高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(四十七)　利用空間向量求空間角 (2)

1、1 / 6 課時作業(yè)(四十七) 利用空間向量求空間角 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、選擇題 1在正方體 abcd- a1b1c1d1中，m是 ab 的中點，則 sindb1，cm的值等于( ) a.12 b.21015 c.23 d.1115 解析 分別以 da，dc，dd1為 x，y，z 軸建系，令 ad1，所以db1(1,1,1)，cm1，12，0 。所以 cosdb1，cm1123521515。所以 sindb1，cm21015。 答案 b 2已知直四棱柱 abcd- a1b1c1d1中，底面 abcd 為正方形，aa12ab，e 為 aa1的中點，則異面直線be 與 cd1所成角的余弦值為( ) a

2、.1010 b.15 c.3 1010 d.35 解析 如圖，以 d 為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系。設(shè) aa12ab2，則 b(1,1,0)，e(1,0,1)，c(0,1,0)，d1(0，0,2)。所以be(0，1,1)，cd1(0，1,2)。所以 cosbe，cd1122 53 1010。 答案 c 3.如圖，在棱長為 2的正方體 abcd- a1b1c1d1中，e為線段 cd1的中點，則直線 ae與平面 a1bcd1所成角的正切值為( ) a.22 b.12 c.32 d. 2 解析 連接 ab1，與 a1b 交于點 f(圖略)，由于 afa1b，afbc，則 af平面 a1bcd

3、1。連接 ef，則aef是直線 ae 與平面 a1bcd1所成的角，tanaefafef22。故選 a。 答案 a 4.如圖，點 a，b，c 分別在空間直角坐標系 oxyz 的三條坐標軸上，oc(0,0,2)，平面 abc 的法向量為n(2,1,2)。設(shè)二面角 c- ab- o 的大小為 ，則 cos ( ) a.43 b.53 c.23 d23 解析 由題意得平面 aob 的一個法向量為oc(0,0,2)。又平面 abc 的法向量為 n(2,1,2)，二面角c- ab- o的大小為 ，且為銳角，所以 cos |oc n|oc|n|42323。故選 c。 2 / 6 答案 c 5.(2021

4、長春調(diào)研)如圖所示，在直三棱柱 abc- a1b1c1中，acb90 ，2acaa1bc2。若二面角b1- dc- c1的大小為 60 ，則 ad 的長為( ) a. 2 b. 3 c2 d.22 解析 如圖所示，以 c 為坐標原點，ca，cb，cc1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，則 c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)。設(shè) ada，則 d 點坐標為(1,0，a)，cd(1,0，a)，cb1(0,2,2)。設(shè)平面 b1cd 的一個法向量為 m(x，y，z)。由 m cb12y2z0，m cdxaz0，得 yz，xaz，令 z1，

5、則 m(a,1，1)。又平面 c1dc 的一個法向量為 n(0,1,0)，則由 cos 60 |m n|m|n|，得1a2212，解得 a2(負值舍去)，所以 ad 2。故選 a。 答案 a 6已知直四棱柱 abcd- a1b1c1d1的所有棱長都相等，abc60 ，則直線 bc1與平面 abb1a1所成角的余弦值為( ) a.64 b.104 c.22 d.32 解析 取 bc 的中點 e，連接 ae，ac。因為四邊形 abcd 為菱形，abc60 ，所以abc 為正三角形，則 aebc，又 adbc，所以 aead。以 a 為原點，ae的方向為 x 軸正方向，ad的方向為 y 軸正方向，a

6、a1的方向為 z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。設(shè) ab2，則 b( 3，1,0)，c1( 3，1,2)，a(0,0,0)，a1(0,0,2)，bc1(0,2,2)，ab( 3，1,0)，aa1(0,0,2)。設(shè)平面 abb1a1的一個法向量為 n(x，y，z)，則 n ab 3xy0，n aa12z0，取 x1，得 n(1， 3，0)。設(shè)直線 bc1與平面 abb1a1所成的角為，則 sin |cosbc1，n|bc1 n|bc1|n|2 38 464，因為 0 ，90 ，所以 cos 1642104，所以直線 bc1與平面 abb1a1所成角的余弦值為104。故選 b。 答案 b

