一元二次方程韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)+答案

1、韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題一、填空題1、關(guān)于 x 的方程 2x2 3x m 0 ，當(dāng) 時，方程有兩個正數(shù)根；當(dāng) m時，方程有一個正根，一個負(fù)根；當(dāng) m時，方程有一個根為 0。2、已知一元二次方程 2x2 3x 1 0的兩根為 x1、x2，則 x1 x23、如果 x1， x2 是方程 x2 5x 6 0 的兩個根，那么 x1 x2 4、已知 x1， x2是方程 x2 6x 3 0 的兩實數(shù)根，則 x2 x1 的值為x1 x25、設(shè) x1、 x2 是方程 2x2 4x 3 0的兩個根，則 (x1 1)(x2 1) 6、若方程 2x2 4x 3 0的兩根為 、 ，則 a2 2a 217、已知 x

2、1、 x2是關(guān)于 x的方程 (a 1)x2 x a2 1 0的兩個實數(shù)根，且 x1 x21 ，則 3 x1 x2 8、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2 4x 6 0的兩根為 x1和 x2 ，且 x1 x2 2，則 m， x1 x2。9、若方程 2x2 5x k 0的兩根之比是 2：3，則 k10、如果關(guān)于 x的方程 x2 6x k 0的兩根差為 2，那么k。11、已知方程 2x2 mx 4 0 兩根的絕對值相等，則 m 。12、已知方程 x2 mx 2 0 的兩根互為相反數(shù)，則 m 。13、已知關(guān)于 x的一元二次方程 (a2 1)x2 (a 1)x 1 0 兩根互為倒數(shù)，則 a。14、已知

3、關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 2(m 1)x m2 0 。若方程的兩根互為倒數(shù)，則m ；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則 m 。15、一元二次方程 px2 qx r 0 (p 0)的兩根為 0 和 1，則 p:q。16、已知方程 3x2 x 1 0 ，要使方程兩根的平方和為 ，那么常數(shù)項應(yīng)改9 為。17、已知方程 x2 4x 2m 0 的一個根 比另一個根 小4，則；m。18、已知關(guān)于 x的方程 x2 3x k 0的兩根立方和為 0，則 k19、已知關(guān)于 x的方程 x2 3mx 2（m 1） 0的兩根為 x1、x2，且 1 1 3 ，則 x1 x24m。20、若方程 x2 4x m 0

4、與 x2 x 2m 0有一個根相同，則 m 。 21、一元二次方程 2x2 3x 1 0 的兩根與 x2 3x 2 0 的兩根之間的關(guān)系 是。22、請寫出一個二次項系數(shù)為 1，兩實根之和為 3 的一元二次方程： 23、已知一元二次方程的兩根之和為 5 ，兩根之積為 6 ，則這個方程為24、若 、 為實數(shù)且 | 3| （2）2 0 ，則以 、 為根的一元二次方程為。（ 其中二次項系數(shù)為 1）25、求作一個方程，使它的兩根分別是方程 x2 3x 2 0 兩根的二倍，則所求的方程 為。二、解答題1、已知 m， n 是一元二次方程 x2 2x 5 0 的兩個實數(shù)根，求 2m2 3n2 2m 的值2、設(shè)

5、 x1、 x2是方程 2x2 4x 1 0的兩個根，求 |x1 x2 | 的值3、已知 x1、 x2是方程 x2 2x a 0的兩個實數(shù)根，且 x1 2x2 3 2 （1）求 x1、 x2及 a的值；（2）求 x13 3x12 2x1 x2的值4、已知 x1、 x2是一元二次方程 x2 mx n 0 的兩個實數(shù)根，且 x12 x22 (x1 x2)2 3 ，2222 22 5，求 m和 n的值。 x12 x225、已知 a2 1 a，b2 1 b，且 a b，求(a 1)(b 1)的值。6、設(shè)： 3a2 6a 11 0，3b2 6b 11 0且a b，求 a b的值。7、已知： 、 是關(guān)于 x

