高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1節(jié) 集合

1、1 / 13 第第 1 節(jié)節(jié) 集合集合 考試要求 1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對(duì)具體問(wèn)題能在自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集合；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集； 4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；5.能使用韋恩(venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用. 知 識(shí) 梳 理 1.元素與集合 (1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性. (2)元素與集合的關(guān)系是屬于

2、或不屬于，表示符號(hào)分別為和. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法. 2.集合間的基本關(guān)系 (1)子集：若對(duì)任意 xa，都有 xb，則 ab或 ba. (2)真子集：若 ab，且集合 b 中至少有一個(gè)元素不屬于集合 a，則 ab 或 ba. (3)相等：若 ab，且 ba，則 ab. (4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2 / 13 3.集合的基本運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 符號(hào)表示 ab ab 若全集為 u，則集 合 a的補(bǔ)集為ua 圖形表示 集合表示 x|xa，或xb x|xa，且xb x|xu，且 xa 4.集合的運(yùn)算性質(zhì) (1)aaa

3、，a，abba. (2)aaa，aa，abba. (3)a(ua)，a(ua)u，u(ua)a. 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.若有限集 a 中有 n 個(gè)元素，則 a 的子集有 2n個(gè)，真子集有 2n1 個(gè)，非空子集有 2n1 個(gè)，非空真子集有 2n2個(gè). 2.子集的傳遞性：ab，bcac. 3.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，應(yīng)時(shí)刻關(guān)注對(duì)于空集的討論. 4.ababaabbuaub. 5.u(ab)(ua)(ub)，u(ab)(ua)(ub). 診 斷 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.( ) (2)x|yx21y|yx2

4、1(x，y)|yx21.( ) (3)若x2，10，1，則 x0，1.( ) (4)對(duì)于任意兩個(gè)集合 a，b，關(guān)系(ab)(ab)恒成立.( ) 解析 (1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集. (2)錯(cuò)誤.x|yx21r，y|yx211，)，(x，y)|yx21是拋物線3 / 13 yx21上的點(diǎn)集. (3)錯(cuò)誤.當(dāng) x1 時(shí)，不滿足集合中元素的互異性. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第一冊(cè) p9t1(1)改編)若集合 pxn|x 2 021，a2 2，則( ) a.ap b.ap c.ap d.ap 解析 因?yàn)?a2 2不是自然數(shù)，而集合 p 是不大于 2 021的自然數(shù)構(gòu)成的

5、集合，所以 ap，只有 d正確. 答案 d 3.(老教材必修 1p44a 組 t5 改編)已知集合 a(x，y)|x2y21，b(x，y)|x，yr 且 yx，則 ab 中元素的個(gè)數(shù)為_. 解析 集合 a 表示以(0，0)為圓心，1 為半徑的單位圓上的點(diǎn)，集合 b 表示直線yx 上的點(diǎn)，圓 x2y21 與直線 yx 相交于兩點(diǎn)22，22，22，22，則 ab中有兩個(gè)元素. 答案 2 4.(2019 全國(guó)卷)已知集合 a1，0，1，2，bx|x21，則 ab( ) a.1，0，1 b.0，1 c.1，1 d.0，1，2 解析 因?yàn)?bx|x21|x|1x1，又 a1，0，1，2，所以 ab1，0

6、，1. 答案 a 5.(2019 全國(guó)卷改編)已知集合 ax|x25x60，bx|x10，全集 ur，則 a(ub)( ) a.(，1) b.(2，1) c.(3，1) d.(3，) 4 / 13 解析 由題意 ax|x3.又 bx|x1，知ubx|x1，a(ub)x|x1. 答案 a 6.(2020 青島模擬)設(shè) p 和 q 是兩個(gè)集合，定義集合 pqx|xp，且 xq，如果 px|12x4，qy|y2sin x，xr，那么 pq( ) a.x|0 x1 b.x|0 x2 c.x|1x2 d.x|0 x1 解析 由題意得 px|0 x2，qy|1y3， pqx|0 x1. 答案 d 考點(diǎn)一

7、集合的基本概念 【例 1】 (1)定義 pqz|zyxxy，xp，yq ，已知 p0，2，q1，2，則 pq( ) a.1，1 b.1，1，0 c.1，1，34 d.1，34 (2)設(shè)集合 ax|(xa)21，且 2a，3a，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_. 解析 (1)由定義，當(dāng) x0 時(shí)，z1， 當(dāng) x2時(shí)，z12211 或 z22134. 因此 pq1，1，34. (2)由題意得（2a）21，（3a）21，解得1a3，a2或a4. 所以 1a2. 答案 (1)c (2)(1，2 規(guī)律方法 1.研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合