7、 二、填空題 7已知正三棱錐 a- pbc 的側(cè)棱 ap，ab，ac 兩兩垂直，d，e 分別為棱 pa，bc 的中點，則異面直線pc 與 de 所成角的余弦值為_。 解析 設(shè) ab2，以 a 為坐標原點，ab，ac，ap分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向，建立空間直角坐標系 axyz，則 p(0,0,2)，d(0,0,1)，c(0,2,0)，e(1,1,0)，de(1,1，1)，pc(0,2，2)，則 cosde，pc2232 263，所以異面直線 pc 與 de 所成角的余弦值為63。 答案 63 3 / 6 8已知四棱錐 p- abcd 的底面是菱形，bad60 ，pd平面 abcd，

8、且 pdab，e 是棱 ad 的中點，f 為棱 pc 上一點。若 pffc12，則直線 ef 與平面 abcd 所成角的正弦值為_。 解析 如圖，以 d 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系 dxyz。設(shè)菱形 abcd 的邊長為 2，則d(0,0,0)，e32，12，0 ，f0，23，43，所以ef32，76，43。又平面 abcd的一個法向量為 n(0,0,1)，所以 cosef，n4332276243214 3535，即直線 ef 與平面 abcd 所成角的正弦值為4 3535。 答案 4 3535 9.如圖，在正方體 abcd- a1b1c1d1中，e，f 分別為 ad，dd1的中點，

9、則平面 efc1b 和平面 bcc1所成銳二面角的正弦值為_。 解析 以 d 為原點，da的方向為 x 軸正方向，dc的方向為 y 軸正方向，dd1的方向為 z 軸正方向，建立空間直角坐標系。設(shè) ab2，則 e(1，0,0)，f(0,0,1)，b(2,2,0)，ef(1,0,1)，eb(1,2,0)。設(shè)平面efc1b 的一個法向量為 n(x，y，z)，則 n efxz0，n ebx2y0，取 x2，得 n(2，1，2)。易知平面bcc1的一個法向量為 m(0,1,0)。設(shè)平面 efc1b 和平面 bcc1所成的銳二面角為 ，則 cos |n m|n|m|13，所以 sin 2 23。 答案 2

10、 23 三、解答題 10(2021 遼寧大連診斷)如圖，已知 bd 為圓錐 ao 底面圓 o 的直徑，若 abbd4，c 是圓錐 ao 底面所在平面內(nèi)一點，cd 2，且直線 ac 與圓錐底面所成角的正弦值為427。 (1)求證：平面 aoc平面 acd； (2)求二面角 b- ad- c 的余弦值。 解 (1)證明：由 abbd4 及圓錐的性質(zhì)， 得abd 為等邊三角形，ao 垂直于底面圓 o， 所以 ao2 3，aco 是直線 ac 與圓錐底面所成的角，又直線 ac 與圓錐底面所成角的正弦值為427， 所以在 rtaoc 中，acao427 14， oc ac2ao2 2。 因為 oc2cd

11、2od2，所以 cdoc。 因為 ao 垂直于底面圓 o，所以 aocd， 又 aooco，所以 cd平面 aoc， 又 dc平面 acd，所以平面 aoc平面 acd。 (2)在圓 o 所在平面內(nèi)過點 o作 bd的垂線，交圓 o于點 e，以 o為坐標原點，分別以 oe，od，oa所在直線為 x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示。 4 / 6 則 b(0，2,0)，d(0,2,0)，a(0,0,2 3)，c(1,1,0)，ac(1,1，2 3)，ad(0,2，2 3)， 設(shè)平面 acd 的一個法向量為 m(x，y，z)， 由 ac m0，ad m0，得 xy2 3z0，2y2 3z0，

12、取 z1，則 m( 3， 3，1)。 易知平面 abd 的一個法向量為 n(1,0,0)， 所以 cosm，nm n|m|n|217， 由圖可知，二面角 b- ad- c 為銳二面角， 故二面角 b- ad- c 的余弦值為217。 11(2021 重慶七校聯(lián)考)如圖，在四棱錐 p- abcd 中，底面 abcd 是菱形，dab60 ，pd底面abcd，pdad1，e，f 分別為 ab 和 pd 的中點。 (1)求證：直線 af平面 pec； (2)求 pc 與平面 pab 所成角的正弦值。 解 (1)證明：如圖，作 fmcd 交 pc 于點 m，連接 me，因為 f 為 pd 的中點，所以