6、 的二次方程： (m 2)x2 2(m 4)x m 4 0的兩個不等實根。(1) 若m為正整數(shù)時，求此方程兩個實根的平方和的值； (2) 若 2 2 6時，求 m的 值。8、已知關(guān)于 x的二次方程 x2 mx 1 0的一個根是 2 1，求另一個根及 m 的值9、已知方程 5x2 mx 10 0的一根是 5，求方程的另一根及 m的值。10、已知 2 3 是 x2 4x k 0 的一根，求另一根和 k 的值。11、(1) 方程 x2 3x m 0 的一個根是 2 ，則另一個根是 。(2) 若關(guān)于 y的方程 y2 my n 0的兩個根中只有一個根為 0，那么 m、n應(yīng)滿足。12、如果 x 1是方程

7、2x2 3mx 1 0 的一個根，則 m，另一個根為。13、已知關(guān)于 x的方程 2x2 5x m 的一個根是 2，求它的另一個根及 m 的值。14、已知關(guān)于 x的方程3x2 1 tx的一個根是 2，求它的另一個根及 t的值。15、在解方程 x2 px q 0時，小張看錯了 p ，解得方程的根為 1與3；小王看錯了 q ，解得方程的根為 4與2。這個方程的根應(yīng)該是什么 ?16、已知一元二次方程 8y2 (m 1)y m 5 0 。(1) m 為何值時，方程的一個根為零 ?(2) m 為何值時 ，方程的兩個根互為相反數(shù) ?(3) 證明：不存在實數(shù) m ，使方程的兩個相互為倒數(shù)。17、方程 x2 3

8、x m 0 中的 m 是什么數(shù)值時，方程的兩個實數(shù)根滿足：(1) 一個根比另一個根大 2；(2) 一個根是另一個根的 3倍；(3) 兩根差的平方是 17。18、已知一元二次方程 8x2 (2m 1)x m 7 0 ，根據(jù)下列條件，分別求出 m 的值：(1) 兩根互為倒數(shù)；(2) 兩根互為相反數(shù)；(3) 有一根為零；(4) 有一根為 1；20、已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2 mx 12 0的兩根之差為 11，求 m的值。21、已知關(guān)于 x的二次方程 x2 2(a 2)x a2 5 0 有實數(shù)根， 且兩根之積等于兩根之和的 2倍，求 a 的值。22、已知方程 x2 bx c 0 有兩個不相等的正

9、實根， 兩根之差等于 3，兩根的平方和等于 29，求 b、c 的值。23、已知關(guān)于 x的方程 2x2 (m 1)x m 1 0的兩根滿足關(guān)系式 x1 x2 1，求 m 的值及兩 個根。24、已知關(guān)于 x的方程 x2 (k 1)x k 2 0的兩個實數(shù)根的平方和等于 6，求k的值25、 、 是關(guān)于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 x 1 0 的兩個實數(shù)根， 且滿足 ( 1)( 1) m 1，求實數(shù) m 的值26、 是關(guān)于 x 的方程 4x2 4mx m2 4m 0 的兩個實根， 并且滿足 ( 1)( 1) 1 9 ，求 m 的值。10027、已知： 、 是關(guān)于 x 的方程 x2 (m 2)x

10、 1 0的兩根，求 (1 m2)(1 m2) 的值。28、已知關(guān)于 x的方程 x2 2(m 2)x m2 0，問：是否存在正實數(shù) m ,使方程的兩個實數(shù)根 的平方和等于 56，若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由 .29、關(guān)于 x 的一元二次方程 3x2 (4m2 1)x m(m 2) 0的兩實根之和等于兩個實根的倒數(shù)和，求 m 的值30、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0( a 0) 的兩根之比為 2 : 1，求證： 2b2 9ac 。31、已知方程 x2 mx 4 0和 x2 (m 2)x 16 0有一個相同的根，求 m 的值及這個相同 的根。32、已知關(guān)于 x 的

