高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)檢測（十七）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、1 / 3 課時過關(guān)檢測（十七）課時過關(guān)檢測（十七） 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 1已知已知 f(x)(1x)ex1. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的最大值；的最大值； (2)設(shè)設(shè) g(x)f( (x) )x，x1 且且 x0，證明：，證明：g(x)1. 解：解：(1)f(x)xex. 當當 x(，0)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 當當 x(0，)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 所以所以 f(x)的最大值為的最大值為 f(0)0. (2)證明：由證明：由(1)知，當知，當 x0 時，時，f(x)0，g(x)01； 當當1x0 時，時，g(x)1 等價

2、于等價于 f(x)x. 設(shè)設(shè) h(x)f(x)x，則，則 h(x)xex1. 當當 x(1,0)時，時，0 x1,0ex1， 則則 0 xex1，從而當，從而當 x(1,0)時，時，h(x)0， h(x)在在(1,0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 當當1x0 時，時，h(x)h(0)0，即，即 g(x)1. 綜上，當綜上，當 x1 且且 x0 時總有時總有 g(x)1. 2已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)eln xax(ar) (1)討論討論 f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)當當 ae 時，證明：時，證明：xf(x)ex2ex0. 解：解：(1)f(x)exa(x0)， 若若 a0，則，則 f(x)0，

3、f(x)在在(0，)上為增函數(shù)；上為增函數(shù)； 若若 a0，則當，則當 0 xea時，時，f(x)0； 當當 xea時，時，f(x)0. 故在故在 0，ea上上 f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 在在 ea， 上上 f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 (2)證明：因為證明：因為 x0，所以只需證，所以只需證 f(x)exx2e， 由由(1)知，當知，當 ae 時，時，f(x)在在(0,1)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 在在(1，)上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，所以 f(x)maxf(1)e. 記記 g(x)exx2e(x0)，則，則 g(x)( (x1) )exx2 ， 2 / 3 所以，當所以，當 0 x1 時，

4、時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當單調(diào)遞減；當 x1 時，時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞單調(diào)遞增，增， 所以所以 g(x)ming(1)e. 所以當所以當 x0 時，時，f(x)g(x)， 即即 f(x)exx2e，即，即 xf(x)ex2ex0. 3已知已知函數(shù)函數(shù) f(x)ln xaln xx2. (1)若若 a1，求，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)若若 a0，x(0,1)，證明：，證明：x21xf( (x) )ex. 解：解：(1)當當 a1 時，時，f(x)ln xln xx2，x(0，)， f(x)1x12ln xx3x212ln xx3 ( (x1) )( (x1)

5、 )2ln xx3. 當當 x(0,1)時，時，f(x)0，當，當 x(1，)時，時，f(x)0， f(x)在在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 (2)證明：當證明：當 a0，x(0,1)時，時，x21xf( (x) )ex等價于等價于ln xexx21x0， 當當 x(0,1)時，時，ex(1，e)，ln x0， ln xexln x， 只需要證只需要證ln xx21x0 在在(0,1)上恒上恒成立成立 令令 g(x)ln xx21x，x(0,1)， g(x)1x2x1x22x3x1x20， 則函數(shù)則函數(shù) g(x)在在(0,1)上單調(diào)遞增，于是上單調(diào)遞增，于

6、是 g(x)ln 1110， 當當 x(0,1)時，時，x21xf( (x) )ex. 4(2021 江西五校聯(lián)考江西五校聯(lián)考)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)12sin xln xx1，f(x)為為 f(x)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)數(shù) (1)證明：證明：f(x)在定義域上存在唯一的極大值點；在定義域上存在唯一的極大值點； (2)若存在若存在 x1x2，使，使 f(x1)f(x2)，證明：，證明：x1x22lnx1x2. 證明：證明：(1)f(x)12cos x1x1， 3 / 3 當當 x2 時，時，01x12，11x112，12cos x1x112cos x1212(cos x1)0， “”不能同時取到，所以

7、不能同時取到，所以 f(x)0； 當當 0 x2 時，令時，令 h(x)f(x)，則，則 h(x)12sin x1x20，所以，所以 f(x)在在(0,2)上單上單調(diào)遞減調(diào)遞減 因為因為 f(1)12cos 10，f(2)12cos 2120， 所以在定義域所以在定義域(0，)上存在唯一上存在唯一 x0，使，使 f(x0)0 且且 x0(1,2) 當當 0 xx0時，時，f(x)0；當；當 xx0時，時，f(x)0. 所以所以 x0是是 f(x)在定義域在定義域(0，)上的唯一極值點且是極大值點上的唯一極值點且是極大值點 (2)存在存在 x1x2，使，使 f(x1)f(x2)， 即即12sin x1ln x1x1112sin x2ln x2x21， 得得 x1x212(sin x1sin x2)ln x1ln x2. 設(shè)設(shè) g(x)xsin x，則，則 g(x)1cos x0，g(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 不妨設(shè)不妨設(shè) x1x20，則，則 g(x1)g(x2)，即，即 x1sin