函數(shù)概念-高一(新完結(jié))

1、大理知新教育1.2 函數(shù)概念1.2.1函數(shù)概念定義：設(shè)是兩個非空數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個元素，在集合中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù)，記為其中輸入值組成的集合叫做函數(shù)的定義域，所有輸出值的取值集合叫做函數(shù)的值域。例1：判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)：（1）（2）；（3） ，；（4） ，例2：求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）； （3）點評: 求函數(shù)的定義域時通常有以下幾種情況：如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集；如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；如果為二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合；如果是由幾部分的數(shù)

2、學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合。例3：比較下列兩個函數(shù)的定義域與值域：（1）f(x)=(x+2)2+1，x1,0,1,2,3；（2）1.2.2函數(shù)的表示1.解析式法:已知函數(shù)類型，求函數(shù)解析式，常用待定系數(shù)法。例1若，則的解析式為 2已知，則 3. 已知，求函數(shù)的解析式.4. 已知a,b為常數(shù)，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，則5ab=_.2.圖像法：將函數(shù)自變量的一個值作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個點，當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值時，所有這些點組成的圖形就是函數(shù)的圖象. 函數(shù)的圖象與其定義域、

3、值域的對應(yīng)關(guān)系：函數(shù)的圖象在軸上的射影構(gòu)成的集合對應(yīng)著函數(shù)的定義域，在軸上的射影構(gòu)成的集合對應(yīng)著函數(shù)的值域例1已知函數(shù)f(x)= (1)畫出函數(shù)圖象；(2)求fff(2)(3)求當(dāng)f(x)= 7時，x的值；3.列表法：用列表來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法，其優(yōu)點是函數(shù)的輸入值與輸出值一目了然；用等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫解析法（這個等式通常叫函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式），其優(yōu)點是函數(shù)關(guān)系清楚，容易從自變量求出其對應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式研究函數(shù)的性質(zhì)；用圖象來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫圖象法，其優(yōu)點是能直觀地反映函數(shù)值隨自變量變化的趨勢例1：某市出租汽車收費

4、標(biāo)準(zhǔn)如下：在以內(nèi)（含）路程按起步價元收費，超過以外的路程按元/收費，試寫出收費額關(guān)于路程的函數(shù)的解析式；并畫出圖象1.2.3函數(shù)的單調(diào)性（1）1單調(diào)增函數(shù)的定義： 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間. 如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)增區(qū)間 注意： a.“任意”、“都有”等關(guān)鍵詞； b.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間是有區(qū)別的.2單調(diào)減函數(shù)的定義： 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，稱為的單調(diào)減區(qū)間3 函數(shù)圖像與單調(diào)性：函數(shù)在單調(diào)增區(qū)間上的圖像是上升圖像；而函數(shù)在其單調(diào)減區(qū)間上的圖像是下降的圖像。

5、4函數(shù)單調(diào)性證明的步驟：（1)根據(jù)題意在區(qū)間上設(shè) ；（2比較大小 ；(3)下結(jié)論函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)增（或減）函數(shù).【例題分析】一根據(jù)函數(shù)圖像寫單調(diào)區(qū)間：例1：畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間 （1）； （2）； （3）二證明函數(shù)的單調(diào)性：例2：求證：函數(shù)f(x)= x3+1在區(qū)間(,+ )上是單調(diào)減函數(shù)追蹤訓(xùn)練一1. 函數(shù) ( ) 在內(nèi)單調(diào)遞增 在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)單調(diào)遞增 在內(nèi)單調(diào)遞減2. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .3. 求證：在區(qū)間上是減函數(shù)注：如果一個函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間，兩個區(qū)間一般不取并集： 14例3: 函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)嗎？點評: 1單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

6、間，必須注意函數(shù)的定義域； 2單調(diào)區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間的統(tǒng)稱，所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，如果函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間，又有單調(diào)減區(qū)間，必須分別寫出來。思維點拔：一、利用圖像寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？我們只要畫出函數(shù)的草圖，在草圖上要能夠反映函數(shù)圖像的上升和下降，根據(jù)圖像上升的區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，圖像下降的區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間追蹤訓(xùn)練1函數(shù)y3x2x21的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）2. 若函數(shù)是上的增函數(shù)，對于實數(shù)，若，則有( )3. 函數(shù)f(x1)x22x1的定義域是 ，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_ _4. 函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間為 5討論函數(shù)在上的單調(diào)性. 1.2.4函數(shù)的單調(diào)性（2）【例題分析

