建模論文 最優(yōu)化捕魚措施

1、最佳捕魚策略摘要漁業(yè)作為一種再生資源產(chǎn)業(yè)，在可持續(xù)發(fā)展的時(shí)代主題下，保證其持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)是形勢(shì)所趨。本文利用微分方程和非線性規(guī)劃理論，探討在可持續(xù)收獲的條件下，如何通過調(diào)整捕撈強(qiáng)度系數(shù)，實(shí)現(xiàn)捕魚量的最大化。針對(duì)問題一，首先推導(dǎo)出魚群產(chǎn)卵、自然死亡、年齡隨時(shí)間變化等諸因素與各年齡組魚群數(shù)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，結(jié)合可持續(xù)捕撈，形成一組約束條件，以年捕獲量最大作為目標(biāo)函數(shù)，建立非線性規(guī)劃模型。用Lingo編程求解得到：當(dāng)捕撈強(qiáng)度系數(shù)取17.36時(shí)，年捕獲量最大，為3.88×1011克。然后利用Matlab畫出了在保證可持續(xù)捕獲的前提下，年度捕獲量隨捕撈強(qiáng)度系數(shù)變化的圖象，并經(jīng)過多次計(jì)算，驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)

2、確性和穩(wěn)定性。針對(duì)問題二，在問題一模型的基礎(chǔ)之上，修改約束條件。首先采用每年的捕撈努力量固定，但各年彼此之間的捕撈努力量不盡相同的方式，然后采用每年的捕撈努力量都保持不變的方式，并將兩個(gè)模型比較得出采用模型二收益更大。鑒于此問是多元非線性規(guī)劃問題，且數(shù)據(jù)較大，為了得到全局最優(yōu)解，我們采用Matlab進(jìn)行求解，最終得到結(jié)果為：13.8815.8818.3633.095.52得到最大的捕獲量為1.721012克，從而制定出最佳捕魚策略。此外，在模型的推廣中，改變模型一的假設(shè)，在認(rèn)為4齡魚一年后仍為4齡魚的基礎(chǔ)上，對(duì)問題一進(jìn)行了改進(jìn)，得出的結(jié)果雖相差甚微，但是思路更具邏輯性。關(guān)鍵詞：微分方程 多元非

3、線性規(guī)劃 馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型一、 問題重述為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)，林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。考慮對(duì)鳀魚的最優(yōu)捕撈策略，該種魚的基本信息如表1所示；表1. 鳀魚的基本信息1齡魚2齡魚3齡魚4齡魚平均重量5.0711.5517.8622.99自然死亡率 0.8產(chǎn)卵量000.5545×1051.109×105這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為1.221011/（1.221011 + n）.漁業(yè)管

4、理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.421。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕撈并且在此前提下得到最高的年收獲量2某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29（×109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣

5、的策略才能使總收獲量最高。二、 問題分析由題設(shè)條件得出各年齡組魚群的轉(zhuǎn)化規(guī)律如1所示：1齡魚 死亡4齡魚2齡魚3齡魚 產(chǎn)卵捕獲 收獲 9-12月 1-8月 圖1.各年齡組魚群的轉(zhuǎn)化規(guī)律由上圖可知，3、4齡魚在第年產(chǎn)的卵所孵化成活的在第年初全部為1齡魚；第年末的（= 1，2,）齡魚在第年初全部變?yōu)榈邶g魚；為了建模的簡(jiǎn)便和易于求解，不妨設(shè)4齡魚在第年初全部死亡。對(duì)于問題一，我們可以列出一組微分方程，求出各年齡組魚群上一年與今年之間的相互關(guān)系，作為一組約束條件，以年捕獲量最大作為目標(biāo)函數(shù)，建立非線性規(guī)劃模型。對(duì)于問題二，考慮五年的最優(yōu)捕魚策略，對(duì)初始的魚群數(shù)量進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)即使不捕撈也不可能恢復(fù)到原

