【精品】實(shí)分析與復(fù)分析02

1、kuh vw,則存在函數(shù)入2,，n）,使得aj （x） 4-4-an（x） = 1 （工 wk）.（1）因?yàn)椋?），集族加，九稱(chēng)為k上的從屬于覆蓋匕，匕的單位分解.證明 由定理27,每個(gè)工wk有一個(gè)鄰域具有緊閉包，丙,u匕對(duì)某個(gè)訂依賴(lài)于工） 成立.存在點(diǎn)乃，心，使得wfuuw. =k.對(duì)lwdwm 令乩是含于匕的朿的1mf并.由烏雷松引理，存在函數(shù)使得hxgxv,.定義仏=幻，人2 = <1 gl）g2，“、h“=（1 一 gi）（l g2（lgi）g 八則ht<vt由歸納法，容易驗(yàn)證+屁 + + 九=1 （1 gl）（l g2）（1 gj（3）因?yàn)閗uh|uuhj故對(duì)每一點(diǎn)至少有

2、一個(gè)g.a）= h因此，（3）證明了（1）成立.里斯表示定理2.14定理 設(shè)x是局部緊的豪斯多夫空間，人是c（x）上的正線性泛函，則在x內(nèi)存在 一個(gè)包含x的全體博雷爾集的代數(shù)®i，并存在狽上的唯 個(gè)正測(cè)度宀“在下述意義上 表示了 a：(a) 對(duì)每個(gè) /ecc(x)> a/= f 眼401 并有下述的附加性質(zhì):（b）（c） x對(duì)每個(gè)緊集kux, ju（k）<oo對(duì)每個(gè)ee®i,有尸（e） = infzav）: e u v,v 是開(kāi)集.(d)對(duì)每個(gè)開(kāi)集e或每個(gè)eg5r而“（e）<g,有卩（e） = supp（k）: k u e,k 是緊集若 eg9r, aue

3、,并且 /x（e）=o,則 ag5w為清晰起見(jiàn)，讓我們進(jìn)一步明確一下假設(shè)中“正"字的含義：人被假定是復(fù)向量空間c/x） 上的一個(gè)線性泛函，具有如下的附加性質(zhì)即對(duì)每一個(gè)取值為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)/ 也是非 負(fù)實(shí)數(shù).簡(jiǎn)言之，若 f（x）uo, oo）, a/0, oo）.當(dāng)然，（a）是最感興趣的一個(gè)性質(zhì).定義狽和“之后在證明狽是廠-代數(shù)、是可數(shù)可加 的過(guò)程中，（b）到（d）也就會(huì)建立起來(lái).我們稍后將看到（定理2.18）,在“合理的”空間x內(nèi), 每_個(gè)滿足（b）的博雷爾測(cè)度也滿足（c）和（d）,并且在那些情況下，實(shí)際上對(duì)每個(gè)ewwb <d） 一定成立.性質(zhì)（e）僅說(shuō)明，在定理1.36的意義

4、下，（x,狽，“）是一個(gè)完備測(cè)度空間在這個(gè)定理的整個(gè)證明中，字母k表示x的緊子集，v表示x內(nèi)的開(kāi)集（k）=h（k）就夠了.我們從證明"的唯一性開(kāi)始.如果“滿足（c）和（d）,那么顯然h在狽上由它在緊集上的值所決定.因此，當(dāng)少和抄是滿足定理的測(cè)度時(shí)，只要對(duì)一切k,證明丹 于是，固定k和e>0.由（b）和（c）,存在vok,使“2（vo<f2（k）+“由烏雷松引理，存在八使得因此,“i(k)= j *才 fg = af = x£ x紜yd”？ = “2（v）< 卩2（k） + e.這樣，“|（k）£“2（k）.妙和抄互換，就會(huì)得到相反的不等式.從而證

5、明了 “的唯一性. 上述計(jì)算還附帶地證明了由（a）可推得（b） 卩和狽的構(gòu)造對(duì)x中的每個(gè)開(kāi)集定義“（v） = sup4/： / v,（1） 41若xus，顯然（1）蘊(yùn)涵著以匕）£“（匕>因此，若e是一個(gè)開(kāi)集，則“（e） = inffcv）： ed v,v 是開(kāi)集幾（2）并且對(duì)每個(gè)eux,由（2）來(lái)定義p（e）和（1）是一致的注意，盡管對(duì)每個(gè)eczx定義了“（e）,但“的可數(shù)可加性將僅對(duì)x中某個(gè)。-代數(shù)猱證明 令sjv是一切eux的類(lèi)，這里e滿足兩個(gè)條件，（e）<oo,以及“（e） = sup/z（k） : k u e9k 是緊的（3）最后，令sr是一切eux的類(lèi)，這里e對(duì)

6、每個(gè)緊集k有eakew.證朋fi和3r具有所要求的性質(zhì)顯然“是單調(diào)的，即aub時(shí)，有h（a）w“（e）,而且“（e） = 0蘊(yùn)涵著eew和 因此，（e）成立，且根據(jù)定義（c也成立因?yàn)槠渌Y(jié)論的證明相當(dāng)長(zhǎng)，把它分成若干個(gè)步驟來(lái)證比較方便可以看出，a的正性蘊(yùn)涵著a是單調(diào)的:任g蘊(yùn)涵著這是顯然的，因?yàn)閍g = a/4且g-f鼻0.此單調(diào)性將用于步驟ii和步驟x步膝i 若e e2 > e? 是x的任意子集，則(4)oo8“（u ej < 耳"（e）證昵 首先證明若匕和卩2是開(kāi)集，則“（x u %）=“（匕）+“（匕）（5）(6)選擇gyuiux.由定理2- 13,存在函數(shù)協(xié)和仏，

7、使得九yx，并且對(duì)g的支集內(nèi)的一切工, 有d（刃十馬（工）=1因此，仏匕，g = hgrh2g9從而ag = a（fhg） + a（/i2g）m /i（vi） + /（%）因?yàn)椋?）對(duì)每個(gè)g<v,uv2都成立，由此得到（5）若對(duì)某個(gè)幾有尸（e）=oo.則（4）顯然為真.因此，設(shè)對(duì)每個(gè)詳有“（ejvoo.取>0. 由（2）.存在開(kāi)集匕使得42“(匕)v“(e)+2飛ci = 1,2,3,-).oc令v= uv,并選擇/<匕 因?yàn)閒有緊的支集，可以看出對(duì)某個(gè)小 有于vxuux. 1對(duì)（5）應(yīng)用歸納法，于是得到msx u u 匕）“（匕）+以匕）< d（e）+& 因?yàn)?/p>