7、】一較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性證明：例1：判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論二證明函數(shù)的單調(diào)性：例2：求證：函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)例3：(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為 ；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范為 ；（3）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則實數(shù)的值為 追蹤訓(xùn)練1. 函數(shù)是定義域上單調(diào)遞減函數(shù)，且過點和，則的自變量的取值范圍是（） 2. 已知函數(shù)f(x)是區(qū)間(0，)上的減函數(shù)，那么f(a2a1)與的大小關(guān)系是.3.函數(shù)y=|x+1|的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間 .3. 【延伸】已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍： 例4: 已知函數(shù)的定義域為，且對任意的正數(shù)，都有，求

8、滿足的的取值范圍點評: 注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域上的區(qū)間，也就是說函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。若本例題中的定義域改為的的范圍又怎樣了呢？大理知新教育追蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)和在上都是減函數(shù)，則 在上（ ）是增函數(shù)是減函數(shù) 既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)的單調(diào)性不能確定2. 若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 3. 若在上是增函數(shù)，且，則 4. 函數(shù)在上遞減，在上遞增，則實數(shù)的取值范圍 1.2.5函數(shù)的最值1函數(shù)最值的定義： 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為若存在定值，使得對于任意，有恒成立，則稱為的最大值，記為；若存在定值，使得對于任意，有恒成立，則稱為的最小值，記為；2單調(diào)性與最值： 設(shè)函數(shù)

9、的定義域為，若是增函數(shù)，則 ， ； 若是減函數(shù)，則 ，【例題分析】一根據(jù)函數(shù)圖像寫單調(diào)區(qū)間和最值：例1：如圖為函數(shù)，的圖象，指出它的最大值、最小值及單調(diào)區(qū)間二求函數(shù)最值：例2：求下列函數(shù)的最小值：（1）； （2），追蹤訓(xùn)練一1. 函數(shù)在上的最小值（）與的取值有關(guān)不存在2. 函數(shù)的最小值是 ，最大值是 .3. 求下列函數(shù)的最值：(1)；(2)【選修延伸】含參數(shù)問題的最值： 例3: 求，的最小值點評: 含參數(shù)問題的最值，一般情況下，我們先將參數(shù)看成是已知數(shù)，但不能解了我們再進(jìn)行討論！思維點拔：一、利用單調(diào)性寫函數(shù)的最值？我們可以利用函數(shù)的草圖，如果函數(shù)在區(qū)間上是圖像連續(xù)的，且在 是單調(diào)遞增的，在上

10、是單調(diào)遞減的，則該函數(shù)在區(qū)間上的最大值一定是在處取得；同理，若函數(shù)在區(qū)間上是圖像連續(xù)的，且在 是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的，則該函數(shù)在區(qū)間上的最小值一定是在處取得追蹤訓(xùn)練函數(shù)的最大值是( ) 2. y=x2+的最小值為( )A.0B.C.1D不存在.3. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則_ _ _4.函數(shù)的最大值為.5已知二次函數(shù)在上有最大值4，求實數(shù)的值 1.2.6分段函數(shù)1.分段函數(shù)的定義 在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)；2.分段函數(shù)定義域，值域； 分段函數(shù)定義域各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3.分段函數(shù)圖象

11、 畫分段函數(shù)的圖象，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所對應(yīng)的解析式的圖象；【例題分析】一、含有絕對值的解析式例1、已知函數(shù)y=|x1|+|x+2|(1)作出函數(shù)的圖象。(2)寫出函數(shù)的定義域和值域。三、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題例3、已知函數(shù)f(x)=2x22ax+3在區(qū)間1，1上有最小值，記作g(a).(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式(2)求g(a)的最大值。追蹤訓(xùn)練1、設(shè)函數(shù)f(x)=則f(4)=_,若f(x0)=8，則x0=_2、已知函數(shù)f(x)=，求f(1)，ff(3)，fff(3)的值.3、 出下列函數(shù)圖象y=x+2x54、已知函數(shù)y=，則f(4)=_.5、已知函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)定義

