高考數(shù)學二輪復習專題29 極坐標與參數(shù)方程的概念（學生版）

1、1 / 16 方法技巧專題 29 極坐標與參數(shù)方程的概念 一、 極坐標與參數(shù)方程的概念知識框架 二、參數(shù)方程與普通方程的互化 1 1參數(shù)方程的概念：參數(shù)方程的概念： 設在平面上取定一個直角坐標系xoy，把坐標yx,表示為第三個變量t的函數(shù)： ， 如果對于t的每一個值(bta)，式所確定的點),(yxm都在一條曲線上；而這條曲線上任意一點),(yxm，都可由t的某個值通過式得到，則稱式為該曲線的參數(shù)方程，其中t稱為參數(shù) 2參數(shù)方程與普通方程的互化：參數(shù)方程與普通方程的互化： 把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂?；加減消參法；平方和(差)消參法

2、；乘法消參法等 把曲線c的普通方程0),(=yxf化為參數(shù)方程的關鍵：一是適當選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性 要注意方程中的參數(shù)的變化范圍 3直線、圓、橢圓的參數(shù)方程：直線、圓、橢圓的參數(shù)方程： （1）經(jīng)過一定點),(000yxp，傾斜角為 的直線l的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))； =)()(tgytfxbta+=+=sin,cos00tyytxx+=+=btyyatxx00, sin,cos=yx xyyx=+=tan,222 2 / 16 1.例題 【例 1】 在直角坐標系xoy中，已知曲線1c的方程為221106xy+=，曲線2c的參數(shù)方程為1,2382xtyt= （t為參數(shù)）. （

3、1）求1c的參數(shù)方程和2c的普通方程； （2）設點p在1c上，點q在2c上，求pq的最小值. 【例 2】已知直線)(23211:為參數(shù)ttytxl=+=, 曲線)(sincos:1為參數(shù)=yxc (1)設l與相交于兩點,求； (2)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的21倍,縱坐標壓縮為原來的23倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在直角坐標系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為2cos4sinxy=，（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為3 / 16 1cos2sinxtyt= +=+，（t為參數(shù)） （1）求c和l的直角坐標方程； （2）若曲線c

4、截直線l所得線段的中點坐標為(1, 2)，求l的斜率 xk 【練習 2】在平面直角坐標系中,已知直線 的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為. (1)寫出直線 的普通方程和曲線的參數(shù)方程. (2)求曲線上的點到直線 的最短距離. 三、極坐標方程與直角坐標方程的互化 1極坐標系的概念：極坐標系的概念： 在平面內取一個定點o，o點出發(fā)的一條射線ox，一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標系o稱為極點，ox稱為極軸 設m是平面內任意一點，極點o與點m的距離om叫做點m的極徑，記作；以極軸ox為始邊，射線om為終邊的

5、角xom叫做點m的極角，記作 ，有序數(shù)對），（叫做點m的極坐標一般情況下，約定0 2極坐標系與直角坐標系的互化：極坐標系與直角坐標系的互化： 直角坐標化極坐標：cos=x，sin=y ； 4 / 16 1.例題 【例 1】極坐標系中，曲線 c 的極坐標方程為2=以極點為原點，極軸為 x 軸建立平面直角坐標系xoy，直線 l 的參數(shù)方程為3212xatyt=+=（t 為參數(shù)） （1）求曲線 c 的直角坐標方程以及直線 l 的普通方程； （2）若曲線 c 上恰有四個不同的點到直線 l 的距離等于 1，求實數(shù) a 的取值范圍 【例 2】 在平面直角坐標系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為32cos1 2s

6、inxy=+= +（為參數(shù)），以坐標原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求曲線c的極坐標方程； （2）在曲線c上取兩點m，n與原點o構成mon，且2mon=，求mon面積的最大值. 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在平面直角坐標系xoy中，已知曲線122cos:12sinxtcyt= += +（t為參數(shù)），以坐標原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線:2c01sincos4=+. 5 / 16 （1）求曲線1c的普通方程與曲線2c的直角坐標方程； （2）若點p在曲線1c上，q在曲線2c上，求| pq的最小值. 【練習 2】在直角坐標系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為c