8、的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義. 2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢5 / 13 驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性. 【訓(xùn)練 1】 (1)(2018 全國(guó)卷)已知集合 a(x，y)|x2y23，xz，yz，則 a中元素的個(gè)數(shù)為( ) a.9 b.8 c.5 d.4 (2)設(shè) a 是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于 ka，如果 k1a，且 k1a，那么稱 k 是 a 的一個(gè)“孤立元”.給定 s1，2，3，4，5，6，7，8，由 s 的 3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_個(gè). 解析 (1)由題意知 a(1，0)，(0，0)，(1

9、，0)，(0，1)，(0，1)，(1， 1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，故集合 a中共有 9個(gè)元素. (2)依題意可知，由 s 的 3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時(shí)，這三個(gè)元素一定是連續(xù)的三個(gè)整數(shù).所求的集合為1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共 6 個(gè). 答案 (1)a (2)6 考點(diǎn)二 集合間的基本關(guān)系 【例 2】 (1)(2019 湖北八校聯(lián)考)已知集合 a1，1，bx|ax10.若ba，則實(shí)數(shù) a的所有可能取值的集合為( ) a.1 b.1 c.1，1 d.1，0，1 (2)(2020 長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知集合 ax|ylo

10、g2(x23x4)，bx|x23mx2m20)，若 ba，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為( ) a.(4，) b.4，) c.(2，) d.2，) 解析 (1)當(dāng) b時(shí)，a0，此時(shí)，ba. 當(dāng) b時(shí)，則 a0，bx|x1a. 又 ba，1aa，a 1. 綜上可知，實(shí)數(shù) a所有取值的集合為1，0，1. (2)由 x23x40 得 x4， 所以集合 ax|x4. 由 x23mx2m20)得 mx2m. 6 / 13 又 ba，所以 2m1(舍去)或 m4. 答案 (1)d (2)b 規(guī)律方法 1.若 ba，應(yīng)分 b和 b兩種情況討論. 2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素

11、或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問(wèn)題常常要合理利用數(shù)軸、venn 圖，化抽象為直觀進(jìn)行求解.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解. 【訓(xùn)練 2】 (1)若集合 mx|x|1，ny|yx2，|x|1，則( ) a.mn b.mn c.mn d.nm (2)(2020 武昌調(diào)研)已知集合 ax|log2(x1)1，bx|xa|2，若 ab，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為( ) a.(1，3) b.1，3 c.1，) d.(，3 解析 (1)易知 mx|1x1，ny|yx2，|x|1y|0y1，nm. (2)由 log2(x1)1，得 0 x12，所以

12、a(1，3). 由|xa|2 得 a2xa2，即 b(a2，a2). 因?yàn)?ab，所以a21，a23，解得 1a3. 所以實(shí)數(shù) a的取值范圍為1，3. 答案 (1)d (2)b 考點(diǎn)三 集合的運(yùn)算 多維探究 角度 1 集合的基本運(yùn)算 【例 31】 (1)(2019 全國(guó)卷)已知集合 u1，2，3，4，5，6，7，a2，3，4，5，b2，3，6，7，則 b(ua)( ) a.1，6 b.1，7 c.6，7 d.1，6，7 (2)(2020 廣州模擬)已知全集 ur，集合 ax|x40，bx|ln x4 b.x|x0或 x4 7 / 13 c.x|0 x4 d.x|x4或 xe2 解析 (1)由題

13、意知ua1，6，7.又 b2，3，6，7， b(ua)6，7. (2)易知 ax|x4，bx|0 xe2，則 abx|04. 答案 (1)c (2)b 角度 2 抽象集合的運(yùn)算 【例 32】 設(shè) u為全集，a，b是其兩個(gè)子集，則“存在集合 c，使得 ac，buc”是“ab”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 由圖可知，若“存在集合 c，使得 ac，buc”，則一定有“ab”；反過(guò)來(lái)，若“ab”，則一定能找到集合 c，使 ac且 buc. 答案 c 規(guī)律方法 1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算

