大學線性代數(shù)第六講

1、第二章 線性方程組§2.1 向量的線性相關性一、向量的定義及運算定義 由n個數(shù) 構成的n元有序數(shù)組稱為n元向量，記為（），其中稱為該向量的第i個分量。定義 設，。 若s=t且 (i=1, 2, , s)，則稱向量與相等，記為=。注意：行向量：（） 列向量：，也可記為 。定義 (1) 設，是兩個n元向量，則稱下列向量為向量與的和，記為 + ； （2）設是n元向量，k是數(shù)，稱下列向量為數(shù)k與向量的數(shù)量乘積，記為。例 設 是任一n元向量，則0 =（0, 0, , 0） 我們稱分量全為零的向量（0, 0, , 0）為零向量，記為；稱向量為向量的負向量，記為。性質 設、是任意三個n元向量，k、

2、l是任意兩個數(shù)，則有(1) + = + (2) ( + ) + = + ( + )(3) + = （ 是n元零向量）(4) + () = (5) 1 = (6) (kl) = k(l)(7) (k + l) = (k + l)(8) k( + ) = k + l另外，若，則或。有惟一解：。二、向量的線性相關性三個基本概念定義 設 是m個n元向量，k1, k2, km是任意m個數(shù)，稱下列向量是向量組 的一個線性組合。此時，也稱向量可由向量組 線性表出。例 一個向量 的線性組合_。 例 向量組 能否線性表出？例 已知向量，問：能否由 線性表出？解 設則有 由此得 （存在 使成立 它們使成立。即 可

3、由 線性表出 線性方程組有解。） 經(jīng)驗證，有解，故 可由 線性表出。結論： 線性表出 非齊次方程組有解 表示法唯一 解唯一定義 設 是m個元向量。若存在m個不全為零的數(shù) ，使得則稱向量組 線性相關。不線性相關的向量組稱為線性無關。例 設 與是兩個2元實向量，則 ，線性相關 與共線。例 設 與是兩個n元向量，則 ，線性相關 與對應分量成比例。例2.1.5 一個向量 線性相關 。例2.1.6 證明向量組 線性相關。證明 設 則有 （存在不全為零的 使成立 它們也使成立，即 線性相關 齊次線性方程組有非零解。）經(jīng)驗證，方程組有非零解，故線性相關。線性無關： 不存在不全為零的數(shù) ，使得 對任意不全為零

4、的數(shù) ，均有 由 必可導出結論：線性相關 齊次線性方程組有非零解； 線性無關 齊次線性方程組無非零解。例 指出向量組的線性相關性。解 令，則有 因方程的個數(shù) < 未知數(shù)的個數(shù)，故上述齊次線性方程組有非零解。于是，, 線性相關。例2.1.7 m個n元向量（m > n）線性相關。例 已知向量組線性無關。令，問：是否線性相關？解 令，則有因 線性無關，故 又上述方程組只有零解： 。由此得 線性無關。例2.1.4 在一個向量組中，如果有一個部分組（即由其中一部分向量構成的向量組）線性相關，則整個向量組也線性相關。例 包含零向量的向量組線性相關。例 已知 是三個4元向量，令證明：若 線性無關

5、，則 也線性無關。證明：令 ，則有 （1） （2）由 式(1)得， （3）已知 線性無關，故由 式(3)得 所以，線性無關。問題：(1) 由 線性相關是否可得出 也線性相關？(2) 由 的線性相關性能對 ,的線性相關性做出那些判斷？(3)上述討論是否可在向量個數(shù)、向量元數(shù)等方面一般化？定理2.1.1 向量組 線性相關的充分必要條件是：至少存在一個 可由其余向量線性表出。例2.1.9 設 是n個n元向量，稱之為n元基本向量組，則 線性無關；對任一n元向量，均有 線性相關，且 可由 線性表出。定理2.1.2 設向量組 線性無關，而向量組 ,線性相關，則 可由 線性表出且表示法唯一。證明 ,線性相關

6、 存在不全為零的數(shù) ，使 若，則且 不全為零。由此得 線性相關，與假設矛盾，故 。于是，即 可由 線性表出。 設則 因 線性無關，故 即所以，表示法唯一。例 已知向量組 線性相關，向量組線性無關。問 能否由 線性表出？法一 因為向量組 線性無關，故其部分組也線性無關。由向量組 線性相關，所以 可由線性表出。 法二 因為向量組 線性相關，故存在不全為零的三個數(shù) ，使 （1）若 ，則 不全為零，并且 由此得 線性相關。這與已知條件“線性無關”相矛盾。所以，。于是由（1）式得即 可由 線性表出。定義 設 與 是兩組n元向量，若每個 均可由 線性表出，則稱向量組可由向量組線性表出。若向量組與向量組可相互線性表出，則稱向量組與向量組等價，記為例2.1.11 討論下列向量之間的關系：(1) 與 (2) 與 例 一個向量組可線性表出它的任意一個部分組。性質 向量組的等價具有(1)自反性：；(2)對稱性：若，則；(3)傳遞性：若，則定理2.1.3 設 是一組n元