【新高考題型】結(jié)構(gòu)不良題型

1、新高考題型：結(jié)構(gòu)不良題型三角+立幾+解幾+數(shù)列1. 在萌(方cosC-a)=csinB；2“+c=2bcos C；bsin A=(3asin 二一這三個(gè) 條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在ZiABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為°, b, c,且滿足, b = 2©g+c=4,求/ABC的面積.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)解 若選擇條件，由正弦定理可得羽(sin Bcos Csin A)=sin Csin B.ill sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin C,得一羽cos Bsin C=sin

2、Csin B.因?yàn)?OvCVjt,貝iJsinCHO,所以一羽cosB=sinB.(若 cos B=0,則 sin B = 0, sin2B+cos25=0.這與 sin2B+cos2B= 1 矛盾) 乂 cosBHO,所以 tan B= y3.X OvBv兀，所以3=寺由余弦定理及 b=2羽,(2a/3)2=a2+c22/ccos y,即 12=(a+c)2ac.將 “+c=4 代入，解得 ac=4.所以 SBC=2acsin B=3><4X專=羽若選擇條件，由正弦定理，得2sin A + sin C=2sin Bcos C乂 sin A = sin(B+C) = sin Bco

3、s C+cos Bsin C、所以 2cos Bsin C+sin C=0.因?yàn)?CG(0, tt),所以 sinCHO,1?7T從而有cosB=-?.XBe(0, 7T),所以B=由余弦定理及 b=2j, W(23)2=a2+c22accos ?兀即 12=(a+c)2ac.將 a+c=4 代入，解得 tic=4. 11 羽 廠所以 S.MBc=2rtCsin =5X4X 2 =心若選擇條件，由正弦定理，得廠71 Bsin Bsin A=yj3sin Asin -B由 0<4<7i,得 sin AHO,所以 sin B=3cos y,B bb由二倍角公式,得2sincos 2VC

4、OS y由0v聲v£,得cos號(hào)H0,所以sin £=爭(zhēng)，則號(hào)=專，即3=辛 由余弦定理及 b=2書,得(23)2=a2+c22accos y,即 12 = (“+c)2“c.將 a+c=4 代入,解得 ac=4.11/3 r所以 S.ABC=icsin BpX4X*=£.2. 在zMBC的面積S.wc=2,ZADC=-&兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求AC.2如圖，在平面四邊形ABCD中，ZABC=寸，ZBAC=ZCAD.2AB=4,求 AC（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）1Q解 選擇：SABc=AB BC sin ZABC=X

5、2 BC sn所以 BC=2© 由余弦定理可得 AC2=AB2 + BC2 - 2ABBCcos ZABC = 4 + 8 - 2X2X2 x(¥) = 20,所以 AC=2y5.AB選擇：設(shè)ZBAC=ZCAD=0,則 Ov0好 ZBCA=d9AC在ABC 屮，sin ZABCsin ZBCA9sin ZADC=sin ZCAD9 即一二帀歹sin»_0 丿CD DM AC 4sin6乂 OvOvf,所以 sin0=¥，2所以 AC=-=2y5.3. 已知a, b, c分別為AABC內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，若ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：乎=熬普

6、；cos"+2cos弓=1；心晶 ®b=22.(1) 滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？(2) 在(1)所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)/XABC的面積.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)由 cos 4= 2 ?可得丁vv兀.A1由 cos 2A+2cos25= 1,得(2cos A l)(cos A+ 1)=0,解得 cos A=z.乂 A丘(0,兀),可得A=扌.可得不能同時(shí)出現(xiàn)作為條件.滿足有解三角形的序號(hào)組合有，.取.由正弦定理，得選=若，解得sin 5=1.VBe(0, 7T), ：.B=.c=迄，ABC的面積S=*X&X=羽.4. （2020-

7、北京一模）在條件（« + Z?）（sin A - sin B） = （c b）sin C, asin B = bcos（A+彳），/?sin «sin B中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線上，并解答問(wèn)題. 在ZXA3C中，內(nèi)角兒B, C的對(duì)邊分別為心4 g b+c=6, a = 2心,.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分） 解若選：由正弦定理,得(a+b)(a b) = (cb)c,即 b2+c1a1=bc9所以cos A =滬+。22b因?yàn)?AG(0, 7U),所以 A=j.因?yàn)?a2=b2-c2bc=(<b+c)23bcf a=2&, b+c=6,所以