8、對(duì)每個(gè)f<v,此不等式成立，且ueuu,由此得到8oo“（u ei） wm ”“（e十由于e是任意的，故證明了（4）°'步驟ii 若k是緊的，則kew，并且“（k） = inf af ： k < /.（7）由此就得到定理中的（b）證明 若 kv/, 0<a<l,令 va=x： f（x）>a9 則 kczk，并且當(dāng) g<vo 時(shí)，*仁因此“(k)冬 p(vj = supag : g y 比 w a 1 a/.令最終得到(k) < af.(8)因此，p（k）<8由于k顯然滿足（3）, ke w. 若 >（）則存在 vok,使

9、“（v）v/（k+e由烏雷松引理，存在/使k<f<v.因此由此式并結(jié)合（8）式，就得到（7）.步驟證明專(zhuān)個(gè)開(kāi)集都滿足（3）因此刃k包含毎個(gè)滿足z/（v）<oo的升集匕 令。是一個(gè)實(shí)數(shù)，使得a<“（u）存在一個(gè)使ava/的f<v.若w是包含/*的支集k的任意一個(gè)開(kāi)集.則從而a/<“（w）因此，a/</z（k）.這就表示有滿足av “（k）的緊集kuv.于是對(duì)于v，（3）式成立g步驟jv設(shè)e= u ei9其中e29 e"是加f的互不相交的元素，則i" 1“（e）=工“（ej.<« 143并且，若戶(hù)（e）voo,則ec刃u

10、證明 我們首先指出，若k和k?是不相交的緊集，則尸（k ij k2）= “（ki ）+“（k2）（1。取£>0.由烏雷松引理，存在f c（x）,使得在k上f（工）= 1，在k2上f（工）= 0,并且 由步驟11，存在g使得k| u k2 v g 和 ag <“（ki u k2）+e注意kt<fg和k2<（1 y）g.因?yàn)閍是線性的，由（8）式得到h（kj +“（k2）< a（/k）+a（g-/g）=如 <h（k u kj +e由于w是任意的，因此由步驟i得到(10).若呻)=8,則由步驟i得到(9).因此，設(shè)并取e>0.因?yàn)閑t.6 w存 在

11、緊集有ht) > /z(ej 2 le (i = l,2,3,).(11)令k“ = h|uuh”，并對(duì)(10應(yīng)用歸納法得到“(e)»(kq => £址&)一匸(12) 11=1由于對(duì)每個(gè)刃和每個(gè)£>0, (!2)成立，所以(9)的左邊不小于右邊.于是從步驟i得到(9). 但是，當(dāng)“(e)<x而£>0時(shí)，(9)表明，存在某個(gè)n使(13)ft嚴(yán)(e) m+w.f 1由(12),就得到“(忙)£“(心)+2這就證明了 e滿足(3；因此，ewsotf.步驟v 若ewwu和則存在緊集k和開(kāi)集使得kueuu而尸(v

12、k)<e 證明 我們的定義表明，存在kue和vzde，使得“(v)號(hào) < fjt(e) v ju(k) + 號(hào).因?yàn)関-k是開(kāi)集，由步驟nn v-k6 w.于是步驟iv蘊(yùn)涵著“(k) +/2(v-k) = “(v) </i(k)十&步驟vi如果人和bwswf，則a-b. aub和ap|b均屬于戒尸證明 如果£>0,步驟v表明，對(duì)*1，2,存在集和匕使得kiuauv, k2ubu v2,并且(匕一kjc&由于a bu 匕一k2 u (刃一 kj u(k】一vu(v2-k2),步驟1表明a b) mw + ”(ki v2) 4- £.(1

13、4)因?yàn)閗x-v2是a-b的緊子集，(14)表明a-b滿足(3),所以a-b44由于 aub=(a b)ub，應(yīng)用步驟 iv，可證明 aub69rf.因?yàn)?aab = a-(a-b), 也有刃u0步驟vi 狽是x中包含所有博雷爾集的棧數(shù)證明令k是x內(nèi)的任一個(gè)緊集.如果aw3jl則ank = k-(ack),于是acck是的兩個(gè)元素之差因此，山dkg3ri于是可以得出結(jié)論：aw9r蘊(yùn)涵著a疋戒其次，設(shè)這里每個(gè)令且bn = (a“ n k) 一(b u u ”1)5 = 2.3,4,)，(15)那么，由步驟vi知&是wif中的互不相交元素的序列，且aclk= u brt.由步驟iv得到 a

14、akcw-因此，aesw最后，若c是閉集，則crik是緊的.因此crikw派i于是ce w.特別地，xgsr. 這樣，我們證明了頸是x中的一個(gè)<7 -代數(shù)，它包含有x的全體閉子集.故9r包含x內(nèi) 的全體博雷爾集.步驟ml a»f恰好由那些使h（e）vs的集ew2r所組成.這蘊(yùn)涵著定理中的（d）證明 設(shè)步驟u和vi蘊(yùn)涵著對(duì)每個(gè)緊集k, eflkc 因此.e" 反之，設(shè)ew5r，“（e）<8,并取£>0這時(shí)，存在開(kāi)集voe,而（vxoo；由步驟皿 和步驟v,存在緊集kczv,而fav-k）<e.因?yàn)閑hke存在緊集hczeqk.而（ae fl

15、k） v 尸（h）+e因?yàn)閑c（enk）u（v-k）,由此得到尸（e） m“（e h k） +“（uk） v“（h） +2這就蘊(yùn)涵著 451步驟ix “是sw上的一個(gè)測(cè)度.證明 直接由步驟iv和步驟啣得到"的可數(shù)可加性 步驟x 對(duì)每個(gè)/ea（x）, a/= f辱.7 x這就證明了 5）并完成本定理(16)證明 顯然，對(duì)實(shí)的/證明就夠了.而且、對(duì)每個(gè)實(shí)/ec（x）,只要證明不等式x 3也就夠了.因?yàn)?，一旦?6）成立，a的線性表明af a（ f、冬（一x此不等式和（16） 起說(shuō)瀾（茁）的等號(hào)成立(17)令k是實(shí)支集，5，刃是一個(gè)包含/的值域的區(qū)間（注意定理2. io的推論）, 取

