爬樓梯中的數(shù)學(xué)問題

1、爬樓梯中的數(shù)學(xué)問題很多同學(xué)放學(xué)回家， 都需要經(jīng)過一個爬樓梯的過程 （住在一樓的同學(xué)和坐電梯的同學(xué)除外）。 你知道嗎，爬樓梯的過程中也隱藏著奇妙的數(shù)學(xué)問題呢？不信，你瞧題目：明明要爬樓梯，他每次能向上跨一級或兩級，如果樓梯有10 級，他有幾種不同的走法？思路點撥： 很多同學(xué)剛看到這樣的題目，可能會有無從下手的感覺。其實，這一題我們只要先從簡單的情況考慮起，很快就能找出其中隱藏的規(guī)律。爬一級樓梯只有 1 種方法，爬兩級樓梯有2 種方法，爬三級樓梯有3 種方法，爬四級樓梯有5 種方法列表如下：相信同學(xué)們此時都已經(jīng)看出來了，沒錯，爬樓梯的方法數(shù)正好組成了一個斐波那契數(shù)列，從第3 個數(shù)開始，每一個數(shù)都等

2、于它前面的2 個數(shù)之和。是不是很奇妙呢？找到了這個規(guī)律，這一題也就迎刃而解了。爬10 級樓梯共有 89 種不同的走法。且慢，有的同學(xué)喜歡邁大步，如果爬樓梯時可以每次跨一級，或者跨兩級，甚至跨三級，還是10 級樓梯，又有幾種不同的走法呢？思路點撥：相信大家此時再不會感覺無從下手了。沒錯，還是從簡單的情況開始考慮：如果樓梯就一級，他有1 種走法；如果樓梯有兩級，他有2 種走法；如果樓梯有三級，他有4 種走法；如果有四級樓梯，他有7 種走法列表如下。發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？對， 觀察爬樓梯的方法數(shù)， 這里是從第 4 個數(shù)開始， 每一個數(shù)都等于它前面的3 個數(shù)之和。所以，這里爬10 級樓梯，應(yīng)該有 274 種不

3、同的走法。繼續(xù)探索：如果明明每次爬樓梯時只允許每次跨兩級，或者每次跨三級， 不允許一級一級跨，還是10 級樓梯，這次又有幾種不同的走法呢？思路點撥：這次的規(guī)律可能比較難找一些。我們不妨還是先列表， 再仔細(xì)觀察找規(guī)律。列表如下：這里的規(guī)律是這樣的： 觀察爬樓梯的方法數(shù)， 從第 4 個數(shù)開始， 每一個數(shù)都等于跳過它前面一個數(shù)的前兩個數(shù)之和。例如：第1 個數(shù)與第 2 個數(shù)的和等于第 4 個數(shù)；第 3 個數(shù)與第 4 個數(shù)的和等于第 6 個數(shù)利用這樣的規(guī)律，如果有11 級樓梯，12 級樓梯，又會有幾種不同的走法呢？分類枚舉，周密考慮蘇州工業(yè)園區(qū)第二實驗小學(xué)董良題目： 飼養(yǎng)員給 3 只猴子吃紅、綠、黃蘋果

4、各1 個，每只猴子可以吃1 個、2 個、3 個或者不吃，如果蘋果要全部吃光，那么一共有多少種不同的吃法？思路點睛： 我們不妨把這三只猴子分別用字母a、b、c來表示。然后，再從三種分配方案來分類枚舉。第一種分配方案： 其中的一只猴子將三個蘋果全吃完，其它的兩只猴子吃不到。這種方案最容易考慮， a 吃三個， b、c不吃； b 吃三個， a、c不吃； c吃三個， a、b不吃，共有三種吃法。第二種分配方案： 其中的一只猴子吃2 個蘋果，另一只猴子吃 1 個，還有一只猴子沒吃到蘋果。這種情況下比較復(fù)雜，考慮時要特別仔細(xì)，避免遺漏。我們可以先從哪只猴子吃不到入手。如果 a猴子吃不到，那么 b猴子可以吃兩個

5、，也可以吃 1 個，有兩種可能情況；同理，b猴子吃不到蘋果，或者c猴子吃不到蘋果，也各有兩種可能情況。列表如下：這里需要特別注意的是， 僅僅知道每個猴子各自吃了幾個蘋果是不夠的，還必須考慮吃的蘋果的顏色。 上面的每一種可能情況， 又各有三種不同的吃法， 舉例說，如果 b吃 2 個，c吃 1 個，則三種吃法列表如下：根據(jù)乘法原理，第二種分配方案共有63=18（種）不同的吃法。第三種分配方案： 每只猴子吃一個， 最為公平。這種方案考慮起來也不復(fù)雜，同樣根據(jù)乘法原理， a、b、c三只猴子挑選紅、綠、黃三種不同顏色的蘋果，共有 321=6（種）挑選法。枚舉如下：綜合三種分配方案，一共有3186=27（種）不同的吃