步步高高考數(shù)學(xué)(人教A理)一輪二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

1、§7.2二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線.(2)由于對直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0By0C的符號(hào)即可判斷AxByC>0表示的直線是AxByC0哪一側(cè)的

2、平面區(qū)域.2.線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式來源:可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3.應(yīng)用利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.(4)求最值：將最優(yōu)解代入目

3、標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值. 來源:中|教|網(wǎng)z|z|s|tep1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方.(×)(2)不等式x2y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域.()(3)不等式組表示的平面區(qū)域是下圖中的陰影部分.(×)(4)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.()(5)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上.()(6)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距.(

4、15;)2.下列各點(diǎn)中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A.(0,0)B.(1,1)C.(1,3)D.(2，3)答案C解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(1,3)不適合，故選C.3.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是()A.3B.C.2D.2答案C解析因?yàn)橹本€xy1與xy1互相垂直，所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切危椎肁(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，其面積為×|AB|×|AC|2.來源:中&教&網(wǎng)z&z&s&tep4.(2013·湖南)若變量x，y滿足約束條件則x2y的

5、最大值是()A.B.0C.D.答案C解析畫出可行域如圖.設(shè)zx2y，平行移動(dòng)直線yxz，當(dāng)直線yx過點(diǎn)M時(shí)，z取最大值，所以(x2y)max.5.(2013·浙江)設(shè)zkxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k_.答案2解析作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知當(dāng)0k<時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)M(4,4)時(shí)z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；當(dāng)k時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時(shí)z最大，此時(shí)z的最大值為2，不合題意；當(dāng)k<0時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)M(4,4)時(shí)z最大，所以4k412，解得k2，符合題意.綜上可知，k2.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

6、例1若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A.B.C.D.思維啟迪畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.答案A 解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.來源:由于直線ykx過定點(diǎn).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線ykx能平分平面區(qū)域.因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D.當(dāng)ykx過點(diǎn)時(shí)，所以k. 思維升華二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點(diǎn)定域.注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.測試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，則測試點(diǎn)

7、常選取原點(diǎn).如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐 標(biāo)分別為A(0,1)，B(2,2)，C(2,6)，試寫出ABC及其內(nèi)部區(qū)域所對應(yīng)的二元一次不等式組.解由已知得直線AB、BC、CA的方程分別為直線AB：x2y20，直線BC：xy40，直線CA：5x2y20，原點(diǎn)(0,0)不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號(hào)可得不等式組為.題型二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2設(shè)x，y滿足約束條件：，求zxy的最大值與最小值.思維啟迪作可行域后，通過平移直線l0：xy0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.解先作可行域，如圖所示中ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)

8、，作出直線l0：xy0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過點(diǎn)B時(shí)，可使zxy達(dá)到最小值；當(dāng)l0的平行線l2過點(diǎn)A時(shí)，可使zxy達(dá)到最大值.來源:中教網(wǎng)故zmin2，zmax7.思維升華(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得.(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系.(1)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z·的最大值為()A.3B.4C.3D.4(2)(2013·課標(biāo)全國)已知a>0，x，y滿足約束條件若z

9、2xy的最小值為1，則a等于()A.B.C.1D.2答案(1)B(2)B解析(1)由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z·xy，將其化為yxz，結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(，2)時(shí)，、z最大，將點(diǎn)(，2)的坐標(biāo)代入zxy得z的最大值為4.(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z2xy過交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故選B.題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題例3(2012·江西)某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表來源:z_zs_年產(chǎn)量/畝年

10、種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50思維啟迪根據(jù)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.答案B來源:中國教育出版網(wǎng)解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)zx0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤最

11、大.思維升華線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如下步驟完成：(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條l；(2)平移將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)A的位置；(3)求值解方程組求出A點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只能送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤

12、450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z為()A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元答案C解析設(shè)該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用甲、乙型卡車的車輛數(shù)分別為x，y，則根據(jù)條件得x，y滿足的約束條件為目標(biāo)函數(shù)z450x350y.作出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖，然后平移目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線450x350y0(即9x7y0)知，當(dāng)直線經(jīng)過直線xy12與2xy19的交點(diǎn)(7,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即z450×7350×54 900.題型四求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4(1)設(shè)實(shí)數(shù)x，y

13、滿足則的最大值為_.(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|的最小值是_.思維啟迪與二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.答案(1)(2)解析(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，在點(diǎn)(1，)處取到最大值.(2)依題意得，(x1，y)，|可視為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1,0)間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的來源:平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由點(diǎn)(1,0)向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(diǎn)(1,0)的距離最小，因此|的最小值是.思維

14、升華常見代數(shù)式的幾何意義有(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離；(2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離；(3)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(4)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是1，平面區(qū)域2是與1關(guān)于直線3x4y90對稱的區(qū)域，對于1中的任意一點(diǎn)A與2中的任意一點(diǎn)B，|AB|的最小值等于()A.B.4C.D.2答案B解析由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域1中的點(diǎn)到直線3x4y90的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)(1,1)到直線3x4y90的距離最小，故|AB|的最小值為2

15、5;4，選B.線性規(guī)劃問題中忽視參數(shù)范圍致誤來源:中國教育出版網(wǎng)典例：(5分)已知x，y滿足約束條件|x|2|y|2，且zymx(m0)的最小值等于2，則實(shí)數(shù)m的值等于_.易錯(cuò)分析本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面：(1)沒有將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，畫不出正確的可行域；(2)沒有對參數(shù)m的取值情況進(jìn)行分類討論，造成漏解，只得到m1.解析原不等式等價(jià)于以下四個(gè)不等式組：因此可畫出可行域(如圖)：由zymx得ymxz.(1)當(dāng)m>時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(2,0)處取得最小值，因此202m，解得m1.(2)當(dāng)0<m時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)D(0，1)處取得最小值，因此21