16、63;>0.并對(duì)5=0, 1,，九選擇，八使得y<和< <>< <> = bet = x：< f（h冬卯 cl k （i h 1.2,“）（18）由于f連續(xù)，f是博雷爾可測(cè)的，因此集碼是不相交的博雷爾集，它們的并是k.于是存在 開(kāi)集匕使得(19)z（vj） v（e» + 亍 （i = 1,2, “?）并對(duì)_切xev.,有/（x）<j, 4-.由定理2.13,存在函數(shù)仏 <匕，使得在k上有另九=1. 因此f=/h、f、并且步驟ij表明“（k）ma（另入）=另人尼.閻 由于 hifw（yi+）h“ 在 ei ±

17、3t </（x）,我們有i = 1i ihn=另（丨 a |+y+）aa, i a |：aa：l-il-=lw（ i a l + y+g）“（er ）+£/| a i h（k）1 = 1nn=23 ® ）（e,）+ 2甲（k+ 空工（i a 1 + y, +e）t=1并 i）w fs + 2p（k）+| a i + b + g因?yàn)槭侨我獾?，故?6）成立.定理證明完畢.博雷爾測(cè)度的正則性2. 15定義 定義在局部緊的豪斯多夫空間x的全體博雷爾集組成的/ t弋?dāng)?shù)上的測(cè)度“稱(chēng) 為x上的博雷爾測(cè)度.如果“是正的，并且一個(gè)博雷爾集eux具有定理214的性質(zhì)（c）或 （d）我們

18、就分別稱(chēng)e為外正則或內(nèi)正則的.如果x內(nèi)的每個(gè)博雷爾集同時(shí)是外正則和內(nèi)正則的，則稱(chēng)“為正則的.在里斯定理的證明中，每個(gè)集e的外正則性是在構(gòu)造的過(guò)程中建立的，而內(nèi)正則性則僅就開(kāi)集和h（e）8的esw作過(guò)證明.產(chǎn)生這一缺陷是自然的在定理214的假設(shè)下，我們 無(wú)法證明f的正則性；習(xí)題17中介紹了一個(gè)例子.然而，稍強(qiáng)的假設(shè)確實(shí)能給出一個(gè)正則測(cè)度.定理217指明了這一點(diǎn)定理2.18說(shuō)明,如果我們把假設(shè)更待殊化一些，一切正則性的問(wèn)題都會(huì)消失干凈2. 16定義 拓?fù)淇臻g中的一個(gè)集e稱(chēng)為/-緊的，如果e是緊集的可數(shù)并 對(duì)于測(cè)度空間（測(cè)度為“）中的一個(gè)集e,如果e是集e的可數(shù)并，而/z（e,）oo,那么稱(chēng)e有（7

19、 -有限測(cè)度.47例如，在定理214所述的情況下，每個(gè)緊集有。-有限測(cè)度.另外容易看出，如果eg 狽，e有（7-有限測(cè)度，則e是內(nèi)正則的.2. 17定理 設(shè)x是局部緊、（？-緊的豪斯多夫空間若9r和/都像定理214所敘述的那樣，則頸和“有下述性質(zhì)：（a）若e6 2r和0,則存在閉集f和開(kāi)集v使得fueuv且“（vf）£（b）p是x上的一個(gè)正則博雷爾測(cè)度.（c若eg 5r,則存在集人和e使得a是一個(gè)f。集，"是一個(gè)s集，aueub且“（b a） = 0作為（c）的推論，我們看出每個(gè)e6 2r是一個(gè)f；集和一個(gè)測(cè)度為0的集的并.證明 令x =k|uk2uk3u其中kw是緊的若e

20、wsr且£0,則“（kmexoo,并存在開(kāi)集匕=）k”ce,使得v=uvn,則 u-euu(匕一(k”de),于是用f代替e,并把此結(jié)果用到f上，存在開(kāi)集使得“(w-f)v號(hào)若f=wj 則fue并且e f = w f于是得到(a).因?yàn)閒=u(frikj,每個(gè)閉集fux是緊的，因此，(a)塑涵著每一個(gè)集e6 5w是內(nèi) 正則的.這就證明了(b).對(duì)e=l/j(j=l9 2, 3.)應(yīng)用(a),就得到閉集耳和開(kāi)集匕，使得fueu匕并艮 (v.-fjxl/j.令a-uf；和匕則aueu乩 a是一個(gè)f,集，"是一個(gè)g占集，并 且由于b-adv,-f > = 1, 2, 3,，

21、可得“(b人)=0.這就證明了(c).2.18定理 設(shè)x是局部緊的豪斯多夫空間.其每個(gè)開(kāi)集是/-緊的設(shè)入是x上的任一 個(gè)正博雷爾測(cè)度，對(duì)每個(gè)繪集k.有a(k)<oo.則入是正則的.48 注意.毎個(gè)歐氏空間r*滿足現(xiàn)在的假設(shè)，因?yàn)橛弥械拿總€(gè)開(kāi)集是閉球的可數(shù)并證朋 對(duì)/6q(x)t令a/= f fdx.因?yàn)閷?duì)每個(gè)緊集k, a(k)<oo,人是cxx)上的正 x線性泛函并且存在正則測(cè)度“滿足定理217的結(jié)論于是(1)/cu x我們將指出入=“設(shè)卩是x中的開(kāi)集，則u=uk其中k,是緊集，2=1, 2, 3,.由烏雷松引理，我 們可以選擇亢.使得kt<ft<v.設(shè)，人)，則g”c

22、c(x八芥且對(duì)每個(gè) x.弘(工)遞增到xv()因此由(1)和單調(diào)收斂定理推出a(v) = lim gda(2)皿 </e c(x)=lim gnd/z = “(von-*ooj x 現(xiàn)在設(shè)e是x中的一個(gè)博雷爾集并選擇w>0因?yàn)閲?yán)滿足定理217,存在閉集f和開(kāi)集 v,使得 fueuv 并且“(u f)v因此 “(v)wh(f)+ew/(e)&因?yàn)関-f是開(kāi)集，(2)式表明a(v-fxe.于是a(vxa(e)+e,從而a(e) w 入(v) = “(v)£“(e) +w,“(e) < “(v) = a(v) < a(e) + e.這樣對(duì)任意>0,有丨

23、入(e)“(e) | <£,因此he)=“(e).、図習(xí)題18中描述了_個(gè)緊豪斯多夫空間，其中某個(gè)點(diǎn)的余集不是°_緊的，并使上述宦理的 結(jié)論不成立.勒貝格測(cè)度2. 19歐氏空間©維歐氏空間疋是所有點(diǎn)工=(&，&，的集，它的坐標(biāo)&是實(shí) 數(shù).并有下述代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)!*=(&, &)，=(%，%)，a 為共數(shù)定乂 h + «y 和如下 2（a& 9 、*q（1）=（才工）匕則由施瓦茨不等式x + y （$i 十巾+ %）, or 這使用成為一個(gè)實(shí)向最空間.若工 y=z.,| xi yi導(dǎo)出三角不等式(

