高考數(shù)學一輪復習1 第1講　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1、1 / 12 第 1 講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 最新考綱 考向預測 通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義. 命題趨勢 兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，同時又能獨立地解決一些簡單的計數(shù)問題，在本章中占有十分重要的地位 核心素養(yǎng) 數(shù)學建模 兩個計數(shù)原理 兩個計數(shù)原理 目標 策略 過程 方法總數(shù) 分類加法計數(shù)原理 完成一件事 有兩類不同的方案 在第 1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 nmn種不同的方法 分步乘法計數(shù)原理 需要兩個步驟 做第 1 步有 m種不同的方法，做第 2 步有 n種不同的方法 nmn種不同的方法

2、 特別提醒 1分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類 2分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成” 常見誤區(qū) 2 / 12 1應用兩個計數(shù)原理首先要弄清楚先分類還是先分步 2分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準 3分步要做到“步驟完整”，步步相連 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事( ) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的( ) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事件是分兩

3、步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2已知某公園有 4 個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為( ) a16 b13 c12 d10 解析：選 c.將 4 個門編號為 1，2，3，4，從 1 號門進入后，有 3 種出門的方式，共 3 種走法，從 2，3，4 號門進入，同樣各有 3 種走法，共有不同走法4312(種) 3(易錯題)從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有( ) a30 b20 c10 d6 解析：選 d.從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字

4、相加和為偶數(shù)可分為兩類，取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有 3 種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有 3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有 n336(種) 4書架的第 1 層放有 4 本不同的計算機書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，第 3 層放有 2 本不同的體育書從書架中任取 1 本書，則不同取法的種數(shù)為_ 解析：分三類：第一類，從第 1 層取一本書有 4 種取法，第二類，從第 23 / 12 層取一本書有 3 種，第三類，從第 3 層取一本書有 2 種取法共有 4329種不同的取法 答案：9 5某人有 3 個電子郵箱，他要發(fā) 5 封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有_種 解析：因為每封郵件選擇發(fā)送

5、的郵箱有 3 種不同的情況所以要發(fā) 5 封電子郵件，發(fā)送的方法有 3333335243(種) 答案：243 分類加法計數(shù)原理 題組練透 1甲、乙、丙三人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過 4 次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方法共有( ) a4種 b6種 c10 種 d16種 解析：選 b.分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有 3種方法(如圖)， 同理，甲先傳給丙時，滿足條件有 3種方法 由分類加法計數(shù)原理知，共有 336(種)傳遞方法 2橢圓x2my2n1(m0，n0)的焦點在 x 軸上，且 m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，則這樣的橢圓的個數(shù)為(

6、) a10 b12 c20 d35 解析：選 a.因為焦點在 x 軸上，mn，以 m的值為標準分類，由分類加法計數(shù)原理，可分為四類：第一類：m5時，使 mn，n有 4種選擇；第二類：m4 時，使 mn，n 有 3 種選擇；第三類：m3 時，使 mn，n 有 2 種選擇；第四類：m2 時，使 mn，n 有 1 種選擇故符合條件的橢圓共有 10個故選 a. 3如圖，從 a 到 o 有_種不同的走法(不重復過一4 / 12 點) 解析：分三類：第一類，直接由 a到 o，有 1種走法； 第二類，中間過一個點，有 abo和 aco 2種不同的走法； 第三類，中間過兩個點，有 abco 和 acbo 2

7、種不同的走法 由分類加法計數(shù)原理可得共有 1225(種)不同的走法 答案：5 4在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_ 解析：根據題意，將十位上的數(shù)字按 1，2，3，4，5，6，7，8 的情況分成8 類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有 8 個，7 個，6 個，5 個，4 個，3 個，2 個，1個 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有 8765432136(個) 答案：36 分類加法計數(shù)原理的兩個條件 (1)根據問題的特點能確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類 (2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有

8、滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理 題組練透 1一個小朋友從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 10 個數(shù)字中選取 3 個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，則他寫出的三位數(shù)的個數(shù)有( ) a1 000 b900 c720 d648 解析：選 d.分三個步驟：第一步確定百位數(shù)字，有 9 種方法，第二步確定十位數(shù)字，有 9 種方法，第三步確定個位數(shù)字，有 8 種方法，所以由分步乘法計數(shù)原理得他寫出的三位數(shù)有 998648(個) 5 / 12 2如圖，小明從街道的 e處出發(fā)，先到 f處與小紅會合，再一起到位于 g處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑的條數(shù)

