1講：高頻考點(diǎn)分析之平面向量探

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座】第21講：高頻考點(diǎn)分析之平面向量探討12講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講対數(shù) 學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從笫13講開(kāi)始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。平而向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、兒何與三角函數(shù)的一種工具，有 著極其豐富的實(shí)際背景，它包括向量的概念和運(yùn)算。向量的處標(biāo)表示，定比分點(diǎn)及數(shù)量積。以前教材中， 衣解析兒何、復(fù)數(shù)中涉及到平而向量的問(wèn)題，只是對(duì)一個(gè)概念的介紹；而衣現(xiàn)在教材中，是高一的必學(xué)內(nèi) 容，教學(xué)大綱要求理解平血向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法衣述和解決數(shù)學(xué)利物理中的一些問(wèn) 題，發(fā)展運(yùn)算

2、能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。-般來(lái)說(shuō)，平而向量在髙考中所占份量不大，一道選擇題或填空題，結(jié)合2012年全國(guó)各地髙考的實(shí) 例，我們從以下三方血探討平血向量問(wèn)題的求解：1. 平面向量的概念、性質(zhì)和計(jì)算：2. 平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算；3. 平而向量與其它知識(shí)的綜合。一、平面向量的概念.性質(zhì)和計(jì)算：典型例題：例1（2012年全國(guó)大綱卷理5分）aabc中，ab邊上的高為cd,若cb = ay ca = b, a-b = 0, a =, b=2,則 ad=a. ab33【答案】dob. -a一一b33c.江江 d.爲(wèi)一芻5555【考點(diǎn)】向量垂點(diǎn)的判定，勾股定理，向量的加減法兒何意義的運(yùn)川?！窘馕觥?- =

3、 0, azacb=90°,=vl2 + 22 =a/5 q由等而積法得ab cd二a2x-v5 ad=又點(diǎn) d 在 ab 上， 9.ad=-ab = -（cb-ca = a-bo do5 5vj 55例2. （2012年四川省理5分）設(shè)0、為都是非零向塑，下列四個(gè)條件屮，使上-=2成立的充分條件是ab【 】a、 a = -ballbc、 a = 2bd、 a/bla =b【答案】co【考點(diǎn)】充分條件。【解析】若使上-=2成立，即耍方、方共線(xiàn)且方向相同，即要a = ab（a>0）o所以使亠=2成立ab'7ab的充分條件是a = 2b。故選c。例3. （2012年天津市理

4、5分）已知aabc為等邊三角形，ab=2 ,設(shè)點(diǎn)巴q滿(mǎn)足ap=/14b , 3ag=(l-a)ac,九 wr , bqcp=-r 則;i 二【2（a）f(b)1±v22(c)i±vio2-(d)【答案】ao【考點(diǎn)】向量加減法的幾何意義，平回向量基本定理，共線(xiàn)向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用?！痉治觥縱 bq=aq-ab = (l-a)ac-ab , cp=ap-ac = aab-acf：bq cp=-f hab=ac=2, <ab,ac>=60°, ab - ac=ab-accos60°=2 ,-3即(1 一 2)ac ab(aab 一 ac)=

5、 一一 , 3即 /ii/ibi2 +(a2-2-)ab ac+( 1 2)iaci2 =-,2a 4z+2(z2 - 2 -1)+4( 1 - z)=-,解得 a=-o 故選 a。2 2例4.（2012年天津市文5分）在abc中，za =90°, ab=1,設(shè)點(diǎn)p, q滿(mǎn)足麗二2麗，aq = （1-a）ac,/lg/?o 若bp cq = -2,則2=【(d) 21 24(a) 一(b) 一(c) 一3 3【答案】bo【考點(diǎn)】向量加減法的兒何意義，平而向量慕木定理，共線(xiàn)向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用?！痉治觥咳鐖D，設(shè) ab by ac c ,貝0=1, c =2, b c = o o