24、2)(3)i t y im h z l + l z y i，x-y丨定義的度量.我們假定這些事實(shí)是熟悉的，并將在第4章因此得到一個(gè)由pcr, y）= i中以更一般的形式加以證明.如果eur*和工則e對(duì)于工的平移是集e + z= y + x：y 6 e我們稱(chēng)形如w二才：8 <2 v亦w幼的集或者用代替（4）中的任一個(gè)或所有的楙<”符號(hào)而得的集為k胞腔；它的體積定義為k vol（w） a （仕a）（5）設(shè)aerk. 3>0,我們稱(chēng)集： $）二"2 :偽 £ £ < 8 + 5,1 w , w ©（6）為以a為頂點(diǎn)的5-單元這里.g）對(duì)

25、” =1, 2. 3.，我們令玖是所有坐懷是廠”的整數(shù)倍的rerk的集令久是所有以 幾的點(diǎn)為頂點(diǎn)的單元爼成的康族找們需要o,的下述四個(gè)性質(zhì)其中前三個(gè)性質(zhì)是顯而易見(jiàn)的.定小 則每個(gè)工卅屬于且僅屬于c.的一個(gè)元素.(b若qwq八而 y>,則 qug或者qng=0.（c）若qwg，則vol（q） = 2_r* ；若n>r.則集e恰好有2"個(gè)點(diǎn)屬于q（d）rk中的每個(gè)非空開(kāi)集是屬于niuauau中不相交單元的可數(shù)并.（d）的證明 v是開(kāi)集，這時(shí)每個(gè)xev屬于含于v內(nèi)的一個(gè)開(kāi)球,因此存在屬杲卜 a的q,使 疋quv.換句話說(shuō)v是所有那些含于v內(nèi)且屬于某個(gè)c”的單元之并從此單 元的集

26、族中，選出那些屬于口的單元，并從02, 03,中去掉包含在已選單元之內(nèi)的單元.從余下的集族中，選岀屬于02且含于v的單元，并從03，a，05，中去掉包含在已選卓元之內(nèi)的單元.如果我們按這種方法繼續(xù)進(jìn)行下去由（r和（b）就可證明（d）成立.2. 20定理在用中，存在定義在<t-代數(shù)狽上的正完備測(cè)度加，具有下列性質(zhì):q）巾（w）=yo1（w）,對(duì)毎個(gè)代亠胞腔w成立（b）an包含r*中的所有博雷爾集；更確切些.ew9r當(dāng)且僅當(dāng)存在集aur*和burs 使得aueub, a是一個(gè)幾集，b是一個(gè)（和集，并且加（b-a） = 0祝也是正則的（c）m是平移不變的即對(duì)毎個(gè)ee 9r和每個(gè)工有m（e +

27、j?）=加（e）（d）如果廠是上任意一個(gè)正的平移不變博雷爾測(cè)度，使得對(duì)每個(gè)緊集k有卩（k）<g, 則存在常數(shù)c.使得對(duì)所有博雷爾集eur*, h（e=5（e）.(e) 對(duì)每個(gè)用到r'的線性變換對(duì)應(yīng)有實(shí)數(shù)("使得對(duì)任意e®1,有 m(t(e) = a(t)m(e)特別是當(dāng)t是一個(gè)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有w(t(e) = (e)狽的元素是用中的勒貝格可測(cè)集，協(xié)是勒貝格測(cè)度.當(dāng)需要明確這一點(diǎn)時(shí)，我們將記為 用以代替加.證明 設(shè)/是hk t任一個(gè)具有緊支集的復(fù)函數(shù)，定義(1)af = 2一誡 yfcx) (n = 1,2,3,)，這里的p”與2.19節(jié)中的一樣.現(xiàn)設(shè)fwcw f是實(shí)

28、的w是一個(gè)開(kāi)的上-胞腔，它包含/的支集，并且>0. /的 一致連續(xù)性(26,定理4.19)表明存在一個(gè)整數(shù)n及支集位于w內(nèi)的函數(shù)g和/1,使得: (i)g和人在屬于cm的毎個(gè)單元上是常數(shù)，(ii)g£/w兒(iii)a-g<e.當(dāng)”>“時(shí)性質(zhì)29 (c)表明(2)(3)a ng = ang m anf < anh = am.因此.aj的上、下極限至多相差evol(vv),并由于£是任意的我們證明了極限 af = lima j (f c(r"r才f 8的存在性.!可以宜接得出a是ckrt上的正線性泛函(事實(shí)上，a/正好是/在川上的黎曼積分 為

29、了不至于依賴(lài)多元黎曼積分的任何一個(gè)定理，我們才討論匕述構(gòu)造.)我們定義加和瀕為定理2. 14中與a相對(duì)應(yīng)的測(cè)度和/ -代數(shù)由于定理2. 14給出了一個(gè)完備測(cè)度而rk是莎-緊的，根據(jù)定理2. 17即推出定理2. 20的 斷言(b)_為了證明(a).設(shè)w是2.19(4)中的開(kāi)胞腔，碼是閉包位于w內(nèi)的屬于0尸的單元之并. 選擇/，使得er<fr<w.又令gr = max(/t ,，fr t a的構(gòu)造表明vol(er) < afr < agr < vol(w).當(dāng)loo時(shí)，vol(er)-vol(w),并且因?yàn)閷?duì)所有的zgrs由單調(diào)收斂定理，有(5)agr = g/dm

30、亠加(w)這樣，對(duì)每個(gè)開(kāi)胞腔w,砒(w) = vol(w),又因?yàn)槊總€(gè)怡-胞腔都是一個(gè)開(kāi)的& -胞腔的遞 減序列之交，所以我們得到()(c)、(d)和(e)的證明將用到下列觀察：若入是斤上的一個(gè)正博雷爾測(cè)度并且對(duì)所有的單 元e有a(e)=m(e),所以由性質(zhì)2.19(d),對(duì)所有的開(kāi)集e等式也成立，再由；i和丹的正則 性(定理218),對(duì)所有的博雷爾集等式也都成立現(xiàn)在證明(c),固定工尺，定義入(e) = tw(e+h)顯然入是一個(gè)測(cè)度；由(r，對(duì)所有的 單元有入(e) = /n(e),因此對(duì)所有的博雷爾集e,有加(e+h)=»z(e).由于(b),等式同樣對(duì) 每一個(gè)eesw

