復變函數(shù)總復習資料復習課程

1、復變函數(shù)總復習資料22、復數(shù)的表示復數(shù)的表示 直角坐標：z=x+iy 復平面與直角坐標平面上的點一一對應 向量表示 模 幅角 三角表示： 指數(shù)表示：0 xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy|z|=r2200|Argarg2arg ,zrxyzzkzqqqz=0時輻角不確定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq6區(qū)域區(qū)域：平面點集：平面點集D D稱為區(qū)域稱為區(qū)域, , 必須滿足下列兩個條件：必須滿足下列兩個條件： 1 1）D D是一個開集。是一個開集。 2 2）D D是連通的。是連通的。不連通單連通域：單連通域：區(qū)域區(qū)域B B中任做一條簡單閉曲線，曲線內(nèi)中任做一條簡

2、單閉曲線，曲線內(nèi) 部總屬于部總屬于B B，稱，稱B B為單連通區(qū)域。為單連通區(qū)域。多連通域：多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。不滿足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域區(qū)域的概念區(qū)域的概念7復變函數(shù)復變函數(shù) w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)單值函數(shù)：單值函數(shù)：z 的一個值對應一個的一個值對應一個w值。值。多值函數(shù)：多值函數(shù)：z的一個值對應兩個或以上的一個值對應兩個或以上w值。值。反函數(shù)：反函數(shù)：z=g(w)兩兩個個實實變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論復復變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論 復變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導、解析性的判定復變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導、解析性的判定81、

3、極限、極限lim( ) ( )zzf zAzzf zA00或，。都都要要趨趨于于同同一一個個常常數(shù)數(shù)論論從從哪哪個個方方向向趨趨近近；的的方方式式是是任任意意的的，即即無無Azfzz)(0定理一：定理一：設 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0lim( )( )lim( )( )lim( ), lim( ):( )lim( )zzzzzzzzzzfzg zABfzg zA BfzAg zBfzAg zB00000有l(wèi)im( )lim( , ), lim ( , )zzxxxxyyyyf zAu x yuv x yv0000000的充分必要 件：條定理

4、二：定理二：92、連續(xù)性、連續(xù)性000lim( )(),( )zzf zf zf zz如果稱在 處連續(xù)。( )D( )Df zf z如果在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù),稱在 內(nèi)連續(xù)。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx 為為：處處連連續(xù)續(xù)的的充充分分必必要要條條件件在在定定理理三三、)(, 0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfzgzfzgzfzzzgzf 處處都都連連續(xù)續(xù)。處處連連續(xù)續(xù)，下下列列函函數(shù)數(shù)在在在在，定定理理四四、如如果果( )( )( )( )nnnwzw P zaa za zP zwQ zQ

5、z010多 式：=有理式：=在復平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：復平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：項10導數(shù)定義形式與實變相同，求導法則與實變相同。121 ( )02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzgzf zg zfz g zf z gzf zfz g zf z gzg zg zf g zfw gzwg z 、正整數(shù)、17( ),( )( ),( )0.( )fzwf zzwww、與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù) 且3、導數(shù)、導數(shù)()()( ) lim( )zf zzf zw

6、f zzDzf zz 00000，如果存在， 在00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 定義在區(qū)域D內(nèi)，稱 可導11為為奇奇點點。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )f zwfzzzz及 的鄰域內(nèi)處處可,則在點導在解析內(nèi)內(nèi)每每一一點點解解析析。在在內(nèi)內(nèi)解解析析：在在區(qū)區(qū)域域DzfD)(可導解析可導解析z0點：區(qū)域D：4、解析、解析00( )( )( )( )( ), ( )( ), (g(z)0), ( ) ( )f zg zzf zf zg zf zg zf g zzg z定理五：如果，在 處解析,則 在 處都解析。01( )( )0( )nnwP za

7、a za zP zwQ z有理多項式 在整個復平面上解析。有理分式 （兩個多項式的商）除分母不為 的點外， 處處解析,使分母為零的點是它的奇點。12( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點可導的充分必要條件為：（ ）在點可微(可導)；（ ）滿足柯西 黎曼(方程：重要定理：重要定理：函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yv x y iDu x

8、y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區(qū)域 內(nèi)解析的充分必要條件為：）在 內(nèi)可微(可導)；）在 內(nèi)（方程）：( )uvvufziixxyy求導公式:13連續(xù)、可導、解析的關系：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 D)z(f可可導導在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內(nèi)內(nèi)可可導導在在 D)z(f連連續(xù)續(xù)在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層14初初 等等 函函 數(shù)數(shù), Ln , , sinzaezzz注意性質：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性1.指數(shù)函數(shù)：( ) exp(cossin )zxf zzeeyiy12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處

