高考數(shù)學二輪復習專題09 基本不等式的應用(原卷版)

1、1 / 7 專題專題 09 基本不等式的應用 1、【2019 年高考江蘇】在平面直角坐標系xoy中，p是曲線4(0)yxxx=+上的一個動點，則點 p到直線 x+y=0 的距離的最小值是_. 2、【2019 年高考天津卷文數(shù)】設0,0,24xyxy+=，則(1)(21)xyxy+的最小值為_. 3、【2019年高考浙江卷】若0,0ab，則“4ab+”是 “4ab ”的（ ） a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件 4、【2018 年高考天津卷文數(shù)】（2018 天津文科）已知,a br，且360ab+=，則128ab+的最小值為 . 5、【2018 年

2、高考江蘇卷】在abc中，角, ,a b c所對的邊分別為, ,a b c，120abc=，abc的平分線交ac于點 d，且1bd =，則4ac+的最小值為_ 6、【2017 年高考江蘇卷】某公司一年購買某種貨物 600 噸，每次購買x噸，運費為 6 萬元/次，2 / 7 一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_ 一、三個不等式關系： (1)a，br，a2b22ab，當且僅當 ab 時取等號 (2)a，br，ab2 ab，當且僅當 ab 時取等號 (3)a，br，a2b22(ab2)2，當且僅當 ab 時取等號 上述三個不等關系揭示了 a2b2 ，ab ，ab

3、 三者間的不等關系 其中，基本不等式及其變形：a，br，ab2 ab(或 ab(ab2)2)，當且僅當 ab 時取等號，所以當和為定值時，可求積的最值；當積為定值是，可求和的最值 二、.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設a0，b0，則a，b的算術平均數(shù)為ab2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 三、.利用基本不等式求最值問題 已知x0，y0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是 2p.(簡記：積定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是p24.(簡記：和定積最大) 四、對于 f(x)xax， 當

4、a0 時，f(x)在(，0)，(0，)為增函數(shù)； 當 a0 時，f(x)在(， a)，( a，)為增函數(shù)；在( a，0)，(0， a)為減函數(shù) 3 / 7 注意 在解答題中利用函數(shù) f(x)xax的單調性時，需要利用導數(shù)進行證明 五、利用基本不等式解決條件最值的關鍵是構造和為定值或積為定值，主要有兩種思路： (1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等 (2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不

5、等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤. 六、對于多元問題的不等式的基本解題思路就是把多元問題轉化為單元問題。 題型一 運用消參法解決基本不等式中的最值問題 消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！ 例 1、(2019 常州期末）已知正數(shù) x，y滿足 xyx1，則1xxy的最小值為_ 例 2、(2017 蘇北四市期末） 若實數(shù) x，y滿足 xy3x30 x12，則3x1y3的最小值為_ 題型二、運用 1 的代換解決基本不等式中的最值問題 1 的代換就

6、是指湊出 1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形。 4 / 7 例 3、(2019 揚州期末）已知正實數(shù) x，y 滿足 x4yxy0，若 xym恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍為_ 例 4、（2019 年蘇州學情調研）若正實數(shù)x y，滿足1xy+=，則4yxy+的最小值是 例 5、（2013 徐州、宿遷三檢）若0,0ab，且11121abb=+，則2ab+的最小值為 題型三 、運用雙換元解決基本不等式中的最值問題 若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉化為這兩個參數(shù)的不等關系

7、。 例 6、(2017 蘇州期末） 已知正數(shù) x，y 滿足 xy1，則4x21y1的最小值為_ 例 7、(2015 蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調）已知實數(shù) x，y 滿足 xy0，且 xy2，則2x3y1xy的最小值為_ 題型四、基本不等式中多元問題的處理 多元最值問題是最典型的代數(shù)問題，代數(shù)問題要注重結構的觀察和變形，變形恰當后，直接可以構造幾何意義也可以使問題明朗化，具體歸納如下：(1)多元最值首選消元：三元問題二元問題一元問5 / 7 題(2)二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元策略二：不好消元用基本不等式及其變形式，線性規(guī)劃，三角換元（3）多元問題不好消元的時候可以減元，常見的減元策略：

8、策略一：齊次式同除減元策略二：整體思想代入消元或者減元 例 8、(2019 南京、鹽城一模） 若正實數(shù) a，b，c 滿足 aba2b，abca2bc，則 c 的最大值為_ 例 9、(2018 南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調） 已知 a，b，c 均為正數(shù)，且 abc4(ab)，則 abc的最小值為_ 題型五 基本不等式的綜合運用 多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應用基本不等式，其中“減元策略”的常見方法有：通過消元以達到減少變量的個數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來研究問題；通過“合并變元”以代換的方式來達到“減元”，一般地，關于多變元的“齊次式”多用此法而應用基本

9、不等式求最值時，要緊緊抓住“和”與“積”的關系來進行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關系，可以通過換元的方法來簡化問題的表現(xiàn)形式，從而達到更易處理的目的， 例 10、(2018 揚州期末） 已知正實數(shù) x，y滿足 5x24xyy21，則 12x28xyy2的最小值為_ 例 11、(2018 南京、鹽城一模）若不等式 ksin2bsinasinc19sinbsinc對任意abc都成立，則實數(shù) k的最小值為_ 1、(2018 蘇錫常鎮(zhèn)調研） 已知 a0, b0，且2a3b ab，則 ab的最小值是_ 6 / 7 2、(2017 蘇北四市一模） 已知正數(shù) a，b 滿足1a9b ab5，則 ab的最小值

10、為_ 3、(2019 鎮(zhèn)江期末） 已知 x0，y0，xy1x4y，則 xy 的最小值為_ 4、(2019 蘇北三市期末） 已知 a0，b0，且 a3b1b1a，則 b 的最大值為_ 5、(2018 蘇州期末） 已知正實數(shù) a，b，c 滿足1a1b1，1ab1c1，則 c的取值范圍是_ 6、(2019 蘇州三市、蘇北四市二調）已知關于 x 的不等式 ax2bxc0(a，b，cr)的解集為x|3x4，則c25ab的最小值為_ 7、(2019 蘇錫常鎮(zhèn)調研（二）已知正實數(shù) a，b 滿足 ab1，則bbaa421222+的最小值為 8、(2018 蘇錫常鎮(zhèn)調研（二） 已知ab，為正實數(shù)，且()234()abab=，則11ab+的最小值為 9、(2017 無錫期末） 已知 a0，b0，c2，且 ab2，則acbcabc25c2的最小值為_ 7 / 7 10、(2017 蘇州期末）已知正數(shù) x，y滿足 xy1，則4x21y1的最小值為_ 11、（2016蘇州期末） 已知 ab14，a，b(0,1)，則11a21b的最小值為_ 12、(2016 徐州、連云港、宿遷三檢）已知對滿足 xy42xy 的任意正實數(shù) x，y，都有 x22xyy2axay10，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 13、（2016 蘇錫常鎮(zhèn)一調）若實數(shù) x，y 滿足 x24xy4y24x2y24，則當 x