6、又瓦=臥 + 屁=4 + (1 刃；，cp = ca + p = -c + abotbpcq = -2 得b + (1 /i)c (c 4- ab) = (a dp| 2 b = 4(2 -1) _ 2 =-2 ,2 即 32 = 2, 2 =。故選 bo3例5(2012年浙江省理5分)設(shè)a, 是兩個(gè)非零向量【】a.若ab=a-b,則 a 丄b.若a 丄方，則a+b=a-bc. 若|a+bl=lal “i,則存在實(shí)數(shù)；i,使得b = aad. 若存在實(shí)數(shù);i,使得b = aa，貝a+b=a-b【答案】co【考點(diǎn)】平而向量的綜合題。【解析】利用排除法可得選項(xiàng)c是止確的：*：a+b=a-b,則a,

7、方共線(xiàn)，即存在實(shí)數(shù)久，使得a=xb,選項(xiàng)a： vi+b=ab時(shí),a, 可為異向的共線(xiàn)向量,不正確;選項(xiàng)b：若“丄，由正方形得ci+b = vi b,不正確；選項(xiàng)d：若存在實(shí)數(shù)久，使得a=abf ci,方可為同向的共線(xiàn)向量，此時(shí)顯然a+b = a b,不正 確。故選co例6(2012年遼寧省理5分)已知兩個(gè)非零向fir/, h滿(mǎn)足a+b=a-b,則下面結(jié)論正確的是【】(a)a/b(b)aa_b(c) a=b(d)a+b=a - b【答案】bo【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算，向量的位置關(guān)系。【解析】由a+h=ci bf平方可得a b=0t所以a丄/?。故選b?；蚋鶕?jù)向量加法、減法的兒何意義可知ld+bl與

8、|0-勿分別為以向暈g, b為鄰邊的平行四邊形的兩 條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，因?yàn)閘d+bl=ld-bl,所以該平行四邊形為矩形，所以d丄九故選b。例7（2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）已知向量2夾角為45° ,且p| = l,|2a-&| = vio ；則”卜 【答案】3血?！究键c(diǎn)】向量運(yùn)算?！窘馕鰒2a-s=>/io, a （2a-&）2=10ot 向量夾角為 45°，且 a = 1 ,4 +b -4 b cos45° = 10,解得，b =3a/2 o例8（2012年北京市理5分）已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)。則反西的值為 ; 匪

9、反的最人值為【答案】1； lo【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算法則?！窘馕觥咳鐖D，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，得de cb=de da = de da cos 0。 2 v de cos<9= da ,正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 i, a de cb=da =1 乂 de - dc= | de| i dc| cos 6z=i de| cos a ,而陰cosa就是56在dc±的射影，要使其最大即要點(diǎn)e與點(diǎn)b重合,此時(shí)a=45° o徒反的最大值為decos (7 =dcbc = 10,例9. （2012年浙江省理4分）在abc中，m是bc的中點(diǎn)，am =3,a-【答案】-16。【考點(diǎn)

10、】平血向量數(shù)量積的運(yùn)算?！窘馕觥看祟}最適合的方法是特殊元素法：如圖，假設(shè)是以ab=ac的等腰三角形,am=3. bc=10,山勾股定理得ab=ac= 屈。貝icoszbac= 34 + 34-100 = _匹,2x3434忑疋=|ab|-|ac|coszbac = -16 o例10（2012年江蘇省5分）如圖，在矩形abcd中，ab”，bc = 2 點(diǎn)e為bc的屮點(diǎn)，點(diǎn)f在邊cd上，若喬af=v2 ,則正麗的侑是_ .【答案】v2 o【考點(diǎn)】向量的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，和的余弦公式，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥坑啥?af=y/2,得|ab|af| coszfab = v2,由矩形的性

11、質(zhì)，得| a?| coszfab=df .: ab =近,:.近 df = j1, :. z）f = 1 o cf =近 °記疋和麗之間的夾角為&, zaeb = a,zfbc = j3,貝= a + 又2,點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，be = 1。 ae bf=|a£| |bf| cos<9=|a£cos(a + /?) = |ae| |bf| (cos a cos 0-sin a sin 0)= |ae|cosa 陰 cos0-岡sin&陰sin/3=be bc-ab cf = 1x2-a/2(v2-1) = >/2 o本題也可建立以ab,