9、處解析滿足加法定理：周期性：周期為ze 的性質：152.對數(shù)函數(shù)：lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 主值： 分支： LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k性質性質:1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(4) (), , , 在除去負實軸 包括原點 的復平面內(nèi) 主值支和其它各分支 處處連續(xù) 處處可導 且11(ln ),(Ln ).zzzz13LnLnLnLnnnznzzzn（ ）16乘冪乘冪 Ln . bbaae Lnln(arg2) , .baaiaka由于是多值的 因而也是多值的3bbaz.乘冪與冪函數(shù)：、a

10、bikbaiabeeln2)arg(ln 單值(2) (, 0): pbpqqq與 為互質的整數(shù)ln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnarg cos2 sin2 ppaiaqqppekikqq q個值: 0,1,2,(1) kq(1) b 為整數(shù):)2arg(lnLn kaiababbeea3 ba( )除此以外，具有 無窮多個值17Lnbbzwze11 , .nnnbnwzwzzn當與 時 就分別得到復數(shù)的冪及根運算：及冪函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性(1) nz冪函數(shù)在復平面內(nèi)是單值解析的：1().nnznz

11、1(2) , . nzn冪函數(shù)是多值函數(shù) 具有 個分支各分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的:1(3) ( ) , bwzbnn冪函數(shù)與也是一個多值函數(shù)1().bbzbz ,. b當為無理數(shù)或復數(shù)時 是無窮多值的1811sin()sin ,cos()cos .22sin(2 )sin ,cos(2 )cos .3 sincos , cossin4cossin5 cos(izzzzzzzzzzzzzezizz （ ） 奇偶性： （ ）周期為的周期函數(shù)： （ ）在復平面內(nèi)處處解析：（ ）歐拉公式仍然成立：（ ）一些三角公式仍然成立

12、：22212),sin(),sincos1, sin1& cos1zzzzzzz但不成立三角函數(shù)性質：4. 三角函數(shù)cos2izizeezsin2izizeezi19一、曲線積分計算：1212(1) ( )()()(2) ( ),( )( )( )(3) ( )( )( )( )(4) ( )(nCCCCCnCCCCf z dzuiv dxidyudxvdyivdxudyCzz ttf z dzf z tz t dtCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dzf zf 通過兩個二元線積分求：當曲線 可表示為參數(shù)方程時：為分段光滑曲線：為解析函數(shù)時，若可求得1010)( )

13、 ( )( )()zzzF zf z dzF zF z的原函數(shù)則有：第三章第三章 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分習題3-8(1)20二、閉路積分問題：1-( )0 ( )Cf z dzCf z（）柯西 古薩定理：其中 所包圍區(qū)域為單連通域，在該區(qū)域內(nèi)解析12( )( )CCf z dzf z dz（ ）閉路變形原理：在多連通域解析的函數(shù)，不因閉曲線作連續(xù)變形而改變積分值。11( )( )( )0 knCCknf z dzf z dzf z dzCCC （）3（ ）復合閉路定理：在多連通域解析的函數(shù)CC1DC1C2C3C000( )0104( )1( ),( )2!( ) ( )(1,2,)2Cn

14、nCf zBCzf zCBf zdzizznf zfzdznizz（ ）柯西公式、高階導數(shù)公式： 在 上處處解析， 為圍繞的一條閉曲線，且 的內(nèi)部全含與 則： 習題3-7(8)、3-9(1)21三、積分的性質復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質.(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk為常數(shù)(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設曲線的長度為函數(shù)在上滿足

15、那么估值不等式估值不等式221、調(diào)和函數(shù)的定義2222 ( , ) , 0, ( , ) .x yDxyx yD如果二元實變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù) 并且滿足拉普拉斯方程:則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系 2、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關系定理：定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即有：2222 0,uuxy22220,vvxy( )wf zuiv23, , , .uvuvDxyyxvu換句話說 在內(nèi)滿足方程的兩個調(diào)和函數(shù)中稱為 的共軛調(diào)和函數(shù)3、 共軛調(diào)和函數(shù) ( , ) , ( , ) ( , ) .u x yDuivDv x yu

16、x y設為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù) 把使在內(nèi)構成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù). .4、 偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡單了解即可簡單了解即可）如果已知一個調(diào)和函數(shù)u, 利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v, 從而構成一個解析函數(shù)u+vi的方法稱為偏積分法. ( , ) ( , ), .u x yv x y已知調(diào)和函數(shù)或用不定積分求解析函數(shù)的方法稱為不定積分法24一、一、 復數(shù)項級數(shù)的一些基本概念復數(shù)項級數(shù)的一些基本概念 1、復數(shù)列 收斂的充要條件: 同時收斂.2、復級數(shù): 收斂的充要條件: 同時收斂

