平面向量知識點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)_第1頁
平面向量知識點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)_第2頁
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文檔簡介

1、平面向量一向量有關(guān)概念 :1 向量的概念 :既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么?(向量可以平移) 。uuurr_(答:( 3,0 )如:已知 A( 1,2 ),B( 4,2 ),則把向量 AB 按向量 a ( 1,3 )平移后得到的向量是2 零向量 :長度為 0 的向量叫零向量,記作: 0,注意 零向量的方向是任意的;uuuruuur3 單位向量 :長度為一個單位長度的向量叫做單位向量( 與 AB 共線的單位向量是AB) ;uuur|AB|4 相等向量 :長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;5平行向量(也

2、叫共線向量) :方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,記作:a b ,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合;r 平行向量無傳遞性 ?。ㄒ?yàn)橛?0 ) ;三點(diǎn) A、B、C 共線uuur uuurAB、AC 共線;6 相反向量 :長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。rrrr如:下列命題:( 1)若 ab,則 ab 。( 2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同。( 3)若uuurABrr rrab, b

3、c,則uuurABCD 是平行四邊形。 ( 4)若 ABCD 是平行四邊形,則uuuruuurrDC ,則ABDC 。( 5)若rr r r rr rac 。( 6)若 a / b,b / c ,則 a / c 。其中正確的是 _(答:( 4)( 5)二向量的表示方法 :1幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如AB ,注意起點(diǎn)在前,終點(diǎn)在后;2符號表示法:用一個小寫的英文字母來表示,如a , b , c 等;3坐標(biāo)表示法:在平面建立直角坐標(biāo)系,以與rx 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i , j 為基底,rrx, y ,稱 x, y 為向量 a 的坐標(biāo), a x, y 叫做向則平面的任一向量

4、 a 可表示為 axiy j量 a 的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn) ,那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面的兩個不共線向量,那么對該平面的任一向量有且只有一對實(shí)數(shù)1 、2 ,使 a=1 e1 2 e2。 如rrrr( 1)若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ,則 c _1 r(答:a( 2)下列向量組中,能作為平面所有向量基底的是2A.uruurB.uruure1(0,0), e2(1, 2)e1( 1,2), e2(5,7)C.uruur(6,10)D.uruur13e1(3,5), e2e1(2, 3), e2( ,)

5、24a,3 br );2uuur uuuruuurr uuurruuur(答: B);ABC 的邊上的中線r r( )已知 AD,BE 分別是BC, AC,且 ADa, BEb,則 BC 可用向量 a,b3表示為 _2 r4 r(答:ab );33( 4)已知ABC 中,點(diǎn) D 在 BC 邊上,且 CD2DB,CDr ABs AC ,則 rs 的值是_(答: 0)四實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個向量,記作a ,它的長度和方向規(guī)定如下:1rr2a 的方向與 a 的方向相同, 當(dāng) <0 時, a 的方向與 a 的方向aa ,當(dāng)>0 時,0 時,rra 0。相反,當(dāng)a0,注意

6、:五平面向量的數(shù)量積:uuurruuurrAOB1 兩個向量的夾角 :對于非零向量a , b ,作 OAa, OBb ,0稱為向量 a , b 的夾角,當(dāng) 0 時, a , b 同向,當(dāng)時, a , b 反向,當(dāng)2時, a , b 垂直。r r2平面向量的數(shù)量積 :如果兩個非零向量a , b ,它們的夾角為,我們把數(shù)量 | a | b | cos 叫rr做 a 與 b 的數(shù)量積(或積或點(diǎn)積) ,記作: a ? b ,即 a ? b a b cos。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實(shí)數(shù),不再是一個向量。如(1)ABC中, | AB |3,|AC|4,| BC |5 ,則 AB

7、 BC _r1 r1 rrr urrrrur(答: 9);(1,(0,,則 k 等于 _( 2)已知 a),b), cakb ,dab , c 與 d 的夾角為224(答: 1);rrr rrr(3)已知等于 _a2, b5, a b3 ,則a bgrrrrrrrrr(答:23 );( 4)已知 a, b 是兩個非零向量,且abab ,則 a與 ab 的夾角為 _r(答: 30o )0。 如3 b 在 a 上的投影 為 | b | cos ,它是一個實(shí)數(shù),但不一定大于已知 | a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,則向量 a 在向量 b 上的投影為 _(答: 12 )r54 a ?