12、ad為處標(biāo)軸的直角朋標(biāo)系，求出各點(diǎn)處標(biāo)后求解。例11. （2012年湖南省文5分）如圖，在平行四邊形佔(zhàn)cq中，仲丄bd,垂勵(lì) p,且4 p = 3，則麗疋二b【答案】18【考點(diǎn)】平面向量加法的兒何運(yùn)算、平ifii向量的數(shù)量積運(yùn)算?！窘馕觥吭O(shè)accbd = of則ac = 2(ab + b0) ap ac = ap 2(ab + bo) = 2ap ab + zap bo= 2apab = 2ap(appb) = 2ap2=so二、平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算：典型例題：3tt例1. (2012年安徽省理5分)在平而直角坐標(biāo)系中，0(0,0),p(6,8)，將向量op按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)丿g4得向量宛，則點(diǎn)

13、q的坐標(biāo)是【】(a) (-7>/2,-v2)(b) (-72,72)(c) (-4v6,-2)(d) (-46,2)【答案】ao【考點(diǎn)】向量的計(jì)算。【解析】0(0,0),p(6,8)-34/.設(shè) op = (10 cos 0,10 sin 0),得 cos & = , sin 0 = 。3 兀*又t向量op按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量oq ,4 oq = (10cos(& + ),losing + ) = (一7血,一血)。故選 a。4 4例2. (2012年廣東省理5分)若向量麗=(2,3), ca= (4,7),則bc =】c- (60)d. (-6,-10)a. (-2r

14、4) b. (2,4)【答案】ao【考點(diǎn)】平而向量的坐標(biāo)運(yùn)算。故選ao【解析】bc = ba+ac=ca= (2- 4,3- 7)= (- 2廠(chǎng) 4)例2(2012年廣東省文5分)若向量喬= (1,2),荒= (3,4),則ac =】a. (4,6)b. (4, 6)c. (2, 2) d. (2,2)【答案】ao【考點(diǎn)】平回向量的處標(biāo)運(yùn)算?！窘馕觥縜c=ab+bc= (1+ 3,24- 4)= (4,6)。故選 a。例3.(2012年福建省文5分)已知向量a = (rl,2() h= 2,1 ,則d丄b的充要條件是【a. x= 2 b. x= c. x=5 d. x=0【答案】do【考點(diǎn)】向

15、量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)?！窘馕觥坑上蛄看怪钡某湟獥l件得2(-1 +2 = 0所以x=() o故選d。例4(2012年遼寧省文5分)已知向量藥=(1,-1),厶=(2,兀)若產(chǎn)厶=1則兀=【】11(a)1(b)-(c) -(d)l22【答案】do【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積。【解析】t d 乙=2-x = 1,：x = 1。故選d。例 5(2012 年重慶市理 5 分)設(shè) x, y wr, i謹(jǐn) a = (x,l),z? = (1, y),c = (2,-4)冃 a 丄 c,b / c ,則 +=【 j(a) a/5(b) a/10(c) 2a/5(d) 10【答案】bo【考點(diǎn)】平面向量的基木運(yùn)算及向量共

16、線(xiàn)、垂宜的性質(zhì)?！痉治觥縱 a = (x, 1), c = (2,-4)且d 丄 c, /. tz c = 2x 4 = 0,x = 2 o又： b = (1, y), c - (2,-4) , lx(-4) = 2y,y = 2。方+乙=(3, 1)。*. a+b =32+(-1)2 =v10 o例6(2012年重慶市文5分)設(shè)xer ,向量a = (x,l) j = (1,-2), jt lb，貝a + b=【】(a) a/5(b) a/10(c) 2a/5(d) 10【答案】vioo【考點(diǎn)】平面向杲數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。【分析】通過(guò)向量的垂直，求出向量方,求出a + b ,然后求出

17、模：*.* x g /?,向量a = (1,一2),且a 丄 b , /. x 一 2=0,即 x=2 o / a = (2,1)。a + h= (3 jl o a+ b= 32+(1)2= .10 o 故選 b。例7. (2012年陜西省文5分)設(shè)向量2 = (l,cos0)與5 = ( 1, 2cos0)垂苴 則cos 2&等丁【答案】co【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平血向量的垂直關(guān)系，二倍角的余弦?！窘馕觥縯 a丄b ,a- b = 0 o又a = (1, cos0 )與& = ( 1, 2cos0l + 2cos? & = 0,即 cos20 = 2cos2 -1 =