17、.3、復級數(shù)絕對收斂: 絕對收斂的充要條件: 同時絕對收斂. nnnaib ,nnab 1nn 11nnnnba1 nn收斂11,nnnnab第四章第四章 級級 數(shù)數(shù)lim0nn1lim0.nnnn級數(shù)發(fā)散1nn復數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是25 收斂范圍為圓域收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對收斂圓內(nèi)絕對收斂,圓外發(fā)散圓外發(fā)散,圓上不定圓上不定.0nnnc z1 1、收斂定理：、收斂定理： ( (阿貝爾阿貝爾AbelAbel定理定理) )如果級數(shù) 在 收斂,那么對滿足 的z, 級數(shù)必絕對收斂絕對收斂,如果在 級數(shù)發(fā)散, 那么對滿足 的z, 級數(shù)必發(fā)散。0nnnc z0( 0)z z0zz0zz0zz二二

18、、冪級數(shù)：、冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂半徑的情況有三種冪級數(shù)的收斂半徑的情況有三種: :(1) (1) 對所有的正實數(shù)都收斂對所有的正實數(shù)都收斂. . 級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂: :(2) (2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除z z=0=0外都發(fā)散外都發(fā)散. . 級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散: :例如例如, ,級數(shù)級數(shù) nnznzz2221RR0(3) (3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), , 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù). . 級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對收斂級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對收斂 0R+262

19、、收斂半徑求法、收斂半徑求法:11010limlimnnnnnncifRcifcR比值法：根值法：0( )nnnfzc z如果如果:001.0, .2. (), 0 ,0.nnnnnnc zRc zzzR 則級數(shù)在復平面內(nèi)處處收斂,即 極限不存在 則級數(shù)對于復平面內(nèi)除 以外的一切 均發(fā)散 即 3、性質、性質:和函數(shù)和函數(shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi): 解析解析,可逐項求導可逐項求導,可逐項積分可逐項積分. 習題4-6274 4、冪級數(shù)的運算和性質、冪級數(shù)的運算和性質(1)(1)冪級數(shù)的有理運算冪級數(shù)的有理運算1200( ),( ),nnnnnnf za zRrg zb zRr設000( )( )()

20、nnnnnnnnnnf zg za zb zab zRz 00( )( )() ()nnnnnnf zg za zb z01 100()nnnnna baba b zzR12min( ,)r r12min( ,)r r(2) 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換( (復合復合) )運算運算如果當如果當rz 時時, ,)(0 nnnzazf又設在又設在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那么當那么當Rz 時時, , 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).習題4-1128答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以

21、az 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結論一般的結論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.答案：答案：問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?有關冪級數(shù)的兩個關鍵問題：有關冪級數(shù)的兩個關鍵問題：29三三 、泰勒級數(shù)、泰勒級數(shù):定理定理:在以在以 為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f(z) ，可以在該圓域內(nèi)展開成可以在該圓域內(nèi)展開成 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。 泰勒級數(shù)展開式求法泰勒級數(shù)展開式求法:直接法直

22、接法,間接法間接法.0z0()zz( )00000()( )()()!nnnnnnfzf zczzzzn30,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z311020100( )( )()1( )0, 1, 2,2()

23、nnnnncf zRzzRf zczzfcdnizcz 定理： 在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，則：其中：為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。四、洛朗級數(shù)：四、洛朗級數(shù)：洛朗級數(shù)展開式求法洛朗級數(shù)展開式求法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 在計算閉路積分中的應用：在計算閉路積分中的應用：1( )2cf z dzic101( ) d2()nnCfciz令n=-1, 得11( )d2Ccf zzi或習題4-16(2)32的的負負冪冪項項。多多個個、本本性性奇奇點點：含含有有無無窮窮級級極極點點。為為，稱稱冪冪項項，最最高高負負冪冪項項為為：、極極點點：只只含含有有限限個個負負的的負負冪冪項項。、可可

24、去去奇奇點點：不不含含)(3)(2)(10000zzmzzzczzmm 一、孤立奇點的三種類型：第五章第五章 留數(shù)留數(shù)為為本本性性奇奇點點不不存存在在且且不不為為、為為極極點點；、為為可可去去奇奇點點；存存在在且且有有限限、：孤孤立立奇奇點點類類型型判判斷斷方方法法000)(lim3)(lim2)(lim1000zzfzzfzzfzzzzzz 33零點與極點零點與極點 ： 零點定義：零點定義：f(z)=0f(z)=0的點的點 0)()1.,1 , 0(0)(,)(0)(0)(00zfmnzfmzzzfmn必必要要充充分分級級零零點點為為解解析析在在定定理理一一：級級零零點點的的是是級級極極點點的的是是系系）定定理理二二：（零零、極極點點關關mzfzmzfz)(1)(00習題5-1(1、2、4)340000001001000001:,:Res( ),lim() ( )2:,:1Res( ),lim()( )