12、域；(2)化簡解析式用分段函數(shù)表示；(3)作出函數(shù)圖象401.2.7 函數(shù)的奇偶性（1）1偶函數(shù)的定義： 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱函數(shù)是偶函數(shù) 注意：（1） “任意”、“都有”等關(guān)鍵詞； （2）奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立；2奇函數(shù)的定義： 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱函數(shù)是奇函數(shù) 函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，

13、都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）定義及判定方法若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)4函數(shù)奇偶性證明的步驟：（1）考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于“0”對稱；（2）計算的解析式，并考察其與的解析式的關(guān)系；(3)下結(jié)論.【例題分析】一判斷函數(shù)的奇偶性：例1：判斷下列函數(shù)是否是奇函數(shù)

14、或偶函數(shù)： 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)，(4) (5)二根據(jù)函數(shù)奇偶性定義求一些特殊的函數(shù)值：例2：已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，求的值三已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值：例3：已知函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值追蹤訓(xùn)練一1. 給定四個函數(shù)；其中是奇函數(shù)的個數(shù)是( )1個 2個3個 4個2. 如果二次函數(shù)是偶函數(shù)，則 .3. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3）【選修延伸】構(gòu)造函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值： 例3: 已知函數(shù)若，求的值。說明：1.如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)具有奇偶性；根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；2.奇、偶函

15、數(shù)的定義域關(guān)于“0”對稱如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于“0”對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；思維點拔：一、等式和的變形形式：我們在探討或證明函數(shù)的奇偶性過程中，除了將進(jìn)行化簡，其方向是或以外，我們還可以看到其等價形式、或當(dāng)恒成立時，也有、追蹤訓(xùn)練1下列結(jié)論正確的是：( )偶函數(shù)的圖象一定與軸相交；奇函數(shù)的圖象一定過原點；偶函數(shù)的圖象若不經(jīng)過原點，則它與軸的交點的個數(shù)一定是偶數(shù)；定義在上的增函數(shù)一定是奇函數(shù)2. 若函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時，有 （ ） 0 3. 設(shè)函數(shù)f（x）在（，）內(nèi)有定義，下列函數(shù)y=| f（x）|y=xf（x2）y=f（x）y= f（x）f（x）中必為奇函數(shù)的有_（

16、要求填寫正確答案的序號）4. 設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域為5,5.若當(dāng)x0,5時, f（x）的圖象如下圖,則不等式的解是 .5若是定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求的表達(dá)式 1.2.8函數(shù)的奇偶性（2）一函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合性質(zhì)推導(dǎo)：例1：已知y=f(x)是奇函數(shù)，它在(0，+)上是增函數(shù)，且f(x)<0，試問：F(x)=在(，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論.二利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式：例2：已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x|x2|，求x<0時，f(x)的解析式例3：定義在（2，2）上的奇函數(shù)在整個定義域上是減函數(shù)，若f(m1)+f(2m1

17、)>0，求實數(shù)m的取值范圍追蹤訓(xùn)練一1. 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),且在0，+)上是減函數(shù),則f()與f(a2a+1)（）的大小關(guān)系是 （ ） A f()<f(a2a+1)B f()f(a2a+1)C f()>f(a2a+1)D與a的取值無關(guān)2. 定義在上的奇函數(shù)，則常數(shù) ， ；3. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，若，求實數(shù)a的范圍。思維點拔：一、函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系若函數(shù)是偶函數(shù)，則該函數(shù)在關(guān)于0對稱的區(qū)間上的單調(diào)性是相反的，且一般情況下偶函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)；若函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)在關(guān)于0對稱區(qū)間上的點調(diào)性是相同的追蹤訓(xùn)練1已知是偶函數(shù)，其圖象與軸共有四個交點，則方程的所有實數(shù)解的和是 （ ） 4 2 0 不能確定2. 定義在(，+)上的函數(shù)滿足f(x)=f(x)且f(x)在(0，+)上，則不等式f(a)<f(b)等價于( )A.a<bB.a>bC.|a|<|b| D.0a<b或a>b03. 是奇函數(shù)，它在區(qū)間（其中）上為增函數(shù)，則它在區(qū)間上（ ） A. 是減函數(shù)且有最大值 B. 是減函數(shù)且有最小值 C.