6、來的魚群數(shù)量，只能盡量減小對(duì)魚群的生產(chǎn)能力的破壞。利用各個(gè)年齡組魚群數(shù)量之間的遞推關(guān)系，根據(jù)初始魚群數(shù)量，遞推出五年后魚群的數(shù)量，從而計(jì)算得到五年內(nèi)的總收獲量。魚群的生產(chǎn)能力不造成太大的破壞可以理解為五年后魚群數(shù)量不少于初始魚群的一定比例，根據(jù)種群增長(zhǎng)規(guī)律，選擇一個(gè)既能保證增長(zhǎng)速度，又能保證種群數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)的比例，即70。由此，該問題變?yōu)橐粋€(gè)多變量約束非線性優(yōu)化問題，由于模型較為復(fù)雜，采用智能算法進(jìn)行優(yōu)化較為快速。三、 模型假設(shè)1) 漁場(chǎng)是非開放式漁場(chǎng)，不與其他水域發(fā)生關(guān)系，從而構(gòu)成獨(dú)立的生態(tài)群落；2) 魚群產(chǎn)卵在九月初短時(shí)間內(nèi)完成，產(chǎn)卵魚的自然死亡發(fā)生在此之后；3) 13年齡組的魚群都在翌年年初

7、進(jìn)入下一個(gè)年齡組，而原先的4齡魚魚群由于捕撈或者自然死亡等原因全部消失；4) 捕撈上來的魚全為活魚，即死亡的與被捕撈的魚分開計(jì)算；5) 3，4齡魚的平均產(chǎn)卵量掩蓋了性別差異四、 符號(hào)說明符號(hào)意義齡魚在一年中某時(shí)刻的數(shù)量（）齡魚魚群在第年年初的條數(shù)魚群的自然死亡率魚群的自然死亡率（）4齡魚的捕撈強(qiáng)度系數(shù)（4齡魚第年的捕撈強(qiáng)度系數(shù)）n（）一年內(nèi)總產(chǎn)卵量（第年的總產(chǎn)卵量）（）齡魚的產(chǎn)卵量（齡魚第年的產(chǎn)卵量）（）齡魚的年收獲量（齡魚在第年的收獲量）齡魚每條魚的平均重量年度總捕獲量（重量）承包期5年的總捕撈量五、 模型的建立與求解5.1問題一5.1.1模型的建立模型一（1）首先找到各個(gè)年齡組魚群在一年內(nèi)

8、的數(shù)量變化規(guī)律。由于1、2齡魚不會(huì)被捕撈，因此它們?cè)谌陜?nèi)所以只受自然死亡率的影響，即滿足以下關(guān)系： 對(duì)于3齡魚和4齡魚，它們?cè)诋a(chǎn)卵開始前經(jīng)過了捕撈期間的自然死亡和被捕撈的雙重淘汰，在18月它們數(shù)量變化的關(guān)系為： 在912月，3齡魚和4齡魚數(shù)量變化的關(guān)系則為： 根據(jù)上述微分方程，在8個(gè)月的捕撈期過后，3齡魚的數(shù)量為，4齡魚的數(shù)量為。由此前的假設(shè)，可知第年年初1齡魚的數(shù)量應(yīng)該為第年3齡魚和4齡魚產(chǎn)下的卵中成活下來的數(shù)量之和，即 （1）其中，若記3齡魚魚群產(chǎn)下的卵數(shù)量為，4齡魚產(chǎn)下的卵數(shù)量為，那么 且 同時(shí)，第年年初齡魚的數(shù)量為第年年底齡魚的數(shù)量。其中2齡魚的數(shù)量為 （2）3齡魚的數(shù)量為 （3）

9、4齡魚的數(shù)量為 （4）（2）考慮可持續(xù)發(fā)展要達(dá)到可持續(xù)發(fā)展的目的，即為每一年各個(gè)年齡組魚的數(shù)量都相等，就必須有 （5）（3） 目標(biāo)函數(shù)即年收獲量的表達(dá)式3齡魚的捕撈條數(shù) （6）4齡魚的捕撈條數(shù) （7）因此年捕撈量（重量）為 （8）將（6）、（7）式帶入（8）式即可得到目標(biāo)函數(shù)。綜上，以（8）為目標(biāo)函數(shù)，以（1）、（2）、（3）、（4）、（5）為約束條件，建立一個(gè)非線性規(guī)劃模型為其中，5.1.2模型的求解用Lingo11.0軟件對(duì)以上模型求解（源碼見附錄1），輸出結(jié)果如下：Local optimal solution found. Objective value: 0.3887076E+12 E