8、bc=4, 所以 S,M8c=*bcsin A=X4Xsin £=書.若選： 山止弓玄定理，得sin Asin 3 = sin Bcos（ A +彳）因?yàn)?0<B5,所以 sinBHO,所以 sin A=cos(A+|, 化簡(jiǎn)得 sin A=£cos Agsin A,所以 tan A =魯. 因?yàn)?<4<7t,所以人=彳.ji(b+c)'cr (2/6) 22+也乂因?yàn)?a2=b2+c22bccos 石，所以 bc=齊于=_尸，即 be=24-12點(diǎn)所以 Su8c=gbcsin A=*X(24 12回X* =633.若選：由正弦定理,丿口B + C

9、得 sin Bsin ? sin Asin B因?yàn)?OvBVjt,B + C所以 sin BHO,所以 sin ? sin A.乂因?yàn)?B+C=n-A. 所以cos弓=2sin弓cos弓.所以sin所以弓耳，所以A=j.又 a2=b2+c2bc=(b+c)23bc, a=2&, b+c=6,所以 bc=4, 所以 5aabc=csin AX 4 X sin £=羽.的圖象，g的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；向量加=(羽sin cox, cos 2cox), w =cox,尹 cy>0, f(x)=tn-n；函數(shù)/(x)=cos exsin處+&|&(0>0)這

10、三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.已知,函數(shù)/(X)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為?若Ov0v號(hào)，且sin 0=爭(zhēng)，求夬0)的值；求函數(shù)/在0, 2可上的單調(diào)遞減區(qū)間.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分) 解選條件.曲題意可知，最小正周期乂函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，卩=加+彳，kWZ.(l)T0v&v號(hào)，sin =2f (2川l£+2R兀冬21+?冬討+2刼，比丘乙 解得+竝WxW彳兀+£兀，kWZ、令 £=0,令 k=,：函數(shù)/在0, 2兀上的單調(diào)遞減區(qū)間為£,討，仏I71他，£,方案二：選條件.

11、Vw = （/3sin cox, cos 2cox）, n =幾¥）/i-w 2 _lfj3 =m sin 2coxsin coxcos ex+£cos 2cox2° J=*sin（2°x+?）,9 jr又最小正周期r= = 7T, ：.C0=,/W=*sin（2x+?）.（1）T Ov&v號(hào)，sin =29 * 0=歩 7（&）=詹）=軌|n =爭(zhēng).（2）|l 1號(hào)+2竝W2t+?W初:+2加，R丘乙 解得+R兀WxW壬兀+R兀，kWZ,令kf,令 k=,：函數(shù)/(x)在0, 2刃上的單調(diào)遞減區(qū)間為?，討，仏孑方案三：選條件. f(x)

12、=cos(yxsin(ox+劭-壬兀，.71=cos4sincosf+cossin-|一 6 I（Z/A11 6_適,1 .1ysin coxcos x十 3COS9X二J3 , 1=sin 2c9%+jcos 2cox1陞.°=空| N"sm 2ojx2cox=gsin（2°x+彳）,9 yr又最小正周期r=K,/W=*sin(2i+m.(1) TOv0vsin2 : "=?7(4)|sin 知=零兀兀 3(2) 由£+2MW2y+?W莎+2炕圧乙JT7tt解得&+竝£6+£兀，REZ, 令 k=0,得?Wxw|t

13、u,令k= 1,得召0冬|兀,二函數(shù)/(x)在0, 2兀上的單調(diào)遞減區(qū)間為”,卵耳兀，討.6.(2020-湖北四地七校聯(lián)考)如圖，已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)M, N分別 是邊AB, AC上的點(diǎn)，且BM=2MA, AN=2NC如圖，將ZVIMN沿MN折起到 WMN的位置.(1) 求證：平面AEW丄平面BCNM；(2) 給出三個(gè)條件：/VM丄BC：二面角/TMNC的大小為60。； ®A'B=yp. 在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答.在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使直線PT與平面所成角的正弦值為響？ 若存在，求出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(注：如果選擇多

