處連續(xù)，因此任何復兩數連續(xù)點的集都是一 個gr集.用一般拓撲空間代替疋后表述并證明類似的命丿573設x是一個度fit空間，其度昱為°對任意非空集eux.定義(工)=: y g e.證明是x上的一致連續(xù)函數.如果a和b是x的不相交非空閉子集，檢驗函數&(工)& 3十內(文圧

47、否滿足烏雷松引理.4檢驗里斯定理的證明并證明下述兩個命題：(a)若eux和e2cv2,而匕、v2是不相交的開集，則/(ei ue2)=/ae1)+ju(e2)bp使吊和氏不屬于9r時也成立.(b若e珂，則e=nuk(ukzu.其中k：足不相交的可數緊集族，并且(n) = 0 在習題5到8中.m表示r"上的勒貝格測度.5. 令e是熟知的康托三分(middle thirds)集證rn(e) = o,即使e和疋有相同的勢6. 構造一個完全不連通的緊集kur,使得加(k)>o(k沒有多于一點的連通子集).若m是下半連續(xù)的，v<xk »證明確實有應。因此耳不能在維塔利-卡

48、拉泰奧多里定理的意義下，用下半連續(xù)函數從下面逼近.7. 給定ovevi,構造一個開集euo1,它在0,1中是稠密的，使得m(e)=s(a在b中稠密是指a的閉包包含e).8. 構造一個博雷爾集eurs使得對每個非空開區(qū)間i有0 v m(e c| i) < rn( d.對這樣一個集e,有/n(e)<8的可能嗎？9. 在0,1上構造一個連續(xù)函數序列人使得且lim f(x)dx 0. zej 0然而，卻沒有一個xof 1能使序列/.(x)收斂.10. 若£是0,1上的連續(xù)函數序列，使得°且當時.對每個工0. 人cr)f0,則lim f /ff (x)dx = 00試_試

49、.不用任何測度理論和有關勒貝格積分的定理來證明它.(這是為r使你對勒貝格積分的能力有個印象.w. f. el>erlein 在 1957 年 communications on pure and applied mathematics, vol. x? pp. 357 360 中給岀了一個漂亮的證明)11設“是緊豪斯多夫空間x上的一個正則博雷爾測度；假宦= 證明存在一個緊集kuxq的承栽集 或支集）使得"（k） = l但對k的每個緊的真子集h有“（h）vi.槌示：令k是滿繪0k» = 1的一切緊集k.的交，證明每個包含k的開集v也包含某個k.這需要“ 的正則性：比較習

50、題1&證明k是x中測度為0的最大開集.12. 訕明疋的每個緊子集是一個博雷爾測度的支集.13. h的毎個緊子集是一個連續(xù)函數的支集，對嗎？如果不對.你能把尺中是連續(xù)函數支集的所有緊集的類描述出來嗎？在其他拓撲空間你的描述也正確嗎？14. 設/是r'上的勒貝格可測實值函數，證明在用上存在博雷爾函數£和爪使得/= g a. e.加,并且對 每個 jtwr仁 g（x）f（x）a（x）15當lx時，很容易推測出j"子）'"dz 和£（l + ）"ez'dl的極限.證明你的推測是正確的.16. 在定理2. 20（e）的證明

51、中，為什么會有加（y） = 0?17. 在平面上定義點（4,卩）與（工力）之間的距離為i加一m i 若比=心$ 1 +1 yi 一刃i、若文1豐r證明它實際上是一個度粗.并且所得出的岌it空間x是局部緊的若fg（x）,設工 e聚那些使得至少有一個y使/（x,，）工0的乳這樣的工只有有限多個！兒定 義af =/（乃 qdy設“是由定理214所確定的與6對應的潦度，若e是工軸，證明盡管對每個察集kue有”（k） = 0, 然而川£）=818. 此題較前面任一題都隼妥較多的集論技巧令x是良序的不可數集有最后元素©,使得勁的毎個先行 元素至多有可數多個先行元素（"構造”匸

52、取任何一個良序集，使它有元素，其先行元素是不可數的，令j 是這些元素的第一個'稱助為第一個不可數序數）對令p°sj是a的所有先行元索（后繼元素 的集.如果x的一個子集是p?；?#187;或p0csfi或這種子集的并，則稱它為開集證明x因此是一個緊豪 斯多夫空間（提示：沒有一個良序集含有一個無限遞減序列）r證明，點助的余集是一個開集，但不是緊集證明.對每個jec（x）對應一個ah勁，使得/在s上是常數證明.x的不可數緊子集的每個可數集族的交是不可數的（提示：在x內考虎遞增可數序列的極限它與每個kn相交于無限多個點）.令狽是所有eux的集族，使得或者eu或者fu©包含一