11、一元二次方程 ax2 bx c 0 的兩根為 、 ，且兩個關(guān)于 x 的方程x2 ( 1)x 2 0與 x2 ( 1)x 2 0有唯一的公共根，求 a、 b、 c的關(guān)系式。33、已知 x1 、 x2是關(guān)于 x的方程 x2 px q 0的兩根 x1 1、x2 1是關(guān)于 x的方程 x2 qx p 0 的兩根，求常數(shù) p、q 的值。34、已知方程 x2 mx 12 0 的兩實根是 x1 和 x2，方程 x2 mx n 0 的兩實根是 x1 7和 x2 7 ，35、已知 2s2 4s 7 0求m和n 的值。7t2 4t 2 0， s、 t為實數(shù)，且 st 1. 求下列各式的值：st 1(1) stt 1

12、 ； (2)3st 2s 3。t36、已知 x1、 x2是關(guān)于 x的方程 x2 m2x n 0的兩個實數(shù)根； y1、 y2是關(guān)于 y 的方程y2 5my 7 0的兩個實數(shù)根，且 x1 y1 2, x2 y2 2，求 m、n的值。37、關(guān)于 x的方程 m2x2 (2m 3)x 1 0 有兩個乘積為 1的實根，x2 2(a m)x 2a m2 6m 4 0有大于 0 且小于 2 的根，求 a的整數(shù)值。38、已知關(guān)于 x 的方程 mx2 nx 2 0 兩根相等，方程 x2 4mx 3n 0的一個根是另一個根 的3倍。求證：方程 x2 (k n)x (k m) 0 一定有實數(shù)根。39、已知關(guān)于 x 的

13、一元二次方程 x2 (4m 1)x 2m 1 0 (1) 求證：不論 m 為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；1 1 1(2) 若方程兩根為 x1、 x2 ，且滿足 1 11，求 m 的值x1 x2 2140、關(guān)于 x的方程 x2 2mx 1n2 0，其中 m 、 n分別是一個等腰三角形的腰長和底邊4 長。(1) 求證：這個方程有兩個不相等的實根；(2) 若方程兩實根之差的絕對值是 8，等腰三角形的面積是 12，求這個三角形的周長。41、已知關(guān)于 y 的方程 y2 2ay 2a 4 0 。(1) 證明：不論 a 取何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) a 為何值時，方程的兩根之差的

14、平方等于 16?42、已知方程 2x2 5mx 3n 0 的兩根之比為 2:3，方程 x2 2nx 8m 0的兩根相等( mn 0) 。求證：對任意實數(shù) k，方程 mx2 (n k 1)x k 1 0恒有實數(shù)根。43、如果關(guān)于 x 的實系數(shù)一元二次方程 x2 2(m 3)x m2 3 0 有兩個實數(shù)根 、 ， 那么 ( 1)2 ( 1)2 的最小值是多少 ?44、已知方程 x2 ax b 0 的兩根為 x1、 x2，且 4x1 x2 0 ，又知根的判別式25，求a、b 的值。45、求一個一元二次方程，使它的兩個根是 2 6 和2 6 。46、已知方程 x2 5x 7 0 ，不解方程，求作一個一

15、元二次方程，使它的兩個根分別是已 知方程的兩個根的負(fù)倒數(shù)。2b 2aab47、已知方程 2x2 3x 3 0的兩個根分別為 a 、 b ，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個一元 次方程 ，使它的兩個根分別是： (1) a 1、 b 1 (2)48、已知兩數(shù)之和為 7，兩數(shù)之積為 12，求這兩個數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于 6，這兩數(shù)的積是 4，求這兩數(shù)。50、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為 6cm，面積為 7cm2 ，求這個直角三角形斜邊的2長。51、已知關(guān)于 x 的方程 x2 (2a 1)x 4(a 1) 0的兩個根是斜邊長為 5的直角三角形的兩條直角邊的長，求這個直角三角形的面積。52、試確定使