14、個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)證明 由已知得AM= 1, AN=2, ZA=60。，MN丄AB, :.MN丄AM, MN丄MB.高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357乂MBQ/TM=M,:MN丄平面A'BM.乂 MMz平面BCNM,平面A'BM丄平面BCNM.解 方案一：選條件丄BC,由得/TM丄MM BC和MN是兩條相交直線，:.AfM丄平面BCNM.:.MB, MM M/V兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB,MN, M/V所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M小z,則 4(0, 0, 1),設(shè) p(2a,岳，0),其中 0v“W，則AT=(2-(b 収,

15、一1).易得平面A'BM的一個(gè)法向量為“=(0,1, 0).設(shè)直線PT與平面AEM所成的角為0,則八， k 、|書 a3VT5SinICOS Z “J (2r)訐3沖+廣 10解得 a=6±>|,不存在點(diǎn)P滿足條件.方案二：選條件二面角A'-MN-C的大小為60°,由得ZAMB就是二面角A'-MN-C的平面角， ZA,MB=60°.過(guò)川作AO丄BM,垂足為O,連接OC,則40丄平面BCNM.經(jīng)計(jì)算可得0A，=誓,OM=£, OB=|,而BC=3,OB丄OC.：OB, OC,兩兩垂直，.以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB, OC, OA，所

16、在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0小乙則 ao, 0,誓)，設(shè)彳|書°),其中0<穴|,則ArP = a, 3a, 易得平面ABM的一個(gè)法向量為 =（0, 1, 0）.設(shè)直線QT與平面所成的角為4則解得"=|或。=3（舍卻,存在點(diǎn)P滿足條件，這時(shí)PB = 3.方案三：選條件AX®在厶中,山余弦定理得cos ZArMB=AfM2+MB2-AfB2 1 +4-72AMMB _2X1X2:.ZAfMB=20°.過(guò)4作40丄BM,垂足為0,則AO丄平面BCNM以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，03, O/V所在直線分別為兀軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（

17、圖略）,則 ao, 0,羋），設(shè) H|d，書a，o），其中 Ov°w|,則ArP=a,羽a, _¥）易得平面的一個(gè)法向量為 =（0, 1, 0）.設(shè)直線PV與平面AfBM所成的角為0,不存在點(diǎn)P滿足條件.7在qd=X血+加=0,52 = r2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題 中，若問(wèn)題中的a存在，求出久的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.若S“是公差為d的等差數(shù)列"”的前77項(xiàng)和，7；是公比為q的等比數(shù)列切的前 "項(xiàng)和，5 = 1, 55 = 25, u2=b29是否存在正整數(shù)孟 使得21幾1<12?（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

18、）解$ = 25 = 5知心=5,高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357 匕1+。31+5<2=二=二-=3,/ “2 = 02 = 3 d=aia = 3 1 =2.若選：* qd= 1,"=占=*,bi=3X2 = 6,由XTn<l2得久v2, 乂 2>0,存在正整數(shù)2=1,使得2IT.K12.若選：V«2+/=0,方3="2=3,§=一1,價(jià)=一3, 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，Tn=Qt則2>0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，八=一3,由kTn<2得；<4.綜上，存在正整數(shù)1=1, 2, 3,使得刀GK12.若選：由 Si=T2 得 bi =a

19、-a2bi = 1 +3 3= 1,b->尸厲=3,. l-3n 3"1T尸_3=刁_乞 山指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知7；無(wú)最大值,不存在正整數(shù)人,使得 m<2.&在2S“ = 3”+i3；如i = 2"“+3, 5 = 1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面 問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.設(shè)數(shù)列"“的前“項(xiàng)和為必，若, bn=, nGNs,求數(shù)列仇的最大值.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）解 若選擇條件，2S” = 3"+i3, 2S"+i = 3"+23,則 2S“+i-2S“=3"+2-3“h,即2如1