18、 0 o故選c。例8(2012年上海市理4分)若7 = (-2,1)是直線(xiàn)/的一個(gè)法向量，則/的傾斜角的大小為 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【答案】 arctan 2?！究键c(diǎn)】直線(xiàn)的方向向量，直線(xiàn)的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角。【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為q,則tan(7 = 2,(7 = arctan2 o例9(2012年上海市文4分)若7 = (2,1)是直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量，則/的傾斜角的大小為 (結(jié)果用反三角函數(shù)值農(nóng)示)【答案】 arctan ?！究键c(diǎn)】直線(xiàn)的方向向量，青線(xiàn)的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的衣示角。解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為q ,則tan « =丄,a =

19、arctan丄。2 2例 10. (2012年安徽省文 5分)設(shè)向量a = (l,2m),fe = m +1,1),c = (2,/7?),若(a + c)丄為，則 d=_【答案】、伍?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算。【解析】t a = (1,2m),ft = (m + l,l),c = (2,m),a + c = (3,3m), (d + c) b = 3(m + 1) + 3m。/. a (1,-1)。* a = 5/2 o例11(2012年山東省理4分)如圖，在平面直角朋標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0, 1),此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在(0, 0), itfk x軸上沿止向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到

20、圓心位于(2, i)時(shí)，菇的坐標(biāo)【答案】(2-sin2, 1 -cos2)。【考點(diǎn)】圓的弧長(zhǎng)，銳角三角函數(shù)，向量的處標(biāo)。2【解析】根據(jù)題意口 j知圓滾動(dòng)了 2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)了土 = 2弧度，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為:1xp =2-cos(2-) = 2-sin2 , yp = 1 + sin(2-) = 1-cos2。2/. op = (2-sin2, l-cos2)o例12. (2012年湖北省文5分)已知向量<z = (l,0),6 = (l,l),則(i )與2a +b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為(11)向量b_3a與向量a夾角的余弦值為 ?！敬鸢浮?i)勺廊vhp10 'if

21、 /(ii)25"t-設(shè)與2a+b同向的單位向量為c =(3応 vio10 'ib-,即與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)為vio vhp10 ,_io3vio10violo【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積，向量同向的條件，單位向量，向量間的夾角?！窘馕觥?i)山 a = (1,0)小= (1,1),得 2a+6 =(3,1) ox =，且無(wú)y>0,解得y =(ii)由a = (l,o)上= (1,1),得方一 = (2,1)。設(shè)向量3a與向量a的夾角為0,則cos& = °一） "-（一"）（1，°）_ 2 5三.平面向量與其它知識(shí)的綜

22、合:b-3aa5x15丁典型例題:例i.如2年廣東省理5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量?jī)?cè)，5疇.若平面向量渤一 冗滿(mǎn)足a>b >0, a與b的夾角丘（0,）,4ha oh和bod都在集合1a. 一2【答案】cob.l5 d.2【考點(diǎn)】新定義，平而向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域，集合的概念。云幣 l6zl-ll-c0s（cz, p|三|（_ 一、 【解析】由定義處0 =二4= =cos仏 0）00 i0ii0ico （角 /?） 1017i a icos扁。4回cos"z從廠(chǎng)回.cosdz cos2g=處。b2lol24jt1a7 777(0,-) , .-<cos27=

23、-<1，即 2一葉4。彳 w z 卜*. nn2 = 3 oi i i cl ivi ix */ a > b >0 f : aob = cos 0 = 3 ba =b2回 = z j %i a i2例2aob =-cos0 = - = 。故選 c。b22（2012年廣東省文5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量定義a°p =a卩77*jr jrn足d與方的夾角&w （才2），且0。0和08都在集合|中貝|jqo乙3b. c. 11d.22【答案】do【考點(diǎn)】新定義，平而向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域，集合的概念。cos【解析】由定義方。"負(fù)3密件=里冷（方,

24、b）00 i0ii0ico （風(fēng) 0）101）屁罟.cos0豊航43®"誇心s晉沁（靂），°vc。訃晉專(zhuān)，即052<2。* < e z > t nan2 = 1 ；q =勺=1。:.ab =-cos0 = = 0 故選 d。b22例3（2012年湖南省理5分）在厶abc中，ab=2. ac=3，而嵐=1則bc=【a. v3 b. v7 c. 2y/2 d. >/23【答案】ao【考點(diǎn)】平面向屋的數(shù)量積運(yùn)算，余眩定理。【解析】如圖知而荒二 |sc cos（-b） = 2x|bc|x（-cosb） = 1 o：cos b =-。-2bca n2