7、os3sin,sin3cosxy=+=（為參數(shù)）坐標原點o 為 極 點 ，x軸 的 正 半 軸 為 極 軸 ， 取 相 同 長 度 單 位 建 立 極 坐 標 系 ， 直 線l的 極 坐 標 方 程 為cos()36= （1）求曲線c的普通方程和極坐標方程； （2）設射線:3om=與曲線c交于點a，與直線l交于點b，求線段ab的長 【練習3】在極坐標系中，已知圓的圓心(6,)3c，半徑3r =，q點在圓c上運動以極點為直角坐標系 原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系 6 / 16 （1）求圓c的參數(shù)方程； （2）若p點在線段oq上，且:2:3oppq =，求動點p軌跡的極坐標方程 四、參數(shù)方程

8、中參數(shù)的幾何意義 1.例題 【例 1】 以平面直角坐標系的坐標原點o為極點，以x軸的正半軸為極軸，以平面直角坐標系的長度為長度單位建立極坐標系. 已知直線l的參數(shù)方程為231 2xtyt= +（t為參數(shù)），曲線c的極坐標方程為2sin4cos=. （1）求曲線c的直角坐標方程； （2）設直線l與曲線c相交于ab、兩點，求ab. 1、直線參數(shù)方程：直線參數(shù)方程： （1）注意必須是標準形式； （2）直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中參數(shù)t的幾何意義： t表示直線上任一點),(yxm到直線上定點),(000yxm的距離； 2、直線與二次曲線相交問題：直線與二次曲線相交問題： +=+=sin,cos00ty

9、ytxx7 / 16 【例 2】在平面直角坐標系xoy中，直線 l 的參數(shù)方程為1cossinxtyt= +=(t為參數(shù)，0)，在以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 c 的極坐標方程為222.1 sin=+ （1）求曲線 c 的直角坐標方程； （2）設點 m 的坐標為(1，0)，直線 l 與曲線 c 相交于 a，b 兩點，求11mamb+的值. 【例 3】在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為1cos1sinxtxytx= += +（t為參數(shù)，0 ），以o為極 點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為(12cos2 )8cos= （1）判斷直線l與曲線c的公

10、共點的個數(shù)，并說明理由； （2）設直線l與曲線c交于不同的兩點,a b，點()1, 1p，若114|3papb=，求tan的值 8 / 16 【例 4】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)）以坐標原點 o 為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 （1）求 c 和 l 的直角坐標方程； （2）求 c 上的點到 l 距離的最小值 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在直角坐標系xoy中，以原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓c的極坐標方程為212 cos110+=. （1）求圓c的直角坐標方程； （2）設(1,0)p，直線l的參數(shù)方程是1

11、cossinxtyt= +=（t為參數(shù)），已知l與圓c交于,a b兩點，且34papb=，求l的普通方程. 2221141txttyt=+=+，2cos3 sin110+=9 / 16 【練習 2】在直角坐標系xoy中，直線1c的參數(shù)方程為33623xtyt= =+（其中t為參數(shù)）以坐標原點o為 極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線2c的極坐標方程為2cos3sin= （1）求1c和2c的直角坐標方程； （2）設點(0,2)p，直線1c交曲線2c于,m n兩點，求22pmpn+的值 【練習 3】已知曲線 c：22149xy+=，直線 l：222xtyt=+=(t為參數(shù)) (1)寫出曲線

12、c的參數(shù)方程，直線 l的普通方程； (2)過曲線 c 上任意一點 p 作與 l夾角為 30的直線，交 l于點 a，求|pa|的最大值與最小值 【練習 4】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為 = 2, = 4 （為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 = 1 + , = 2 + （為參數(shù)）. （1）求和的直角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為(1,2)，求的斜率 10 / 16 五、極坐標方程中的幾何意義 1.例題 【例 1】在直角坐標系中,已知曲線的方程為,的方程為,是一條經(jīng)過原點且斜率大于的直線,以直角坐標系原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求與的極坐標方程; (2)若與的一