31、成立.其次，假定嚴(yán)滿足(d)的假設(shè).設(shè)q。是一個(gè)1-單元，令c=faqq.因?yàn)閝是曠個(gè)不相 交的、彼此相鄰的單元之并，對(duì)每個(gè)2一”單元q我們有2"“(q) = “(qo) = ctw(qo) = c 277?(q).性質(zhì)2. 19(d)蘊(yùn)涵著對(duì)所有的開(kāi)集eur"有“(e)=cm(e),這就證明了(d).u：現(xiàn)在證明(c),設(shè)t： rkrk是線性的.若丁的值域是一個(gè)低維的子空間y,則加(y)=0 且(" =(),所期望的結(jié)論成立.在另一種情況下，初等線性代數(shù)告訴我們丁是一個(gè)疋到尺 上的一一映射，并且其逆映射也是線性的.這樣丁是一個(gè)p到爐 上的同胚，對(duì)于每一個(gè)博 雷爾

32、集e, 丁(e)也是博雷爾集，并且可以由“(e) = n?(t(e)在尺上定義一個(gè)正博雷爾測(cè)度利用t的線性和也的平移不變性得出(e + h) = 7n(t(e + jr) = m(t(e) + tjt) = m(t(e) = p(e)這樣嚴(yán)是平移不變的，(e)的第一個(gè)論斷可從(d)得出，首先對(duì)博雷爾集e,然后由(b)對(duì) 所有的eewi52為了求出a(t) t只需對(duì)一個(gè)滿足0<th(e)voo的集e求出m(t(e)/7n(e)的值就夠了 若t是旋轉(zhuǎn).設(shè)e是r'中的單位球，則t(e) = e9 a(t) = l2.21評(píng)注 若加是rk l的勒貝格測(cè)度，習(xí)慣上用記號(hào)t1( rk)來(lái)代替

33、u()若e是 r*的勒貝格可測(cè)子集，并把加限制在e的可測(cè)子集上顯然町得到一個(gè)新的測(cè)度空間術(shù)語(yǔ) “在e上，/e l1"或用來(lái)指明/在這個(gè)測(cè)度空間上是可積的pa如果=1, i是集(am (a, b, a, 6), a,小中的任一個(gè) / l1 (d i習(xí)慣上用 記號(hào)/(x)dx 來(lái)代替 j dm.j aji由于任意單個(gè)點(diǎn)的勒貝格測(cè)度為°,這就使在上述四個(gè)集上進(jìn)行積分沒(méi)有什么差別.在初等微積分課程中學(xué)到的關(guān)于積分的所有知識(shí)在這里仍然是有效的.因?yàn)槿?是刃 上的連續(xù)復(fù)函數(shù)，則f在a,靈上的黎曼積分和勒貝格積分一致.當(dāng)f(q)二f(b) = o,并且對(duì) 工va和x>b.定義/(小

34、是0時(shí)，這是很明顯的.推廣到一般的情形也沒(méi)有什么困難.實(shí)際 上，對(duì)a,刃上每個(gè)黎曼可積的f，這一事實(shí)都成立.由于以后沒(méi)有機(jī)會(huì)討論黎曼可積函數(shù)， 我們省略了證明，請(qǐng)參閱26的定理h-33.否尺至此，某些讀者可能會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)自然的問(wèn)題：是否每個(gè)勒貝格可測(cè)集都是博雷爾集嗎？是 否卍的每個(gè)子集都是勒貝格可測(cè)的？即使上=1，這兩種情形的答案也都是否定的.通過(guò)一種勢(shì)的推理能夠解決第一個(gè)問(wèn)題，我們簡(jiǎn)述如下.令是連續(xù)統(tǒng)(實(shí)線，或者等價(jià) 地說(shuō)，整數(shù)的所有子集族)的勢(shì)我們知道，r有可數(shù)基(中心在斤的某個(gè)可數(shù)稠密子集；帶 有有理數(shù)半徑的開(kāi)球)，的所有博雷爾集的集族)是由這個(gè)基生成的莎一代數(shù).由此得到 (我們略去證明)

35、傍卜有勢(shì)另_方面，存在康托集eurx而m(e)=o(習(xí)題5).加的完備性 蘊(yùn)涵疳e的2個(gè)子集中的每一個(gè)都是勒貝格可測(cè)的.由于個(gè)>"大部分e的子集不是博 雷爾集.下面的定理回答了第二個(gè)問(wèn)題2.22定理 若aurx并且a的每個(gè)子集都是勒貝格可測(cè)的，則m(a)=o.推論每個(gè)正測(cè)度集都有不可測(cè)的子集.證明 我們將利用尺關(guān)于加法是一個(gè)群的事實(shí).設(shè)q是由有理數(shù)組成的子群.乂設(shè)e是 53 一個(gè)集，它與q在卍 的每一個(gè)陪集恰好有一個(gè)公共點(diǎn).(存在這樣一個(gè)集的斷言是選擇公理 的直接應(yīng)用)這時(shí)，e有下列兩個(gè)性質(zhì).(a) 當(dāng) rg qtrs 時(shí)，(e+廠)0( e+s) = 0 (b) 對(duì)每個(gè)存在r

36、gq使jrge+r現(xiàn)在證明(a),假設(shè)jtw (e+廠)pl (e+s),則對(duì)于z e, yhz有工=，+廠=疋+ $ 但是yzsrq,所以z屬于q的同一個(gè)陪集，這是矛盾的.現(xiàn)在證明(b),設(shè)y是與工屬于同一個(gè)陪集的e的點(diǎn)，廠=工一卩暫時(shí)固定rgq并令£ = an(e+z)由假設(shè)，代是可測(cè)的.設(shè)kua,是緊集 h是廠取 遍qaeo. 1時(shí)平移km 的并.則h是有界的，因而m(h)<oo因?yàn)閗ue+八(q表明 這些k +廠的集是互不相交的.于是有加(h) = m“(k +廠)但是m(k + r)=m(k).于是得 出m(k)=o.這對(duì)每個(gè)緊集kua,都成立，因此也(兒)=0最后.