20、=33丹_3"“=23 ：伽+1=3" 1 如= 3",2n62n6 口 2,3“:.bn=易知當(dāng) 2n-6>0 時(shí)，n>3.Cln242X2舁=4 I1J ,加=?。簄 = 5 旳，b5=¥=4x 3<擁，2 ?當(dāng)料=4時(shí)，數(shù)列伽的最大值加=爭(zhēng)=喬若選擇條件，伽+1=2如+3,如+1 + 3 = 2如+6 = 2(如+3),2X2a | 3若選擇條件，設(shè)等比數(shù)列"”的公比為？，由2+"2=(得 2+?=，所以q = 2或§= 一 1(舍).由(1 )得(2“ + 2)q2 一 (2“+5)g + 1 =

21、0,即(2n + 2)X4(2“+5)X2+l=0不成立，所以/不存在.若選擇條件，設(shè)等差數(shù)列/的公差為，由2尙+“2=心得2血=, 所以 Sn=ndi,則 2nSn+ (2n+5)S”+Sn =(i =rci.所以r=l.若選擇條件，由得('2=(4所以如=(6廠)創(chuàng). 當(dāng) n=2 時(shí)，由得 6a49a3+a2=0,因?yàn)?«47«i, 所以42如一9(6訕+(4加 =0,解得r=l.10.已知等差數(shù)列如的前n項(xiàng)和為S“，b“是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，小=加, ，b2 = S,仞一3加=4,是否存在正整數(shù)匕使得數(shù)列土啲前k項(xiàng)和7；>尋若存在，求出k的最小值；若

22、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.從©54=20,S3=2d3,3的一心=加這三個(gè)條件中任選一個(gè)，填到上面橫線上 并作答.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)QQ解 設(shè)等比數(shù)列%的公比為q(q>0),則臥=才 加= 8q,于是”一3X& = 4, 即6g2+q2=0,解得q=或q= 一|(舍去).高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357 設(shè)等差數(shù)列如的公差為d.若選，則 ai=b4=2, S4=4e+亍p/=20,解得 d=2.料5 1)«所以 Sn = 2n+5X2=n2+n,則討1口 5+1)于是厲=£+占+*令1解得A>15.因?yàn)閗為正整數(shù)，

23、所以k的最小值為16.若選，則如=加=2, S3 = 3d+=刁=2(山+ 2心 解得d=2.下同.4若選,則山=加=2, 3+2J)-(ai+3J)=8,解得=亍 所以S“=2"+"；L-X扌詡2+務(wù),高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357 州丄_冬一!_準(zhǔn)_丄Sn2Xn 5+2) 一也 + 2丿+ +于是7HO-+(”)1_址一1 k+_3f , 1_!|_9_3 _1_4(2 £+1£+2丿一§ 4+1 ' k+2z 15 ZQ 1,11令5'得E+IT尹T注意到k為正整數(shù)，解得所以R的最小值為7.11.在如如+1 = 2&

24、quot;一1,Sn=kanfSn=an-n2 ln+k這三個(gè)條件中任選一 個(gè)，補(bǔ)充至橫線上.若問(wèn)題中的正整數(shù)加存在，求出加的值；若加不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.已知數(shù)列歸中4 = 1,其前“項(xiàng)和為S“，且,是否存在正整數(shù)m,使得Smt Sm+1, Sjjj+2構(gòu)成等差數(shù)列?(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)解 若選擇條件伽如+i =2，" J，則 如1如2=2"! *. 兩式相除得到竽=4.(In所以數(shù)列"”的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.因?yàn)? = 1,所以03 = 4.因?yàn)?quot;102 = 2,所以化=2.因此5, "2

25、,如成等比數(shù)列.故數(shù)列"”是等比數(shù)列，且公比為2,所以為=21所以 SET,則 Sm=2加一 1, 5w+1=2m+I-l,弘+2=2肚2_i.=0,此方程無(wú)解.所以不存在正整數(shù)加，使得$”，Sz $“+2構(gòu)成等差數(shù)列. 若選擇條件S“ = kan.13因?yàn)? = 1，所以l=k一仝則k=$3 |所以s“=矜一乞31當(dāng)，心2時(shí)，S-i=j如一空兩式相減，/33得 Qn = Cln -1 于是 =3,所以數(shù)列如是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列. 伽一 1因此如=3曠】，必=細(xì)'一1）高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357 所以S產(chǎn)細(xì)_1）,亦=*3曲_1）, $”+2=*（3滬21