13、個公共點(異于點),與的一個公共點為,求的取值范圍. 【例 2】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的方程為：2212012xy+=，動點p在橢圓上，o為原點，線段op的中點為q. （1）以o為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，求點q的軌跡的極坐標方程； 極坐標方程中極坐標方程中的幾何意義：的幾何意義： m是平面內任意一點，極點o與點m的距離om叫做點m的極徑，記作；即om= 11 / 16 （2）設直線l的參數(shù)方程為1,232xtyt=（t為參數(shù)），l與點q的軌跡交于m、n兩點，求弦長mn. 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在直角坐標系xoy中，直線1:2cx = ，圓222:(1)(

14、2)1cxy+=，以坐標原點o為極點， 以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系 （1）求1c，2c的極坐標方程； （2）若直線3c的極坐標方程=()r，設2c與3c的交點為m，n，求2c mn的面積 【練習 2】在平面直角坐標系中，曲線1c的參數(shù)方程為cos2sinxryr=+，(0r ，為參數(shù))，以坐標原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1c經(jīng)過點(2,)6p，曲線2c的極坐標方程為2(2cos2 )6+= （1）求曲線1c的極坐標方程； （2）若1(,)a ，2(,)2b +是曲線2c上兩點，求2211|oaob+的值 12 / 16 【練習 3】在極坐標系中，曲線1c的極坐標方程為

15、4cos=，曲線2c的極坐標方程為4sin=，以極點o為坐標原點，極軸為x的正半軸建立平面直角坐標系xoy. （1）求1c和2c的參數(shù)方程； （2）已知射線1:(0)2l=，將1l逆時針旋轉6得到2:6l=+，且1l與1c交于,o p兩點，2l 與2c交于,o q兩點，求op oq取得最大值時點p的極坐標. 六、課后自我檢測 1.在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為：1cos3sinxtyt= +=+（t為參數(shù)），)0,以坐標原點為 極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓c的極坐標方程為：8sin()6=+ （1）在直角坐標系xoy中，求圓c的圓心的直角坐標； （2）設點(1, 3)

16、p，若直線l與圓c交于a，b兩點，求證：papb為定值，并求出該定值 13 / 16 2.在直角坐標系xoy中，曲線1c的參數(shù)方程為22cos2sinxy=+=（為參數(shù)），曲線2c的參數(shù)方程為325415xtyt=+= +（t為參數(shù)） （1）求曲線1c的極坐標方程； （2）若曲線1c與曲線2c交于p，q兩點，且(2,1)a，求11apaq+的值 3.在平面直角坐標系xoy中，已知曲線1c的參數(shù)方程為32cos2sinxy=+=（為參數(shù)），以坐標原點o為 極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線2c的極坐標方程為2= （1）設點,m n分別為曲線1c與曲線2c上的任意一點，求|mn的最大值

17、； （2）設直線1cos:sinxtlyt= +=（t為參數(shù)）與曲線1c交于,p q兩點，且| 1pq =，求直線l的普通方程 4.已知在直角坐標系xoy內，直線l的參數(shù)方程為3cos ,21sin .2xtyt=+= +（t為參數(shù)，為傾斜角）以o為 極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為2 2cos()4=+ （1）寫出曲線c的直角坐標方程及直線l經(jīng)過的定點p的坐標； （2）設直線l與曲線c相交于兩點a b、，求點p到a b、兩點的距離之和的最大值 14 / 16 5.在平面直角坐標系中，已知直線(t為參數(shù))以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓r) (1)若

18、直線 過圓心 c，求a的值； (2)若，直線 與圓相交于兩點，點直角坐標，求的值 6.在直角坐標系中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. (1)求直線 與曲線的普通方程； (2)已知直線 與曲線交于兩點，設，求的值. 7.在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為. (1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程; (2)已知曲線的極坐標方程為,點是曲線與的交點,點是曲線與的交點,且均異于原點,且,求的值. 8.在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,曲線的參數(shù)方程為：( 為參數(shù)). (1)求曲線,的普通方程; (2)若曲線上一點到曲線的距離的最大值為,求a. 15 / 16 9.在平面直角坐標系中，曲線1c的參數(shù)方程為2cossinxryr=+=（0r ，為參數(shù)），以坐標原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1c經(jīng)過點2 3,6p，曲線2c的極坐標方程為()22cos26+= （1）求曲線1c的極坐標方程； （2）若1,6a ，2,3b +是曲線2c上兩點，求2211oaob+