37、(b)表明a=uaf,其中上取遍q因?yàn)閝是可數(shù)的，所以加(a)=0.2.23行列式在定理2. 20(e)中出現(xiàn)的比例因子可以用行列式來(lái)進(jìn)行代數(shù)的解釋.設(shè)班是圧的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基：當(dāng)i=時(shí)引的第i個(gè)坐標(biāo)為當(dāng)ihj時(shí)勺的第個(gè)坐標(biāo)為0.若t：疋一是線性的并且k(1)t勺=工(1 j m 小1*1則由定義.dett是矩陣丁的行列式，其中第1行、第j列的元素為s我們斷言(t) =| dett |若t= ts t2,顯然有(t) = a(t,)(t2).行列式的乘法定理表明，若(2)式對(duì)°和八 成立，則(2)式對(duì)丁也成立.因?yàn)槊總€(gè)應(yīng)上的線性算子都是有限個(gè)下列三種類(lèi)型的線性算了 的乘積，所以只需對(duì)其中每

38、一個(gè)證明(2)式成立即可(i ) 丁，"是2】，的一個(gè)置換(1) t©=aei，嚴(yán)©, i2.，k.(hi ) 丁6=&1十勺，tei et i2 ，k.設(shè)q是由滿足0=，廠的所有工=(&，魚(yú))組成的立方體he若丁是()型的，則t的每一行和每一列都恰好有一個(gè)位置其元素為1，而其他位置元 素為 0.這樣 dett=±l,同時(shí) t(q) = q、所以 (t) = l= i dett | .若丁是(ii)型的，則顯然有a(t)= i a i = 1 dett | 若丁是(ffl)型的，則det7=1,并且t(q)是所有那些坐標(biāo)滿足°

39、we vi (對(duì) i 2)(3)的點(diǎn)工w©構(gòu)成的集.若s是t(q)中滿足& <1的點(diǎn)的集，e是t(q)中余下的點(diǎn)的集，則si u (s2 e2) = qt(4)并且 sc|(s2-02)是空集.于是(t)=m(s】 us2)=m(s) + /n(s2-s)=加(q) = l,因此再 次有 a(t)= | dett | 可測(cè)函數(shù)的連續(xù)性由于連續(xù)函數(shù)在博雷爾測(cè)度特別是在勒貝格測(cè)度的構(gòu)造中占有突岀的地位，似乎有理由相 信在連續(xù)阪數(shù)和可測(cè)函數(shù)之間存在著某些有趣的聯(lián)系.本節(jié)將給出兩個(gè)這種類(lèi)型的定理.在這兩個(gè)定理中，我們將設(shè)“是局部緊豪斯多夫空間x上的一個(gè)測(cè)度，它有定理2. 14中

40、 所述及的性質(zhì).特別是，尸可以是某個(gè)rk ±的勒貝格測(cè)度.2. 24竇金定理 設(shè)產(chǎn)是x上的復(fù)可測(cè)函數(shù).“（ax®,若時(shí)，并且>0, 則存在一個(gè)gg（x）,使得f（jc）工 &（工）>）< £（l）并且，還可汶做到sup | g（jr） iw sup | f（x） |.（2）xy x證明 首先設(shè)o并且a是緊的如定理117中的證明一樣，作出一個(gè)收斂于/ 的序列幾.并f1令山=釘，對(duì)n = 2. 34,，令=$“一 則2匕是一個(gè)集tua的 特征函數(shù)，而且g= £匚（工）（工 6 x）.” q i固宦開(kāi)集v使得auv,而且卩是緊的則存在

41、緊集k”和開(kāi)集匕使得k”u7；u*uv且 產(chǎn)（匕一kj<2壯.由烏雷松引理，存在函數(shù)札使得k<hn<vn.定義cog （工）=2（rrex）°）這個(gè)級(jí)數(shù)存x上一致收鈔，因而g是連續(xù)的.并且，g的支集含于p中.由于除v*-kn中的 點(diǎn)外，2-"hj=tn（x）.所以除u（匕一 k“）中的點(diǎn)以外，g（h）= f（h），并且后一個(gè)集有比£ 區(qū) 小的測(cè)度這樣，當(dāng)a是緊集且°1時(shí)，（1）式成立宦此得到，當(dāng)a是緊的、/是有界可測(cè)函數(shù)時(shí)，（1）式成立.a的緊性容易去掉，因?yàn)椋?若“（&）<*,則a包含一個(gè)緊集k,使“（a-k）小于事先給

42、定的任意正數(shù).再者，若于是_ 個(gè)復(fù)可側(cè)函數(shù)，| /（x） | >n.則db> = 0，于是由定理119（e） , /bjfo.由于 除在b”上以外，f同有界函數(shù)d-xb（i） /致，故在一般情形卜一（1）也成立.最后，令 r = sup | y（> i :工wx,并定義，若丨 z i wr,卩（z）= s 若 ' z i >r， 卩（n）=rz/|n|.則護(hù)是復(fù)平面到半徑為r的圓盤(pán)上的連續(xù)映射若g滿足（1），如=¥。&， 則知滿足（）和（2）推論 設(shè)滿足魯金定理的條件且i / i £1 則存在序列禺幾使得禺 c（x）,i gn且/（x

43、） = iimg”（工）a匕證明 由定理得出，對(duì)每個(gè)n對(duì)應(yīng)有一個(gè)g“c（x）,使得丨g” i ml,而 2*2= 這里的位是使/（工）工弘（工）的所有工的集.對(duì)幾乎每個(gè)孫 它至多屬于有限多個(gè)集e,（定理 1.41）.對(duì)任意一個(gè)這樣的工和充分大的“都有/（工）=乳（工）.這就得到（5）.2. 25維塔利-卡拉泰奧多里定理 設(shè)fwl'3, /是實(shí)值的，并且>0則在x上存在 函數(shù)"和u,"是上半連續(xù)且有上界的，t/是下半連續(xù)且有下界的，使得 vfs 且（v u）da <c （1）x證明 首先假宦/no.并且f不恒等于6由于/是個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)九的遞增序列的點(diǎn)態(tài) 極限

44、，所以f就是簡(jiǎn)單函數(shù)匚=» 片7（取$。=0）的和又由于匚是特征函數(shù)的線性組合，所 以就存在可測(cè)集e（不一定要互不相交）和常數(shù)匚>0,使得oo56/（工）=另欽忙（x）（工e x）.i=li(2)由于(3)（3）中的級(jí)數(shù)是收斂的.存在緊集k,和開(kāi)集匕使得k,ue,uv且咔(匕-kj < 2十1u = 1,2,3嚴(yán)(4)令oonp= sc«zvt 1 “ =藝儀 k ,1 = 1 1(5)其中n是這樣選擇的，使得oc工c山(ej <號(hào)(6)因此，7丿是下半連續(xù)的，力是上半連續(xù)的，©s并且ngv u =另g（右一才+ sc#xv 心*卄】gx-“）+