16、m×0，m無解.(3)當(dāng)m<時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(2,0)處取得最小值，因此202m，解得m1.(4)當(dāng)m<0時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)D(0，1)處取得最小值，因此21m×0，m無解.綜上，實(shí)數(shù)m的值等于1或1.答案1或1溫馨提醒(1)含絕對值不等式表示區(qū)域的畫法來源:中,教,網(wǎng)z,z,s,tep含有絕對值的不等式所表示的平面區(qū)域，應(yīng)該根據(jù)變量的取值情況，將不等式中的絕對值符號(hào)去掉，化為幾個(gè)不等式組，把每一個(gè)不等式表示的平面區(qū)域畫出后合并起來就是相應(yīng)的含絕對值不等式所表示的平面區(qū)域.(2)正確運(yùn)用分類討論的方法本題是線性規(guī)劃的逆問題，這類問題的特點(diǎn)

17、是在目標(biāo)函數(shù)或約束條件中含有參數(shù)，當(dāng)在目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的不同取值將要影響到最優(yōu)解的位置，因此要根據(jù)可行域邊界直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線斜率的大小關(guān)系，對參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論，在運(yùn)動(dòng)變化中尋找問題成立的條件，從而得到參數(shù)的取值.如果在約束條件中含有參數(shù)，那么隨著參數(shù)的變化，可行域的形狀可能就要發(fā)生變化，因此在求解時(shí)也要根據(jù)參數(shù)的取值對可行域的各種情況進(jìn)行分類討論，以免出現(xiàn)漏解.方法與技巧1.平面區(qū)域的畫法：線定界、點(diǎn)定域(注意實(shí)虛線).2.求最值：求二元一次函數(shù)zaxby (ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優(yōu)解

18、在頂點(diǎn)或邊界取得.3.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.失誤與防范1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.2.在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為()A.或B.3或1C.1D.答案C解析不等式組

19、所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由解得交點(diǎn)B(t，t1)，在yx1中，令x0得y1， 來源:中國教育出版網(wǎng)即直線yx1與y軸的交點(diǎn)為C(0,1)，由平面區(qū)域的面積S，得t22t30，解得t1或t3(不合題意，舍去)，故選C.2.直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)答案B解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域，易知直線與此區(qū)域的公共點(diǎn)有1個(gè).3.(2013·天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zy2x的最小值為()A.7B.4C.1D.2答案A解析可行域如圖陰影部分(含邊界)令z0，得直線l0：y2x0，

20、平移直線l0知，當(dāng)直線l過A點(diǎn)時(shí)，z取得最小值.由得A(5,3).zmin32×57，選A.4.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，若點(diǎn)N(x，y)的坐標(biāo)滿足則·的最大值為()A.B.2C.D.2答案B解析如圖，點(diǎn)N在圖中陰影區(qū)域內(nèi)，當(dāng)O、M、N共線時(shí)，·最大，此時(shí)N(，)，·(1,1)·(，)2，故選B.5.(2013·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組 所表示的區(qū)域上 一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為()來源:z_zs_A.2B.1C.D.答案C解析畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得出答案.如圖所示，所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分

21、.由得A(3，1).當(dāng)M點(diǎn)與A重合時(shí)，OM的斜率最小，kOM.二、填空題6.已知z2xy，式中變量x，y滿足約束條件則z的最大值為_.答案5解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式表示的平面區(qū)域及直線2xy0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2，1)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距最大，此時(shí)z2xy取得最大值，最大值是z2×2(1)5.7.設(shè)z2xy，其中x，y滿足，若z的最大值為6，則k的值為_，z的最小值為_.答案22解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2xy6，結(jié)合圖形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直線yk必過直線2xy6與xy0的交點(diǎn)，即必過點(diǎn)(2,2)，

22、于是有k2；平移直線2xy6，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2,2)時(shí)，相應(yīng)來源:中國教育出版網(wǎng)直線在y軸上的截距達(dá)到最小，此時(shí)z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.8.鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為_(百萬元).答案15解析設(shè)購買鐵礦石A、B分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)來源:z+zs+用為z(百萬元)，則，目標(biāo)函數(shù)z3x6y，由得記P(1,2)，畫出可行域可知，當(dāng)

23、目標(biāo)函數(shù)z3x6y過點(diǎn)P(1,2)時(shí)，z取到最小值15.三、解答題9.若直線xmym0與以P(1，1)、Q(2,3)為端點(diǎn)的線段不相交，求m的取值范圍.解直線xmym0將坐標(biāo)平面劃分成兩塊區(qū)域，線段PQ與直線xmym0不相交，則點(diǎn)P、Q在同一區(qū)域內(nèi)，于是，或所以，m的取值范圍是m<.10.已知x，y滿足條件，求4x3y的最大值和最小值.解不等式組表示的區(qū)域如圖所示.可觀察出4x3y在A點(diǎn)取到最大值，在B點(diǎn)取到最小值.解方程組，得，則A(1，6).解方程組，得.則B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分別為14，18.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)來源:中&國教&育出&版網(wǎng)1.(2012·課標(biāo)全國)已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)(x，y)在ABC內(nèi)部，則zxy的取值范圍是()A.(1，2)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)答案A解析如圖，根據(jù)題意得C(1，2).作直線xy0，并向左上或右下平移，過點(diǎn)B(1,3)和C(1，2)時(shí)，zxy取范圍的邊界值，即(1)2<z<13，zxy的取值范圍是(1，2).2.(2013·廣東)給定區(qū)域D：.令點(diǎn)集T(x0，y0)D|x0，y0Z，