8、b 的幾何意義 :數(shù)量積 a ? b 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 上的投影的積。5 向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個非零向量a , b ,其夾角為,則:rrrr0 ; aba ?br rr 2r rr 2rr 2當(dāng) a ,b 同向時, a ? b a b,特別地, aa ? aa, aa ;當(dāng) a 與 b 反向時, a ? brrrrrr0 是 a b ;當(dāng)為銳角時, a ? b 0,且 a、b 不同向, ab為銳角的必要非充分條件;當(dāng)rrrr0 是為鈍角時, a ? b 0,且 a、b 不反向, ab為鈍角的必要非充分條件 ;r rrrrr非零向量 a , b 夾角的計算公式: cos

9、a ?br r ; | a ? b | | a | b |。 如a b( 1)已知 a(,2) , b(3,2) ,如果 a 與 b 的夾角為銳角,則的取值圍是 _(答:40 且1或);33(2)已知OFQ 的面積為 S ,且 OFFQ1,若1S32,則 OF , FQ 夾角 的取值圍2是_(答: (,) );rrrrrrrr430 ,( 3)已知 a(cos x,sin x), b (cos y,sin y), a 與 b 之間有關(guān)系式kab3 akb ,其中 krrrrrr用 k 表示 a b ;求 a b 的最小值,并求此時a 與 b 的夾角的大小rrk21 ( k0) ;最小值為 1

10、,60o )(答: ab六向量的運(yùn)算 :4k21 幾何運(yùn)算 :向量加法:利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如uuurruuurruuurrr此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設(shè) ABa, BCb ,那么向量 AC 叫做 a 與 b 的和,即rruuuruuuruuurabABBCAC ;uuurruuurrrruuuruuuruuur向量的減法:用“三角形法則”:設(shè) ABa, ACb,那么 abABACCA ,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。uuuruuuruuuruuur如: (1)化簡: uuuruuuruu

11、uruuuruuuruuurABBCCD_; ABADDC_; ( ABCD) (ACBD ) _uuuruuurruuurruuurruuurr(答: AD ; CB ; 0 );rrr( 2)若正方形 ABCD 的邊長為 1, ABa, BCb, ACc ,則 | abc | _uuuruuuruuuruuuruuur(答:2 2);( 3)若 O是 VABC 所在平面一點(diǎn),且滿足OBOCOBOC2OA ,則 VABC 的形狀為_(答:直角三角形) ;(4)若 D 為ABC 的邊 BC 的中點(diǎn),ABC 所在平面有一點(diǎn)uuuruuuruuurrP ,滿足 PABPCP0 ,設(shè)uuur| AP

12、|,則 的值為 _uuur|PD|uuuruuuruuurr(答: 2);( 5)若點(diǎn) O 是 ABC 的外心,且 OAOBCO0 ,則 ABC的角 C 為 _rr(答:120o );( x, y) ,則:2 坐標(biāo)運(yùn)算 :設(shè) a( x , y ), b1122rr 向量的加減法運(yùn)算: ab(x1x2, y1y2 ) 。uuur如:( 1)已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4)uuuruuurR) ,則當(dāng) _ 時,點(diǎn) P 在第, C(7,10) ,若 APABAC (一、三象限的角平分線上(答: 1 );1 uuur2( 2)已知 A(2,3), B(1,4), 且(sin x,cos y) ,

13、x, y(,) ,則 xyAB222(答:或);uuruuruururuur6uuruur2( 3)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1),則合力 FF1F2F3 的終點(diǎn)坐標(biāo)是r(答:( 9,1 ) 實(shí)數(shù)與向量的積 : ax1, y1x1 ,y1。uuurxx , yy若 A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) ,則 AB22,即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有11向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè) A(2,3), B( 1,5)uuur1 uuuruuuruuur,且 ACAB,AD3AB ,則 C、D 的坐標(biāo)分別是 _3117,9)

14、 );(答: (1,),(rr3 平面向量數(shù)量積 : a ?bx1x2y1 y2 。 如已知向量 a ( sinx,cosx ), b ( sinx , sinx ),c ( 1,0)。( 1)若 x,求向量 a 、31 ,求3c 的夾角;( 2)若 x , ,函數(shù) f (x)a b 的最大值為的值8421 或(答: (1)150o;(2)2 1);rr 2r2x2x2y2 。 如 向量的模 : | a |y2 , a| a |2rr ruur已知 a, b 均為單位向量,它們的夾角為60o ,那么 | a3b | _(答:13 );A x1, y1 , B x2 , y2,則 |AB |x2