25、 . r廠(chǎng)2 4 z2i°2 . r2 _ n2又山余弦定理得cosb =，即= ,解得bc = v3 o2abbc-2bc 22bc故選aoit例4. （2012年上海市理4分）在平行四邊形abcd, za = -,邊ab、ad的長(zhǎng)分別為2、1,若m、3i bm i i cn i w分別是邊bc、cd上的點(diǎn)，h滿(mǎn)足則am an的取值范圍是 bc cd【答案】2, 5o【考點(diǎn)】平面向量的基木運(yùn)算?！窘馕觥咳鐖D所示，以a為原點(diǎn)，向量所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)a垂直tab的立線(xiàn)為），軸建立平而玄角坐標(biāo)系。 4(0,0), 3(2,0),貝ij|bc| = i,|«v|,=| x|cd|

26、 = 2«由空型bc cdm的縱處標(biāo)為(51一 x(4 2兀sin=35a/3x4an =f ®x.,am =r21153xy-的1x< 2丿<84847m的橫坐標(biāo)為2 + &討噸辛存+6 o(211 )的(5的的)19151(9丫xx +x =+x + = x (84 丿 2(84 )44164(2丿函數(shù)t9+6在x二-有最大值,2在丄5x5丄時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加。2 2:.an-am在x=-時(shí)有最小值2；在x=-時(shí)有最大值502 2:.an-am的取值范圍是2, 5o例5（2012年上海市文4分）在矩形abcd電 邊a3、ad的長(zhǎng)分別為2、1,若m、n分

27、別是邊bc、bmcd上的點(diǎn)，口滿(mǎn)足圖，則而麗的取值范圍是cd【考點(diǎn)】平面向暈的基木運(yùn)算?！窘馕觥咳鐖D所示，以a為原點(diǎn)，向量ab所在直線(xiàn)為兀軸，had所在 直線(xiàn)為y軸建立平血直角處標(biāo)系。在矩形 abcd 中，ab = 2,ad = f 4(0,0), 3(2,0) c(2,l) d(0,l) o設(shè) n(x,l)(0k2),貝 ij 區(qū) | = 1,| 列=2 兀 |c5| = 2obm cnbc i cd im的坐標(biāo)為2, i* xo an=(x, 1), am =l2x an am =2x-x = l0v0<x<2, l<-x + l<4o2:.an am的取值范圍是1

28、, 4o例6(2012年安徽省理5分)若平面向量喬滿(mǎn)足:|2-|<3；則方孑的最小值是9【答案】匕。【考點(diǎn)】平面向量，基木不等式的應(yīng)用?！窘馕觥?.9 2a-b <3 , a 4a +b <9 +4a bo乂 t 4a +b >4 a b > -4a b、/ 9 + 4q b n 4ci h o : a b 。8-9a b的最小值是o(a>0),廉?dāng)?shù) f(x) = m-n8例7.(2012年山東省理12分)已知向量m=(sinx, 1) n=的最人值為6o(i )求 a；it(ii)將函數(shù)y=f (x)的圖象像左平移蘭個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原

29、來(lái)的丄倍，縱坐 122標(biāo)不變，得到函數(shù)尸g (x)的圖象。求g (x)在0,上的值域。24f/aj j【答案】解 (i ) f(x) = m-n = v3acosxsinx+cos2x =asin2x +cos2x = asin 2 2 2丁函數(shù)f (x) = m-n的最大值為6。而sin(ii)函數(shù)y=f (x)的圖象像左平移+個(gè)單位得到函數(shù)y = 6sin2(x +誇)+彳的圖象, 再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的丄倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x) = 6sin(4x + -)o23、兀jrrr 7 tt7ti當(dāng) xw0,三y吋,4x + esin(4x + ),1 g(x)u3,6。