9、為( ) a24 b18 c12 d9 解析：選 b.由題意可知 ef 共有 6 種走法，fg 共有 3 種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有 6318 種走法，故選 b. 3有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法 解析：每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有 6 種選法，第二個項目有 5 種選法，第三個項目有 4 種選法，根據分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有 654120(種) 答案：120 4如圖，某電子器件由 3 個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有 6 個焊接點 a，b，c，d，e，f，如果焊接點脫落，整個

10、電路就會不通現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有_種 解析：因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有 26163種可能情況 答案：63 利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略 (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的 (2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務，根據分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總方法數(shù) 提醒 分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成 6 / 12 兩個計數(shù)原理的綜合應用 (1)生產過程中有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等

11、6 名工人中安排 4 人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排 1 人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排 1 人，則不同的安排方案共有( ) a24種 b36種 c48種 d72種 (2)如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(用數(shù)字作答) 【解析】 (1)分兩類：第一道工序安排甲時有 114312(種)；第一道工序不安排甲時有 124324(種)所以共有 122436(種)故選 b. (2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有 8432(個) 第二類，有兩條公共邊的三角形共有 8個 由分類加法計數(shù)

12、原理知，共有 32840(個) 【答案】 (1)b (2)40 完成一件事的方法種數(shù)的計算步驟 第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的； 第二步，分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種； 第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)； 第四步，根據分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù) 1用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比 40 000大的偶數(shù)共有( ) 7 / 12 a144個 b120 個 c96個 d72個 解析：選 b.首位為 5，末位為 0：43224(個)；首位為 5，末位為2：43224(

13、個)；首位為 5，末位為 4：43224(個)；首位為 4，末位為 0：43224(個)；首位為 4，末位為 2：43224(個)由分類加法計數(shù)原理，得共有 2424242424120(個)故選 b. 2如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與該平面構成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是_ 解析：分類討論：第 1 類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有 21224(個)；第 2 類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有 12個所以正方體中“正交

14、線面對”共有 241236(個) 答案：36 a級 基礎練 1教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有( ) a10種 b25種 c52種 d24種 解析：選 d.由題意可知共分 4 步，每相鄰的兩層之間各有 2 種走法由分步乘法計數(shù)原理可知，共有 24種不同的走法 2小王有 70 元錢，現(xiàn)有面值分別為 20 元和 30 元的兩種 ic 電話卡若他至少買一張，則不同的買法共有( ) a7種 b8種 c6 種 d9 種 解析：選 a.要完成的“一件事”是“至少買一張 ic 電話卡”，分 3 類完成：買 1 張 ic 電話卡、買 2 張 ic 電話卡、買 3 張 ic 電話卡，而每

15、一類都能獨立完成“至少買一張 ic 電話卡”這件事買 1 張 ic 電話卡有 2 種方法，買 2張 ic 電話卡有 3 種方法，買 3 張 ic 電話卡有 2 種方法不同的買法共有 2327(種)故選 a項 3已知兩條異面直線 a，b 上分別有 5 個點和 8 個點，則這 13 個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( ) 8 / 12 a40 b16 c13 d10 解析：選 c.分兩類情況討論：第 1 類，直線 a 分別與直線 b 上的 8 個點可以確定 8 個不同的平面；第 2 類，直線 b 分別與直線 a 上的 5 個點可以確定 5個不同的平面根據分類加法計數(shù)原理知，共可以確定 8513 個不同

16、的平面 4直線 l：xayb1 中，a1，3，5，7，b2，4，6，8若 l 與坐標軸圍成的三角形的面積不小于 10，則這樣的直線的條數(shù)為( ) a6 b7 c8 d16 解析：選 b.l 與坐標軸圍成的三角形的面積為 s12ab10，即 ab20. 當 a1時，不滿足；當 a3時，b8，即 1條 當 a5，7時，b4，6，8，此時 a 的取法有 2 種，b 的取法有 3 種，則直線 l 的條數(shù)為 236.故滿足條件的直線的條數(shù)為 167.故選 b. 5某校為了慶祝中華人民共和國成立 70 周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有 9 個節(jié)目已經排好順序，又有 3 個新節(jié)目需要加進去，不改變原來的順序，