15、22 兩點(diǎn)間的距離 :若x1y2 y1。如如圖,在平面斜坐標(biāo)系xOy 中,xOy60o ,平面上任一點(diǎn)P 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定uuururuurur uur義的:若 OPxe1 ye2,其中 e1 ,e2 分別為與 x 軸、y 軸同方向的單位向量, 則 P 點(diǎn)斜坐標(biāo)為 (x, y) 。( 1)若點(diǎn) P 的斜坐標(biāo)為( 2, 2),求 P 到 O的距離 PO;( 2)求以 O為圓心, 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy 中的方程。(答:( 1) 2;( 2) x2y2xy1 0);七向量的運(yùn)算律:rrrrrrrrrr1交換律: abba ,aa , a ?bb ? a ;rrrrrr rrr

16、rrrrrrrrr2結(jié)合律: abcabc, abcabc,a ?ba ?ba ?b;rrrrrrrrrrrrrr3分配律:aaa,abab , ab ? ca ? cb ? c 。如下列命題中:a( bc)abac ;a(bc )( a b)c ; (ab)2| a |22 | a | b | b |2 ; 若 a b0 ,則 a0 或 brrrrrrr 2r 20 ;若 a bcb, 則 ac ; aa ;r rrr rr 2 r 2rrr 2r rr 2a bb22。其中正確的是 _r 2r; (a b)ab ; (ab)a2abbaa(答:)提醒:( 1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方

17、也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除( 相約 ) ;( 2 )向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即a(b ? c)(a ?b)c ,為什么?rrrrrrr r八向量平行 ( 共線 ) 的充要條件 : a / bab( a b)2(| a |b |)2x1 y2 y1 x2 0。如rrrr(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ,當(dāng) x _時 a 與 b 共線且方向相同rrrrrrrrr r(答: 2);( 2)已知 a(1,1),b(4, x) , ua2b,

18、 v2ab ,且 u / v ,則 x_(答: 4);(3)設(shè)uuuruuuruuur時, A,B,C 共線PA( k,12), PB (4,5), PC(10,k),則k_r rrrrrr r(答: 2 或 11)九 向 量 垂 直 的 充 要 條 件 : a ba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1 y2 0 . 特 別 地uuuruuuruuuruuurABAC) (ABAC) 。 如( uuuruuuruuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur(1) 已知 OA( 1,2),OB(3,m) ,若 OAOB ,則 m(答: 3 );OAB, B 9

19、02(2)以原點(diǎn) O和 A(4,2) 為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形,則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 _rrurrurur(答: (1,3) 或( 3, 1);(3)已知 n( a,b), 向量 n m ,且 nm ,則 m 的坐標(biāo)是 _(答: (b, a)或(b, a) )十線段的定比分點(diǎn):1定比分點(diǎn)的概念 :設(shè)點(diǎn) P 是直線 P1P2 上異于 P1 、 P2的任意一點(diǎn),若存在一個實(shí)數(shù),使uuuruuur叫做點(diǎn) P 分有向線段uuuur所成的比, P 點(diǎn)叫做有向線段uuuurPPPP ,則PP12PP12的以定比為的定比12分點(diǎn);2 的符號與分點(diǎn)P 的位置之間的關(guān)系:當(dāng) P點(diǎn)在線段 P 1P2 上時>

20、0;當(dāng) P 點(diǎn)在線段 P 1 P2uuuur的延長線上時< 1;當(dāng) P 點(diǎn)在線段 P2P1 的延長線上時10 ;若點(diǎn) P 分有向線段 PP12uuuur所成的比為,則點(diǎn) P 分有向線段 P2 P1 所成的比為 1 。如uuur3uuur若點(diǎn) P 分 AB 所成的比為,則 A分 BP 所成的比為 _43線段的定比分點(diǎn)公式 :設(shè) P1( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) , P(x, y) 分有向線段x1x2x1xx則1,特別地,當(dāng) 1 時,就得到線段 P1 P 2 的中點(diǎn)公式y(tǒng)1y1y2yy1(答:7)uuuur3PP12 所成的比為,x22y2 。在使用定比分2點(diǎn)的坐標(biāo)

21、公式時,應(yīng)明確( x, y) , ( x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意義,即分別為分點(diǎn),起點(diǎn),終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地確定起點(diǎn),分點(diǎn)和終點(diǎn),并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比。如( 1)若 M( -3 , -2 ), N( 6,-1 ),且 MP1 MN,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _3( 2)已知 A(a,0), B(3,2a) ,直線 y十一平移公式:如果點(diǎn)P( x, y)r1 ax 與線段2r按向量a(答: (6,7));uuuuruuur3AB交于 M ,且 AM2MB ,則 a 等于 _(答:或)h,k 平移至P(x , y ) ,則xxh;曲線yykf (