16、 x2 (a b)x a 0的根同時為整數(shù)的整數(shù) a 的值53、已知一元二次方程 （2k 3）x2 4kx 2k 5 0，且 4k 1是腰長為 7 的等腰三角形的底 邊長，求：當(dāng) k 取何整數(shù)時，方程有兩個整數(shù)根。54、已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2 2x p2 0有兩個實根 x1和x2（ x1 x2 ） ，在數(shù)軸上，表 示 x 2的點在表示 x1的點的右邊，且相距 p 1，求 p 的值。答案一、填空題91、0 m; ;82、63、104、105、-16、-2 ; -87、38、89、010、011、2 （ 2舍去 ）12、-1 （ 1舍去 ） ;1 3 （ 1 3舍去 ）13、114、-2

17、15、-4; 0; 016、317、3 或 018、互為倒數(shù)二、解答題1、 m2 2m 5、 n2 2n 5原式 2m2 3n2 2m 6m 6n 25 372、 |x1 x2 | (x1 x2)2 4x1x223、1）x1 x2 2 x1x2 ax1 2x2 3 2x1 1 2解之 x2 1 2 a12) x12 2x1 1 ；原式 x1 x2 1 14、2(x1 x2)2 2x1x2 2m 2n 3 x1 x2m、x1x2 n， 2(x1 x2)2 2x1x2 2(m 2n)(x1x2)2n2 5m1解之 m 2 或n15、6、7、8、9、10、211035（ 舍去 ）nm(a 1)(b

18、1) ab (a b) 1 1a b 2 3420 m 4，且 m 21)m 1時，x2 6x 3 0 ，2) 2 2 ( )2 22230 ；m 3 時，x2 2x 1 0 ， 2 2 6；6，即2(m 4) 2 m22m4m26，化簡得 m2 m 6 0 ，解得 m1 3， m2 21） 3 2 ； （2） n 0且m 0；1 12q 1 ( 3) 3 所以原方程為 x2 2x 3 0 ， p 4 ( 2) 2解得 x1 1， x2 316、（1）方程的一個根為 0，即 c 0 ，此時 m 5；2）方程的兩根互為相反數(shù)，即 b 0，此時 m 1；3）方程的兩根互為倒數(shù)，即 a c ，此時

19、m 13，原方程為 8y2 14y 8 0，60 0 )x1 x23 52717、 1 2（1）m 5 ； （2） m 27 ； （3）m 2x1x2 m 41618、（1）方程的兩根互為倒數(shù)，即 a c ，此時 m 15，4（m 7）2 176 01（2）方程的兩根互為相反數(shù)，即 b 0，此時 m 1；2（3）方程的一個根為 0，即 c 0，此時 m 7 ；（4）方程的一個根為 1，此時 8 2m 1 m 7 0 ；解得 m 0；19、20、x1 x2 mx1 12x1x2 12 ，解之 x2 1x1 x2 11 m 1321、 09 a 4 ，由題意可得x1 x2 2(a 2)x1x2a2

20、即 a 5 4(a 2) ，解得 a 1 或 a 3x1x2 2 x1 x2舍）0 b 722、不相等的兩正根，則b 0 ，由題意解得c 10 c02 2 m 1 2 m 123、 (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 ( 2 )2 4 2 1即 m2 10m 11 (m 11)(m 1) 0當(dāng) m 11時， x2 5x 6 0 ，解得 x 2或3;當(dāng) m 1時， x2 x 0 ，解得 x 0或 124、2x1x22(x1x2)22x1x2(k1)22(k 2)6，化簡得 k29 0 ，所以 k3或k325、( 1)( 1) 1 m 1 ，舍）111 1m，解得 m 1或 m 2(舍