17、則新節(jié)目單的排法有( ) a12種 b27種 c729種 d1 320種 解析：選 d.第一步：9 個節(jié)目空出 10 個位置，可以加入 1 個新來的節(jié)目，所以加入一個新節(jié)目有 10種方法， 第二步：從排好的 10 個節(jié)目空出的 11 個位置中，加入第 2 個新節(jié)目，有11 種方法， 第三步：從排好的 11 個節(jié)目空出的 12 個位置中，加入第 3 個新節(jié)目，有12 種方法， 所以由分步乘法計數(shù)原理得加入 3 個新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有1011121 320(種) 6如圖所示，在 a，b 間有四個焊接點 1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，今發(fā)現(xiàn) a，b之間電路不通，則焊接點脫落的

18、情況共有( ) 9 / 12 a9種 b11種 c13 種 d15種 解析：選 c.按焊接點脫落的個數(shù)分類：脫落 1 個，有 1，4，共 2 種；脫落2 個，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共 6種；脫落 3個，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共 4 種；脫落 4 個，有(1，2，3，4)，共 1 種由分類加法計數(shù)原理知，共有 264113(種)故選c項 7從集合1，2，3，4，10中，選出 5 個數(shù)組成子集，使得這 5 個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于 11，則這樣的子集有( ) a32個 b34個 c36個 d38個

19、解析：選 a.將和等于 11 的數(shù)放在一組：1和 10，2和 9，3和 8，4和 7，5和 6.從每一小組中取一個，有 c122種，共有 2222232個子集 8如圖所示，用 4 種不同的顏色涂入圖中的矩形 a，b，c，d中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有( ) a256種 b128 種 c72種 d64種 解析：選 c.方法一：首先涂 a有 4種涂法，則涂 b有 3種涂法，c與 a，b相鄰，則 c 有 2 種涂法，d 只與 c 相鄰，則 d 有 3 種涂法，所以共有432372種涂法 方法二：按要求涂色至少需要 3 種顏色，故分兩類：一是 4 種顏色都用，這時 a 有 4 種涂法，b

20、 有 3 種涂法，c 有 2 種涂法，d 有 1 種涂法，共有432124 種涂法；二是用 3 種顏色，這時 a，b，c 的涂法有 43224 種，d 只要不與 c 同色即可，故 d 有 2 種涂法，所以不同的涂法共有 2424272(種) 9從班委會 5 名成員中選出 3 名，分別擔任班級學生委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有_種(用10 / 12 數(shù)字作答) 解析：第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔任，所以從剩下的 3人中選 1人擔任文娛委員，有 3種選法 第二步，從剩下的 4 人中選學習委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學習委員有 4 種選

21、法，再選體育委員有 3 種選法由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有 34336(種) 答案：36 10工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓若按一定順序將每個螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的 2個螺栓則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是_ 解析：根據題意，第一個可以從 6 個螺栓里任意選一個，共有 6 種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選 1 號螺栓，第二個可以選 3，4，5 號螺栓，依次選下去，共可以得到 10 種方法，所以總共有 10660(種)方法，故答案是 60. 答案：60 11如果把個位數(shù)是 1，且恰有 3 個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由 1，2，3

22、，4 四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個 解析：當組成的數(shù)字有三個 1，三個 2，三個 3，三個 4 時共有 4 種情況當有三個 1 時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有 9 種，當有三個 2，3，4 時：2221，3331，4441，有 3 種，根據分類加法計數(shù)原理可知，共有 12 種結果 答案：12 12已知abc 三邊 a，b，c 的長都是整數(shù)，且 abc，如果 b25，則符合條件的三角形共有_個 解析：根據三邊構成三角形的條件可知，c25a. 第一類：當 a1，b25 時，c 可取 25，共 1個值； 第二類

23、，當 a2，b25 時，c 可取 25，26，共 2個值； 11 / 12 當 a25，b25時，c 可取 25，26，49，共 25個值； 所以三角形的個數(shù)為 1225325. 答案：325 b級 綜合練 13(2020 鄭州質檢)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為( ) a72 b120 c192 d240 解析：選 d.將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應為偶數(shù)，(1)若末位數(shù)字為 2，因為含有 2 個 4，所以有54321260(種)情況；(2)若末位數(shù)字為 6，同理有 60 種情況；(3)若末位數(shù)字為 4，因為有兩個相同數(shù)字 4，所以共有 54321120(種)情況綜上，共有 6060120240(種)情況 14(2020 北京市朝陽區(qū)模擬)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的44 小方格中，每格內只填入一個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有( )