10、xtended solver steps: 5 Total solver iterations: 209 Variable Value Reduced Cost K 17.36293 0.000000 N 0.6078058E+13 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3887076E+12 1.000000 2 0.000000 0.1258410E-02即可知當(dāng)取17.36時(shí)，年捕獲量最大，為3.88×1011克。為了更好的描述捕撈強(qiáng)度系數(shù)與年捕獲量之間的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系，我們?cè)贛atlab中編寫程序，得到在可持續(xù)捕撈的前提下，年

11、捕獲量隨捕撈強(qiáng)度系數(shù)變化的圖象圖2 可持續(xù)捕撈下的年捕撈量與捕撈強(qiáng)度系數(shù)的關(guān)系圖由圖可知，年捕撈量G關(guān)于捕撈強(qiáng)度系數(shù)的關(guān)系為單峰函數(shù)，當(dāng)捕撈強(qiáng)度系數(shù)k=17.36時(shí)，年最大捕撈量G=3.88×1012克。當(dāng)捕撈強(qiáng)度系數(shù)為0時(shí)，捕撈量為0，符合實(shí)際；而當(dāng)k趨于很大的時(shí)候，即過渡捕撈，魚群一定不能維持可持續(xù)發(fā)展?fàn)顟B(tài)，所以捕撈強(qiáng)度系數(shù)k有極限，利用Lingo求得k最大為31.39，即為圖中曲線與橫軸的右交點(diǎn)。另外由于曲線靠近中間的斜率較小，在k=17.36附近對(duì)應(yīng)的年捕撈量相對(duì)變化不大，實(shí)際最優(yōu)捕魚策略只需維持在k17.36的附近。 5.2問題二5.2.1模型的建立模型二在問題二中，需要考

12、慮五年的捕撈策略，對(duì)于每一年都采用固定努力量捕撈，但各年捕撈強(qiáng)度系數(shù)都可以不同，由不可對(duì)魚群造成太大破壞，定義五年后各魚群數(shù)量不少于初始魚群的70，即利用遞推公式(1) (2) (3) (4)，根據(jù)初始魚群數(shù)量，得到之后每年的魚群數(shù)量。由年捕撈量G 式（8），將5年的年捕撈量累加得到總捕撈量，即為目標(biāo)函數(shù)其中，這是一個(gè)復(fù)雜的多變量非線性優(yōu)化問題，應(yīng)用pattern search模式搜索算法可以快速進(jìn)行模型的求解。因?yàn)樵撍惴ㄓ糜谟?jì)算最小值，所以目標(biāo)函數(shù)的負(fù)值作為算法的評(píng)價(jià)函數(shù)，求得最優(yōu)解，下圖為算法迭代過程，算法迭代40次后快速收斂到最優(yōu)值。圖3 算法迭代過程求得最后結(jié)果為 =1.72×

13、;1012克，具體如下表：表2 模型二的計(jì)算結(jié)果13.8815.8818.3633.095.52為了獲得最大的總收獲量，五年中各年的捕撈強(qiáng)度系數(shù)分別為13.88 ,15.88,18.36,33.09,5.52，在開始的三年要維持一定的捕撈強(qiáng)度，為之后的捕撈提供更多的儲(chǔ)備，在第4年應(yīng)有比較大的捕撈強(qiáng)度，以達(dá)到最大的收獲量，第五年則應(yīng)減少捕撈。模型三：然后我們采用5年的捕撈努力量不變的捕撈方式。只需令模型二中的（=1,2,3,4,5,），編制程序計(jì)算得結(jié)果為表3 模型三的結(jié)果5.601.49×1012最后結(jié)果為=1.491012克比較模型二與模型三，分別繪制4齡魚數(shù)量變化圖：模型二 ：捕