45、 s e t-lz1于是由（4）和（6）得到（i）“在一般情況下，記/=廠一廠，如上面一樣，對(duì)廠作出和5,對(duì)/作出血和5, 并令“=小_5, u=仙一 “2由于一盹是上半連續(xù)的，而兩個(gè)上半連續(xù)函數(shù)之和是上半連續(xù)的 （對(duì)下半連續(xù)也類(lèi)似，我們把證明留作習(xí)題兒故"和p有所要求的性質(zhì).習(xí)題1,設(shè)人是r上的非負(fù)實(shí)函數(shù)的序列，考慮下述四個(gè)命題:（a）若八和斤是上半連續(xù)的則 m 是上半連續(xù)的(b)若八和/2是下半連續(xù)的則八+九是下半連續(xù)的.(c) 若每個(gè)人是上半連續(xù)的，則 另幾足上半連續(xù)的.i(小若每個(gè)人是下半連續(xù)的.則2 a是下半連續(xù)的.1證明其中的三個(gè)是正確的.但有一個(gè)是錯(cuò)課的.如果省去“非負(fù)

46、”一詞會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果？如果用一般的拓?fù)?空間代轎r會(huì)影響命題的真實(shí)性嗎？2.設(shè)/是疋上的任意復(fù)函數(shù)，定義卩(工，5) = sup i /(5) /(/) i ； w (x “工 + 5) 護(hù)o) = inf(jt») : 5 > 0證明護(hù)是上半連續(xù)的，并且當(dāng)且僅當(dāng)卩(工)=0時(shí)/在點(diǎn)z處連續(xù)，因此任何復(fù)兩數(shù)連續(xù)點(diǎn)的集都是一 個(gè)gr集.用一般拓?fù)淇臻g代替疋后表述并證明類(lèi)似的命丿573設(shè)x是一個(gè)度f(wàn)it空間，其度昱為°對(duì)任意非空集eux.定義(工)=: y g e.證明是x上的一致連續(xù)函數(shù).如果a和b是x的不相交非空閉子集，檢驗(yàn)函數(shù)&(工)& 3十內(nèi)(文圧

47、否滿足烏雷松引理.4檢驗(yàn)里斯定理的證明并證明下述兩個(gè)命題：(a)若eux和e2cv2,而匕、v2是不相交的開(kāi)集，則/(ei ue2)=/ae1)+ju(e2)bp使吊和氏不屬于9r時(shí)也成立.(b若e珂，則e=nuk(ukzu.其中k：足不相交的可數(shù)緊集族，并且(n) = 0 在習(xí)題5到8中.m表示r"上的勒貝格測(cè)度.5. 令e是熟知的康托三分(middle thirds)集證rn(e) = o,即使e和疋有相同的勢(shì)6. 構(gòu)造一個(gè)完全不連通的緊集kur,使得加(k)>o(k沒(méi)有多于一點(diǎn)的連通子集).若m是下半連續(xù)的，v<xk »證明確實(shí)有應(yīng)。因此耳不能在維塔利-卡

48、拉泰奧多里定理的意義下，用下半連續(xù)函數(shù)從下面逼近.7. 給定ovevi,構(gòu)造一個(gè)開(kāi)集euo1,它在0,1中是稠密的，使得m(e)=s(a在b中稠密是指a的閉包包含e).8. 構(gòu)造一個(gè)博雷爾集eurs使得對(duì)每個(gè)非空開(kāi)區(qū)間i有0 v m(e c| i) < rn( d.對(duì)這樣一個(gè)集e,有/n(e)<8的可能嗎？9. 在0,1上構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)序列人使得且lim f(x)dx 0. zej 0然而，卻沒(méi)有一個(gè)xof 1能使序列/.(x)收斂.10. 若£是0,1上的連續(xù)函數(shù)序列，使得°且當(dāng)時(shí).對(duì)每個(gè)工0. 人cr)f0,則lim f /ff (x)dx = 00試_試

49、.不用任何測(cè)度理論和有關(guān)勒貝格積分的定理來(lái)證明它.(這是為r使你對(duì)勒貝格積分的能力有個(gè)印象.w. f. el>erlein 在 1957 年 communications on pure and applied mathematics, vol. x? pp. 357 360 中給岀了一個(gè)漂亮的證明)11設(shè)“是緊豪斯多夫空間x上的一個(gè)正則博雷爾測(cè)度；假宦= 證明存在一個(gè)緊集kuxq的承栽集 或支集）使得"（k） = l但對(duì)k的每個(gè)緊的真子集h有“（h）vi.槌示：令k是滿繪0k» = 1的一切緊集k.的交，證明每個(gè)包含k的開(kāi)集v也包含某個(gè)k.這需要“ 的正則性：比較習(xí)

50、題1&證明k是x中測(cè)度為0的最大開(kāi)集.12. 訕明疋的每個(gè)緊子集是一個(gè)博雷爾測(cè)度的支集.13. h的毎個(gè)緊子集是一個(gè)連續(xù)函數(shù)的支集，對(duì)嗎？如果不對(duì).你能把尺中是連續(xù)函數(shù)支集的所有緊集的類(lèi)描述出來(lái)嗎？在其他拓?fù)淇臻g你的描述也正確嗎？14. 設(shè)/是r'上的勒貝格可測(cè)實(shí)值函數(shù)，證明在用上存在博雷爾函數(shù)£和爪使得/= g a. e.加,并且對(duì) 每個(gè) jtwr仁 g（x）f（x）a（x）15當(dāng)lx時(shí)，很容易推測(cè)出j"子）'"dz 和£（l + ）"ez'dl的極限.證明你的推測(cè)是正確的.16. 在定理2. 20（e）的證明

51、中，為什么會(huì)有加（y） = 0?17. 在平面上定義點(diǎn)（4,卩）與（工力）之間的距離為i加一m i 若比=心$ 1 +1 yi 一刃i、若文1豐r證明它實(shí)際上是一個(gè)度粗.并且所得出的岌it空間x是局部緊的若fg（x）,設(shè)工 e聚那些使得至少有一個(gè)y使/（x,，）工0的乳這樣的工只有有限多個(gè)！兒定 義af =/（乃 qdy設(shè)“是由定理214所確定的與6對(duì)應(yīng)的潦度，若e是工軸，證明盡管對(duì)每個(gè)察集kue有”（k） = 0, 然而川£）=818. 此題較前面任一題都隼妥較多的集論技巧令x是良序的不可數(shù)集有最后元素©,使得勁的毎個(gè)先行 元素至多有可數(shù)多個(gè)先行元素（"構(gòu)造”匸