53、個不可數緊集$在第一種情況下，定義 a（e）= 1；在第二種情況下，定義入（e=0.證明sr是一個包含x內所有博雷爾集的cr-代數，久是刃上的 測度，但不是正則的（妙的每個鄰域有測度1），而且對每個fc（x）,f（3） f /"da試描述定理214中與這個線性泛函對應的正則的h19. 在假定x是第空間（甚至是緊度it空間而不只是局部緊空間的情況下，仔細檢査定理214的證明.看一看哪些地方是可以簡化的.20找出連續(xù)函數幾：0, lf 0, oo)使得對所冇的工w0, 1,當n-oc時，有£ /.(x)(lr-0,然而 sup”/；不屬于d(這就表明即使在定理的某些條件被破壞時

54、控制收斂定理的結論也可能成立)592l若x是緊的并且/: x-( oo, g)是上半連續(xù)的，證明/能在x的某個點取到它的最大值22設x是度徴空間，具有度m d.又設八x-0, oo是下半連續(xù)的，并且至少有一個點px使 .對 ”=1, 2, 3, x,定義& (工)=inf /(/>) + nd(x,p)> 6 x 并證明(i ) i 乩(:r, y) »(iii)對所有才x當zifoo時，有從(刃-/&)這樣，/是一個遞增的連續(xù)函數序列的點態(tài)收斂極限(注意其逆命題幾乎墾顯而易見的)23設v是r*中的開集而“是應上的一個有限的正博雷爾測度.試問，將z對應于“

55、(才 + v)的函數是否一定連續(xù)？是否一定下半連續(xù)？是否一定上半連續(xù)？24.根據定義，階梯函數指的是尺中有限個有界區(qū)間的特征函數的線性組合設/wd(r').證明存在階梯log( 1 4- ee) <c + t (0<r<8因數的序列g”使得25. ( i )找岀最小的常數使得(ii )是否對任意的實函數/6ll ,lim 丄log 1 dx608 tl j 0都存在？如果存在，那么它是多少?第3章lp 空間凸函數和不等式分析中許多最常見的不等式都有其凸性概念方面的起源.3.1定義 設卩是定義在開區(qū)間（a, 6）上的實函數，其中一 oo<a<6<oo.

56、如果對任意 a<x<b, a<y<b和0w入=1,恒有不等式(1)爭（1 入）工 +心）m （1 a）>（x） + 坤（，）,那么稱護是凸的.從圖形上看，條件就是“當x<t<y時，點（“應該在平面內的兩點cz,尹（工）和（卩（w）的連線上或者在它的下方同時（1）等價于要求色 /)®(r) u t對 a<zs<lt<iu<ib 成立.微分中值定理和（2）起可翌接證明實的可微函數爭在（s小上是凸的，當且僅當av$v /v6時.（5）<<r）,的當且僅當導函數卑是單調遞增函數.例如，指數函數在（一8, s上就量凸

57、的3.2定理 若卩在（a, “）上是凸的，則爭在（a, b）上連續(xù).61證明 證明的思想很容易用兒何的語言表達.擔心不“嚴格”的讀者可把它改編為e和8的說法.假定a<s<x<y<t<b.把平面內的點（w （5）記為s 類似地處理i * i.則x在 sy直線上或它的f方，丫在過s和x的直線上或它的上方；同時y在xt ±或它的下方當 y工時，得出yfx,即卩（，）卩（工）用同樣的方法處理左極限便得出卩的連續(xù)性1)上注意，這個定理依賴于我們的討論是在開區(qū)間上進行的這一事實比如說，若在°， 0»=0且（1） = 1,則卩在0,1上不是連續(xù)的，但它滿足3. 1（1）-若子(1)3.3定理（森不等式）設“是在集c內的（7-代數狽上的正測度，使得“（c）= l 是在l】（“）內的實函數，對所有的工wo, u</（x）<6,且卩在（s b）上是凸的，則 djys）w l（卩。y）d“.注 不排除4= 8和b=8的情況；可能會出現甲不在l&