30、2433 6325兀函數(shù)g (x)在0,上的值域?yàn)?,6。24【考點(diǎn)】向量的運(yùn)算，三角函數(shù)的值域，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)?！窘馕觥?i)求出函數(shù)f(x) = mn關(guān)于x的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后根據(jù)三角函數(shù)的值域確定a。5 71(ii)lli平移的性質(zhì)，求出g(x), lbxe0,得出4x+-的范圍，從而求得函數(shù)g(x)在0, 2432424上的值域。例 8.(2012 年湖北省理 12 分)已知向 m a= (cos cox - sin cox,sin 69%),&= f-cos cox - sin cox,2>3cos cox,設(shè)函數(shù)f(x)=a的圖像關(guān)于直線(xiàn)xw對(duì)稱(chēng)，其屮°/t

31、為常數(shù)，hew丄,1、j 2)(i)求函數(shù)于(兀)的最小正周期;(2)若y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)-,0 |,求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,辺上的取值范圍?！敬鸢浮拷猓篺 (x)=a 4-/1= (sin cox - cos (sin a)x+ cos+23 sin cox cos cox+z= sin2 69x-cos2 69x+2v3 sin cox cos cox+a=/3 sin 2cox - cos2 cox+a=2 sin 2cox +2。(i )丁 函數(shù)/(兀)=ae r)的圖像關(guān)于 tt線(xiàn) x=7t 対稱(chēng)，.i 2(ox7r- =k7r+,k e z。6 2又 co g5 co o6:

32、 /(x)=2sin-x-的最小正周期為36)171 6龍t=t3(冗 (ii)若)'=/(%)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)一,0 ,則有2sin1.4丿57171x(3 46；+2=0,2= a/2 o/(x)=2sin<5 tvx(36571xg3671 5716'6/. 2sin(571x(36.函數(shù)于(兀)在區(qū)間0, 上的取值范圍為一 1-v2, 2-v2l5l【考點(diǎn)】數(shù)量積的處標(biāo)表達(dá)式，三角函數(shù)的恒等變化，止弦函數(shù)的定義域和值域。【解析】(i)先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)/(兀)的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù).f(x)化為2sin 2cox- +幾，最后

33、利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和血的范圍，計(jì)算血的值，從而得函數(shù) i 6丿的最小正周期。(ii)先將已知點(diǎn)的處標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得2的值，再求內(nèi)層函數(shù)的值域，最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體，利用止弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即口j求得函數(shù).f(x)的值域。例9. (2012年江蘇省14分)在aabc中，已知石 ac = 3ba bc .(1) 求證：tanb = 3tan a :(2) 若cosc= ,求a的值.5【答案】解(1) v ab ac = 3ba bc , :. ab ac cos a=3ba bc cosb ,即 ac cosa=3bc cos borh正弦定理，得"=“,.sinb cosa=3s

34、in a cosb。 sin b sin a d# a乂 t 0 v a + b v 兀，.* cos a > 0, cos b > 0 o /. =3 即 tan b = 3 tan a。 cosbcos a*.* cosc = f0<c <7r f sinc = (l一o tan c = 2 o 5tan a + tan b=21 - tan a tanb2 , jwy'l- tan a=l, tan a= o3tan龍一(a + b) = 2 ,即 tan(a + b)= -2。 .*丄 / < x zrr 4 tan a 由得廠(chǎng)亦t cos a &

35、gt; 0, : tan a=1。【考點(diǎn)】平面向。量的數(shù)量積，三允函數(shù)的皋木關(guān)系式，兩和和的正切公式，解三和形?！窘馕觥?1)先將喬 ac = 3ba 荒表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。(2) djcosc= ,可求tanc,山三角形三角關(guān)系，得到hm兀-(a + b),從而根據(jù)兩角和的 正切公式和(1)的結(jié)論即可求得a的值。例10. (2012年上海市理18分)對(duì)于數(shù)集x = -1,x|,七，其中0 <兀<兀2<<?！?，蟲(chóng)2,定 義向量集y = ：g=($,/),$gx,/gx.若對(duì)于任意石wy,存在石wy,使得匚石= (),則稱(chēng)x具有性質(zhì) p.例如x = -1,1,2具有性質(zhì)p.(1) 若x>2,且-1,1, 2, x,求兀的值;(4 分)(2) 若x具有性質(zhì)p,求證：lwx,且當(dāng)心>1時(shí)，兀1=1;(6分)(3) 若x具有性質(zhì)p,且兀i=l, x2=q (q為常數(shù))，求有窮數(shù)列x2, , 的通項(xiàng)公式.(8分)【答案】解：(1)選取石=(兀,