22、x, y)0 按向量 ah, k 平移得曲線f (xh, yk )0 . 注意 :( 1)函數(shù)按向量平移與平?!白蠹佑覝p”有何聯(lián)系?( 2)向量平移具有坐標(biāo)不變性,可別忘了??!如r3) 平移到 (1,r(1)按向量 a 把 (2,2) ,則按向量 a 把點(diǎn) ( 7,2) 平移到點(diǎn) _(答:(,);( 2 )函數(shù) ysin 2 x 的圖象按向量a 平移后,所得函數(shù)的解析式是y cos 2x1,則 a _(答: (,1) )412、向量中一些常用的結(jié)論:( 1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運(yùn)用;rrrrrrrr r( 2) | a | b | | ab | a |b | ,特別

23、地,當(dāng)a、b 同向或有 0rrrrr rrrrrrr| a | b | | ab | ;當(dāng) a、b 反向或有 0| ab | a | b | a |rrrrrr).| a | b | | ab | | a | b |( 這些和實(shí)數(shù)比較類似rrrr| ab | | a | b |rrrr r| b | ab | ;當(dāng) a、b 不共線(3 ) 在ABC中,若Ax , y, B x, y ,Cx , y3,則其重心的坐標(biāo)為11223G x1x2x3 , y1y2y3 。如33若 ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2, 1)、(-3 ,4)、 (-1 , -1 ),則 ABC的重心的坐標(biāo)為 _24(答:(,)

24、 );uuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuurr33G為ABC的重心,特別地為ABCPG3 (PAPBPC )PAPBPC0P的重心;uuuruuur uuuruuur uuuruuurP 為ABC 的垂心;PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量(ABAC)(0) 所在直線過ABC 的心 ( 是 BAC 的角平分線所在直線uuuruuuruuur|AB| |AC|uuur uuurruuuruuuruuurABC 的心;|AB|PC |BC |PA|CA | PB0Puuuuruuuuruuuuruuur( 3)若 P 分有向線段 PP12所成的比為,點(diǎn) M 為平

25、面的任一點(diǎn),則MP1MP2MP1uuuruuuuruuuurP 為 P1P2 的中點(diǎn)MP1MP2 ;MPuuuruuuruuur2uuruurA、B、C 共線、( 4)向量 PA、PB、PC 中三終點(diǎn)存在實(shí)數(shù)使得 PAPB1 . 如平面直角坐標(biāo)系中, O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn) A(3,1),B(1,3), 若 點(diǎn)) ;,特別地uuurPC 且C 滿 足OC1OA 2OB,其中1,2 R且12 1, 則點(diǎn) C 的軌跡是 _(答:直線 AB)2.2平面向量的線性運(yùn)算1在矩形 ABCD 中, AB3, BC1 ,則向量 ( AB ADAC) 的長等于()(A )2(B)2 3(C) 3(D)42下面給

26、出四個命題: 對于實(shí)數(shù) m 和向量 a 、 b 恒有: m( ab)ma mb對于實(shí)數(shù) m 、 n 和向量 a ,恒有 (mn) amana 若 mamb(mR) ,則有 ab 若 mana(m, nR, a0) ,則 mn其中正確命題的個數(shù)是()(A )1(B)2(C) 3( D)43若 a 與 b 的方向相反,且ab ,則 a+b 的方向與 a 的方向;此時 abab 答案:相同; =;uuuruuuruuurc ,則下列4已知 D、E、F 分別是 ABC 的邊 BC、CA、AB 的中點(diǎn),且 BCa , CAb , ABuuur1 c1 buuuruuur1 auuuruuuruuur0 其各式: EF; BE a1 b ; CF1 b ; ADBECF22222中正確的等式的個數(shù)為答案: 2uuuruuuruuur、OBOC0,則 O 是 ABC 的。5已知 A B C 三點(diǎn)不共線, O 是 ABC 的一點(diǎn),若 OA(填重心、垂心、心、外心之一)答案:重心uuuruuuruuur6若 AB8, AC5, 則 BC 的取值圍是uuur uuuruuur解析:由結(jié)論 |a|-|b| |a±b| |a|+|b|,因?yàn)?BC =| ABAC |。答案: 3,13A7如圖, D、 E、 F 是ABC 的邊 AB 、 BC、 CA 的中點(diǎn),則AFDB=DFCBE答

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