26、）.汁2_1）若S加Sm+1，Sm+2構(gòu)成等差數(shù)列,則 2扌（3"旳_1）=*整理，得4 X3=0,此方程無(wú)解，所以不存在正整數(shù)加，使得S,“，St，S葉2構(gòu)成等差數(shù)列.若選擇條件Sn=an+n2 2n+k.因?yàn)?/i = l,所以1 = 1 + 12+匕則k=,因此 Sn=Qn+tr 2n + 1 當(dāng) 時(shí)，S/r_i=如-1 + （“一 I）' 2（”一 1）+1.兩式相減，得an = dn an- + 2“ 一3 于是如-1 = 2/2 3,所以an=2nl.當(dāng)”=1時(shí),«i=2Xl 1 = 1,成立于是數(shù)列 “”是等差數(shù)列，且Sn=n2.若Sm，Sm+lf S

27、m+2構(gòu)成等差數(shù)列,則2（加+1）2=亦+（加+2）2,此方程無(wú)解，所以不存在正整數(shù)加,使得S,” S"沖, S葉2構(gòu)成等差數(shù)列.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中： 已知點(diǎn)A速,0),直線/：尤=攀，動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)人的距離與到直線/的距 離之比為¥； 已知圓C的方程為疋+護(hù)=4,直線/為圓C的切線，記點(diǎn)A(羽，0), B(-百,0)到直線/的距離分別為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足1加=山，1陽(yáng)=心；2 1 點(diǎn)S, T分別在X軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且IS71 = 3,動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OS+OT.(1) 在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)(

28、2) 記(1)中的軌跡為E,經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(l, 0)的直線交E于M, N兩點(diǎn)，若線段M/V 的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.解(1)若選：4羽2 A 37(兀_羽)2+尸羽設(shè)P(x, >-)，根據(jù)題意，整理，得于+h=l.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為才+尸=1.若選：設(shè)P(x, y),直線/與圓相切于點(diǎn)H,則 PA I + PB=d+ ch=210/71=4>2羽= AB.山橢圓的定義，知點(diǎn)P的軌跡是以A, 3為焦點(diǎn)的橢圓.所以 2“=4, 2c=L4BI = 2邁，故"=2, c3, b= 1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為呂+尸=1.若選：設(shè) P(x, y), S

29、(x 0), T(0,則p （疋）？+ <y）2=3（*）.2 ? I尸尹因?yàn)镺P=OS+OT,所以1）=滬_,_3 整理,得"_另，J'=3y, 代入（*）得召+b=i. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為呂+尸=1 法一 設(shè)Q（o,），o）,當(dāng)直線r的斜率不存在時(shí)，yo=O. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，若斜率為0,則線段MN的垂直平分線與），軸重合，不合 題意,所以設(shè)直線的方程為y=g-l）（RH0）, M（xi，yi）, Ng yi）.y=k （x1）,聯(lián)立得方程組疋才+護(hù)=1,消去y并整理，得（1+4疋）疋一8疋兀+4伙21）=0,則丿>0恒成立，且X1+X2= +護(hù)高中數(shù)

30、學(xué)資料共享群734924357設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G（X3,屮），mil xi +x24k2則二帀0力=心一1）=k1+4疋所以線段MN的垂直平分線的方程為,k If 4Qy十it喬=_疋_匸莎丿，令 x=0, 1嚴(yán)當(dāng)展0時(shí)，f+4kW4,當(dāng)且僅當(dāng)k=i取等號(hào),3所以一Wy（）vO；當(dāng)40時(shí)，+4Q4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)vyoW扌.r 3 31綜上所述，點(diǎn)?？v坐標(biāo)的取值范圍是|_一牙，4 -法二 設(shè)Q（0, yo）,山題意，得直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為+1.若 加=0,則yo = O.高中數(shù)學(xué)資料共享群734924357當(dāng)加H0 時(shí)，設(shè) Mx, yi）, Ng,戶），x=my+1,聯(lián)立得方程組w j+r=i-消去X并整理，得（加2+4）護(hù)+2加y_3=0, 則zf>0恒成立，且），|+），2=冊(cè)±.設(shè)線