52、取任何一個(gè)良序集，使它有元素，其先行元素是不可數(shù)的，令j 是這些元素的第一個(gè)'稱(chēng)助為第一個(gè)不可數(shù)序數(shù)）對(duì)令p°sj是a的所有先行元索（后繼元素 的集.如果x的一個(gè)子集是p?；?#187;或p0csfi或這種子集的并，則稱(chēng)它為開(kāi)集證明x因此是一個(gè)緊豪 斯多夫空間（提示：沒(méi)有一個(gè)良序集含有一個(gè)無(wú)限遞減序列）r證明，點(diǎn)助的余集是一個(gè)開(kāi)集，但不是緊集證明.對(duì)每個(gè)jec（x）對(duì)應(yīng)一個(gè)ah勁，使得/在s上是常數(shù)證明.x的不可數(shù)緊子集的每個(gè)可數(shù)集族的交是不可數(shù)的（提示：在x內(nèi)考虎遞增可數(shù)序列的極限它與每個(gè)kn相交于無(wú)限多個(gè)點(diǎn)）.令狽是所有eux的集族，使得或者eu或者fu©包含一

53、個(gè)不可數(shù)緊集$在第一種情況下，定義 a（e）= 1；在第二種情況下，定義入（e=0.證明sr是一個(gè)包含x內(nèi)所有博雷爾集的cr-代數(shù)，久是刃上的 測(cè)度，但不是正則的（妙的每個(gè)鄰域有測(cè)度1），而且對(duì)每個(gè)fc（x）,f（3） f /"da試描述定理214中與這個(gè)線性泛函對(duì)應(yīng)的正則的h19. 在假定x是第空間（甚至是緊度it空間而不只是局部緊空間的情況下，仔細(xì)檢査定理214的證明.看一看哪些地方是可以簡(jiǎn)化的.20找出連續(xù)函數(shù)幾：0, lf 0, oo)使得對(duì)所冇的工w0, 1,當(dāng)n-oc時(shí)，有£ /.(x)(lr-0,然而 sup”/；不屬于d(這就表明即使在定理的某些條件被破壞時(shí)

54、控制收斂定理的結(jié)論也可能成立)592l若x是緊的并且/: x-( oo, g)是上半連續(xù)的，證明/能在x的某個(gè)點(diǎn)取到它的最大值22設(shè)x是度徴空間，具有度m d.又設(shè)八x-0, oo是下半連續(xù)的，并且至少有一個(gè)點(diǎn)px使 .對(duì) ”=1, 2, 3, x,定義& (工)=inf /(/>) + nd(x,p)> 6 x 并證明(i ) i 乩(:r, y) »(iii)對(duì)所有才x當(dāng)zifoo時(shí)，有從(刃-/&)這樣，/是一個(gè)遞增的連續(xù)函數(shù)序列的點(diǎn)態(tài)收斂極限(注意其逆命題幾乎墾顯而易見(jiàn)的)23設(shè)v是r*中的開(kāi)集而“是應(yīng)上的一個(gè)有限的正博雷爾測(cè)度.試問(wèn)，將z對(duì)應(yīng)于“

55、(才 + v)的函數(shù)是否一定連續(xù)？是否一定下半連續(xù)？是否一定上半連續(xù)？24.根據(jù)定義，階梯函數(shù)指的是尺中有限個(gè)有界區(qū)間的特征函數(shù)的線性組合設(shè)/wd(r').證明存在階梯log( 1 4- ee) <c + t (0<r<8因數(shù)的序列g(shù)”使得25. ( i )找岀最小的常數(shù)使得(ii )是否對(duì)任意的實(shí)函數(shù)/6ll ,lim 丄log 1 dx608 tl j 0都存在？如果存在，那么它是多少?第3章lp 空間凸函數(shù)和不等式分析中許多最常見(jiàn)的不等式都有其凸性概念方面的起源.3.1定義 設(shè)卩是定義在開(kāi)區(qū)間（a, 6）上的實(shí)函數(shù)，其中一 oo<a<6<oo.

56、如果對(duì)任意 a<x<b, a<y<b和0w入=1,恒有不等式(1)爭(zhēng)（1 入）工 +心）m （1 a）>（x） + 坤（，）,那么稱(chēng)護(hù)是凸的.從圖形上看，條件就是“當(dāng)x<t<y時(shí)，點(diǎn)（“應(yīng)該在平面內(nèi)的兩點(diǎn)cz,尹（工）和（卩（w）的連線上或者在它的下方同時(shí)（1）等價(jià)于要求色 /)®(r) u t對(duì) a<zs<lt<iu<ib 成立.微分中值定理和（2）起可翌接證明實(shí)的可微函數(shù)爭(zhēng)在（s小上是凸的，當(dāng)且僅當(dāng)av$v /v6時(shí).（5）<<r）,的當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)函數(shù)卑是單調(diào)遞增函數(shù).例如，指數(shù)函數(shù)在（一8, s上就量凸

57、的3.2定理 若卩在（a, “）上是凸的，則爭(zhēng)在（a, b）上連續(xù).61證明 證明的思想很容易用兒何的語(yǔ)言表達(dá).擔(dān)心不“嚴(yán)格”的讀者可把它改編為e和8的說(shuō)法.假定a<s<x<y<t<b.把平面內(nèi)的點(diǎn)（w （5）記為s 類(lèi)似地處理i * i.則x在 sy直線上或它的f方，丫在過(guò)s和x的直線上或它的上方；同時(shí)y在xt ±或它的下方當(dāng) y工時(shí)，得出yfx,即卩（，）卩（工）用同樣的方法處理左極限便得出卩的連續(xù)性1)上注意，這個(gè)定理依賴(lài)于我們的討論是在開(kāi)區(qū)間上進(jìn)行的這一事實(shí)比如說(shuō)，若在°， 0»=0且（1） = 1,則卩在0,1上不是連續(xù)的，但它滿足3. 1（1）-若子(1)3.3定理（森不等式）設(shè)“是在集c內(nèi)的（7-代數(shù)狽上的正測(cè)度，使得“（c）= l 是在l】（“）內(nèi)的實(shí)函數(shù)，對(duì)所有的工wo, u</（x）<6,且卩在（s b）上是凸的，則 djys）w l（卩。y）d“.注 不排除4= 8和b=8的情況；可能會(huì)出現(xiàn)甲不在l&