14、撈強(qiáng)度K不同，五年后各魚群數(shù)目不少于初始數(shù)目的70，圖為4齡魚數(shù)量的變化趨勢(shì)，第9年恢復(fù)平衡模型三：捕撈強(qiáng)度K五年都相同，五年后各魚群數(shù)目不少于初始數(shù)目的70，圖為4齡魚數(shù)量的變化趨勢(shì)，第7年恢復(fù)平衡圖4.4齡魚數(shù)量變化 由圖可知，從魚群恢復(fù)的角度來看，五年的捕撈強(qiáng)度系數(shù)相同時(shí)魚群更快恢復(fù)。顯然，此種情況下得到的捕撈總量與每年捕撈努力量不同的情況向比較要少的多，此方法不可取。那么可知，該公司要想獲得最大的總收獲量，應(yīng)該采取5年內(nèi)的固定努力捕撈量互不相同的策略，其具體情況如表2所示。六模型的評(píng)價(jià)本文采用了非線性規(guī)劃的思想建立模型，通過求解有約束的非線性最大值問題，求的最優(yōu)解。文在建模過程中對(duì)魚的

15、產(chǎn)卵孵化過程進(jìn)行了適當(dāng)合理的簡(jiǎn)化，建模簡(jiǎn)單、清晰，具有一定的普遍意義。（1）模型的優(yōu)點(diǎn)問題一，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)不老的前提下，采用固定努力量捕撈，確定捕撈策略以得到最大捕撈總量。用微積分的方式分析各年各年齡魚的數(shù)量關(guān)系，并建立了非線性規(guī)劃的模型，運(yùn)用Lingo和Matlab兩種軟件分別求解，得到的結(jié)果誤差很小，確保了結(jié)果的正確性問題二，在文章主體部分，采用了每年的捕撈努力量固定，但是各年之間不一定相同的方法建模，運(yùn)用軟件進(jìn)行多元搜索，得到最優(yōu)解，并在進(jìn)一步討論中計(jì)算了各年之間捕撈努力量相同的總捕撈量，與原結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。而且在各種模型下，承包期結(jié)束后，我們對(duì)魚的恢復(fù)情況進(jìn)行了模擬，證明了模型的可行性。

16、（2）模型的缺點(diǎn)與發(fā)展方向本模型對(duì)于產(chǎn)卵、孵化的簡(jiǎn)化使得計(jì)算結(jié)果稍微偏離實(shí)際。未考慮自然資源的影響，使得結(jié)果與實(shí)際有所偏離。七模型的推廣與改進(jìn)7.1改進(jìn)一在以上模型，我們假設(shè)的是這種魚只活到4齡，以后它就死掉了。但是有實(shí)際情況仍可以假設(shè)上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚，這對(duì)模型沒有太大的差別，只是我們所做的假設(shè)的分析計(jì)算稍有變化。相比模型一，只有4齡魚的數(shù)量發(fā)生了變化。目標(biāo)函數(shù)：約束條件：用lingo軟件進(jìn)行求解，算法見附錄2：lingo2算法直接運(yùn)行得:Local optimal solution found at iteration: 92 Objective value: 0.38870

17、76E+12 Variable Value Reduced Cost K 17.36292 -1.034723 N 0.6078067E+13 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3887076E+12 1.000000 2 0.000000 0.1258406E-02可知而模型一中算得出的結(jié)果為即，這兩個(gè)結(jié)果相差甚小。相比這兩個(gè)模型，推廣后的模型在邏輯方面更加符合實(shí)際，但是兩模型的計(jì)算結(jié)果相同，所以使用模型一計(jì)算更為簡(jiǎn)便。7.2改進(jìn)二在模型二中，我們單純的以捕撈總量代表收獲量，并未考慮到經(jīng)濟(jì)因素，以及捕魚的成本。為了是模型更具可靠性，可以

18、根據(jù)實(shí)際情況引入此種魚的價(jià)格、市場(chǎng)需求量等因素，合理改變各年的捕撈強(qiáng)度，以得到最大的經(jīng)濟(jì)效益。參考文獻(xiàn)1韓春生, 楊黎明, 茍林. 最優(yōu)捕魚策略J. 杭州電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1997, 4: 003. 2楊麗霞, 楊桂山, 苑韶峰. 數(shù)學(xué)模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用以江蘇省為例J. 長(zhǎng)江流域資源與環(huán)境, 2006, 15(3): 287-291.3王文波. 數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識(shí)詳解M. 2006.附錄：附錄1：模型一的求解max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)+22.99*k/(0.8+k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-0.28*k-2.4) *(1-exp(-2/3*(0.8+k);n=1.22*1011*(1.109*105*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)-1);附錄2：模型改進(jìn)的求解l