13、fm 綊12cd， 又 e 是 ab 的中點，所以 ae12abfm， 所以四邊形 aemf 為平行四邊形，所以 afem， 因為 af平面 pec，em平面 pec， 所以 af平面 pec。 (2)如圖所示，建立空間直角坐標系，由已知得 p(0,0,1)，c(0,1,0)，e32，0，0 ，a32，12，0 ， b32，12，0 ， 所以ap32，12，1 ，ab(0,1,0)。 設(shè)平面 pab 的一個法向量為 n(x，y，z)， 因為 n ab0，n ap0，所以 y0，32x12yz0， 取 x1，則 z32， 5 / 6 所以平面 pab 的一個法向量為 n1，0，32， 因為pc(

14、0,1，1)， 設(shè)向量 n 與pc所成的角為 ， 所以 cos n pc|n|pc|3274 24214， 所以 pc 與平面 pab 所成角的正弦值為4214。 素養(yǎng)提升組 12.如圖，在正方體 abcd- a1b1c1d1中，e 為線段 aa1上的一個動點，f 為線段 b1c1上的一個動點，則平面 efb 與底面 abcd 所成的銳二面角的余弦值的取值范圍是( ) a.0，22 b.33，22 c.0，33 d.0，55 解析 以 d 為坐標原點，da，dc，dd1所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè) ad1，aem，c1fn，則 b(1,1,0)，e(1,0，m

15、)，f(n,1,1)，be(0，1，m)，bf(n1,0,1)。設(shè)平面 efb 的一個法向量為 n(x，y，z)，則 be n0，bf n0，即 ymz0，(n1)xz0，取 x1，則 n(1，m(n1)，n1)。易知底面 abcd 的一個法向量為 m(0,0,1)。設(shè)平面 efb與底面 abcd所成的銳二面角為 ，則cos |n1|1m2(n1)2(n1)2，當 n1 時，cos 0，當 n1 時，cos 11(1n)2m210，22，顯然當 n0，m0 時，cos 取得22。故 cos 0，22。故選 a。 答案 a 13(2021 河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知，圖中直棱柱 abcd- a1b1

16、c1d1的底面是菱形，其中 aa1ac2bd4。點 e，f，p，q 分別在棱 aa1，bb1，cc1，dd1上運動，且滿足 bfdq，cpbfdqae1。 (1)求證：e，f，p，q四點共面，并證明 ef平面 pqb； (2)是否存在點 p，使得二面角 b- pq- e 的余弦值為55？如果存在，求出 cp 的長；如果不存在，請說明理由。 解 (1)證明：證法一：在棱 cc1， dd1上分別取點 m，n， 使得 qnpm1，連接 mn， 易知四邊形 mnqp 是平行四邊形， 所以 mnpq，連接 fm，ne， 則 aend，且 aend， 所以四邊形 adne為平行四邊形， 故 adne，同理

17、，fmbc， 又 adbc，且 nemfad， 故四邊形 fmne 是平行四邊形， 6 / 6 所以 efmn，所以 efpq， 故 e，f，p，q四點共面， 又 efpq，ef平面 pqb，pq平面 pqb， 所以 ef平面 pqb。 證法二：因為直棱柱 abcd- a1b1c1d1的底面是菱形， 所以 acbd，aa1底面 abcd， 設(shè) ac，bd 的交點為 o，以 o 為原點， 分別以 oa，ob，及過 o 且與 aa1平行的直線為 x，y，z軸建立空間直角坐標系，則有 a(2,0,0)，b(0,1,0)，c(2,0,0)，d(0，1,0)， 設(shè) bfa，a1,3， 則 e(2,0，a1)，f(0,1，a)，p(2,0，a1)， q(0，1，a)，則ef(2,1,1)，qp(2,1,1)， 所以 efpq，故 e，f，p，q四點共面， 又 efpq，ef平面 pqb，pq平面 pqb， 所以 ef平面 pqb。 (2)ef(2,1,1)，eq(2