《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：多元生命函數(shù)

1、保險(xiǎn)精算學(xué)筆記：多元生命函數(shù)第一節(jié)  多元生命函數(shù)簡介一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。二、多元生命函數(shù)的作用養(yǎng)老金給付場合n          合伙人聯(lián)保場合n遺產(chǎn)稅的計(jì)算場合三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布1、  聯(lián)合密度函數(shù)2、  聯(lián)合分布函數(shù)3、  聯(lián)合生存函數(shù)4、  邊際生存函數(shù)第二節(jié)  多元生命狀況    一、連生狀況1、  連生狀況定義（1）定義：當(dāng)所有成員都活著時(shí)的狀況，稱為連生

2、狀況。當(dāng)有一個(gè)成員死亡時(shí)，連生狀況就結(jié)束了。簡記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義：（3）連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最小次序統(tǒng)計(jì)量2、  兩個(gè)體連生狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)（2）生存函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場合（3）密度函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場合（4）死亡效力函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場合（5）兩個(gè)體至少有一個(gè)在第 年內(nèi)死亡的概率（6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率（7）剩余壽命的期望二、最后生存狀況1、  最后生存狀況的定義（1）定義：只要至少有一個(gè)成員活著時(shí)的狀況，稱為最后生存狀況。當(dāng)所有的成員都死亡時(shí)，最后

3、生存狀況就結(jié)束了。簡記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義：（3）最后生存狀況剩余壽命的性質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最大次序統(tǒng)計(jì)量2、  多生命狀況剩余壽命的關(guān)系（1） （2） （3） （4） 3、兩個(gè)體最后生存狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)等價(jià)公式（2）生存函數(shù)等價(jià)公式（3）密度函數(shù)等價(jià)公式（4）死亡效力函數(shù)（5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率等價(jià)公式（6）剩余壽命期望4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析第三節(jié)        聯(lián)合生命模型一、 簡介聯(lián)合生命模型分為兩類：Comm

4、on Shock 模型和Copulas模型。Common Shock 模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量相互獨(dú)立的模型。這種模型假定有時(shí)與現(xiàn)實(shí)情況不符，但易于分析。Copulas模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量不獨(dú)立的模型。這種模型假定更符合實(shí)際情況，但不易于分析。我們主要研究簡單的Common Shock 模型。二、 Common Shock 模型1、定義：如果有 滿足且有一個(gè)Common Shock 隨機(jī)變量 ，它獨(dú)立于 ，且服從指數(shù)生存函數(shù)令則2、聯(lián)合生命狀況分析記則（1）邊際生存函數(shù)為（2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為（3）最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為特別， 獨(dú)立時(shí)，等價(jià)于 。第四節(jié)

5、  人壽保險(xiǎn)與生存年金一、聯(lián)合生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定1、  躉繳純保費(fèi)的確定原理2、  聯(lián)合多生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定（1）       連生狀況（2）       最后生存狀況二、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定1、  生存年金確定原理2、  聯(lián)合生命狀況生存年金的確定（1）連生狀況（2）最后生存狀況三、 連生狀況合最后死亡狀況的關(guān)系四、 繼承年金1、  繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個(gè)生命（v）死亡之后，另一個(gè)生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。2、  終身繼承年金3、  定期繼承年金第五節(jié)  在特殊死亡律假定下求值一、Gomperz 和Makeham假定1、  Gomperz假定下尋找能替代連生狀態(tài)的單個(gè)生命狀態(tài) ，即已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有由這個(gè)等式可求出 ，于是 2、  Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項(xiàng)，所以無法用單個(gè)生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個(gè)同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即已知在Mak