14、. 2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用： (1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助 venn圖求解； (2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心. 【訓(xùn)練 3】 (1)(角度 1)(2018 天津卷)設(shè)全集為 r，集合 ax|0 x2，bx|x1，則 a(rb)( ) a.x|0 x1 b.x|0 x1 c.x|1x2 d.x|0 x2 (2)(多選題)(角度 1)已知集合 axn|x|1，bxz|y x1 3x，則( ) 8 / 13 a.aba b.abb c.ba1，2，3 d.bax|1x3 (3)(角度 2)若全集 u2，1，0，1，2，a2，2，bx|x2

15、10，則圖中陰影部分所表示的集合為( ) a.1，0，1 b.1，0 c.1，1 d.0 解析 (1)因?yàn)?bx|x1，所以rbx|x1， 又 ax|0 x2，所以 a(rb)x|0 x1. (2)易知 a0，1，b1，0，1，2，3，所以 ab0，1a，abb，ba1，2，3，故 a，b，c正確. (3)bx|x2101，1，陰影部分所表示的集合為u(ab).又 ab 2，1，1，2，全集 u2，1，0，1，2，所以u(píng)(ab)0. 答案 (1)b (2)abc (3)d a級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.(2019 全國(guó)卷)已知集合 mx|4x2，nx|x2x60，則 mn( ) a.x|4x

16、3 b.x|4x2 c.x|2x2 d.x|2x3 解析 mx|4x2，nx|2x3， mnx|2x0，nx1x0 x|x1 或 x0，nx1x1 或 x0，所以 mn. 答案 c 5.設(shè)集合 ax|1x2，bx|x0，則下列結(jié)論正確的是( ) a.(ra)bx|x1 b.abx|1x0 c.a(rb)x|x0 d.abx|x2，rbx|x0， (ra)bx|x1，a項(xiàng)不正確. abx|1x0，b項(xiàng)正確，檢驗(yàn) c、d 錯(cuò)誤. 答案 b 6.已知集合 mx|y x1，nx|ylog2(2x)，則r(mn)( ) a.1，2) b.(，1)2，) c.0，1 d.(，0)2，) 解 析 由 題意可

17、 得 m x|x1， n x|x2 ，mn x|1x2 ，r(mn)x|x0，xr，則 ab_. 解析 由交集定義可得 ab1，6. 答案 1，6 10.已知集合 a1，3，4，7，bx|x2k1，ka，則集合 ab 中元素的個(gè)數(shù)為_. 解析 由已知得 b3，7，9，15， 所以 ab1，3，4，7，9，15， 故集合 ab中元素的個(gè)數(shù)為 6. 答案 6 11.已知集合 ax|x25x140，集合 bx|m1x2m1，若 ba，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為_. 11 / 13 解析 ax|x25x140 x|2x7. 當(dāng) b時(shí)，有 m12m1，則 m2. 當(dāng) b時(shí)，若 ba，如圖. 則m12，2m1

18、7，m12m1， 解得 2m4. 綜上，m的取值范圍為(，4. 答案 (，4 12.若全集 ur，集合 ax|x2x20，bx|log3(2x)1，則 a(ub)_. 解析 由題意，得集合 ax|x2x20 x|x1或 x2， 因?yàn)?log3(2x)1log33，所以 02x3， 解得1x2，所以 bx|1x2， 從而ubx|x1或 x2， 故 a(ub)x|x1或 x2. 答案 x|x1或 x2 b級(jí) 能力提升 13.(2020 福州檢測(cè))已知集合 ax|x2160，bx|3x26x1，則( ) a.ab b.ba c.ab0 d.ab 解析 由題意，得 ax|x2160 x|4x4，bx|

19、3 x26x10， 6，abx|x6 或4x4，ab0，故 a 錯(cuò)誤，顯然 b、d 錯(cuò)誤，故 c正確. 答案 c 14.已知集合 ax|y 4x2，bx|axa1，若 aba，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( ) a.(，32，) b.1，2 12 / 13 c.2，1 d.2，) 解析 集合 ax|y 4x2x|2x2， 因 aba，則 ba. 又 b，所以有a2，a12，所以2a1. 答案 c 15.(多填題)已知集合 axr|x2|3，集合 bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，則 m_，n_. 解析 axr|x2|3xr|5x1， 由 ab(1，n)，可知 m1， 則 bx|mx2，畫出數(shù)軸，可得 m1，n1. 答案 1 1 16.集合 ur，ax|x2x20，bx|yln(1x)，則圖中陰影部