21、)m 1 m 126、( 1)( 1) 1 ( ) m 4m4m 10舍)29、x1x2 1 1 x1 x2 即 (x1 x2)(1 1 ) 0 x1x2x1x2x1x2當(dāng) x1 x2 0 時，114m2 1 0，解得 m或m(舍) ;2當(dāng) x1 x2 0 時，1 10，x1x2 m(m 2)x1x231，解得 m 3或m 1(舍) ;綜上所述， m 1 或 m 3230、不妨設(shè) x1 2x2 ，則有bx1 x23x2a， c2 x1x22x2a1) 得 b 9， 即 2b2 9ac2) ac 2方法一：-得： (2m 2)x 20 0，即mx x 10代入中得： x2 x 6 0，解得 x1

22、 3、 x213 4當(dāng) x 3 時， m 13 ，方程的解為 3、 4 ;33當(dāng) x 2時， m 4 ，方程的解為 2、2; 方程的解為 2、 8，符合題意；13綜上所述，當(dāng) m 13時相同根為 3； 當(dāng) m 4時相同根為 2；316方程的解為 3、136 ，符合題意；3方法二：10-得： (2m 2)x 20 0，即 x 10 1m2代入中得： (110m)2 110mm 4 0，化簡為 3m2 m 52 0，解得m 13 或 m 4332、13當(dāng) m時由，相同根為 3 ； 當(dāng) m 4 時相同根為 2 ；3代入中化簡得：2( )2 0，即 2 b c b 0，a a a-得： ()x ( 2

23、 2) 0 ，由題意得，所以 x2b2 ac ab34、 m 7， n 54 2 4135、7t2 * 4t 2 0 ，兩邊同除 t2得 22 4 7 0，所以 s、1是同一方程 2x2 4x 7 0的兩 t 2 tt根。1)2)st 1 s 1 2 ；tt3st 2s 3 3 s 73s 2 3 ( 2) 2 ( ) 1t t 236、因為 x1y12、 x2y22 ，兩式相加得：(x1x2)(y1y2)4即 ( m2 ) ( 5m) 4 ，整理得 m2 5m 4 0 ，解得 m 4或m 1(舍)137、方程有兩個乘積為 1的實根， x1x2 12 1，解得 m 1或m 1(舍) m2當(dāng) m

24、 1時，方程化為 x2 2(a 1) x 2a 1 0即 ( x 1) x (2a 1) 0解得 x1 (2a 1)，x21 (不符合題意，舍去)21所以 0 (2a 1) 2，解得 2 a 1 ；又 a是整數(shù)， a 13238、方程有兩根相等，n 2 8m 0、且 m 0方程中不妨設(shè) x1 3x2 ，則有x1 x2b 4x2a1)b216m2c2 x1 x23x2a2)ac3n16，即 m23綜上， m 2、n 4 ；此時原方程化為 x2 (k 4) x k 2 0(k 4)2 4 (k 2) (k 2)2 20 0 ，所以該方程一定有實數(shù)根。39、(1) (4m 1)2 4 (2m 1)

25、16m2 5 0 ，所以該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；2)11x1 x2(4 m 1) 1x1 x22m 1 22) |x1 x2 | (x1 x2)2 4x1x24m2 n2S 12 n41、解得 n 6， m 5 ，所以三角形周長 C 2m n 161)( 2a)2 4 ( 2a 4) 4(a 1)2 12 0，所以該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；2) (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 (2a)2 4 ( 2a 4) 16 ，解得 a 0，或a 242、方程不妨設(shè) x1 2 x2 ，3則有b5x1 x2a 3x2， (1)2得 b2 25m2，得c 2 2( 2) ac6nx1x2x2a325 ，即 m2 n6方程中有兩根相等，4n2 4 8m 0，即 n2 8m綜上， m 2、n 4 ；此時原方程化為 2x2 (3 k)x k 1 0(3 k)2 4 2 (k 1) (k 1)2 0 ，所以該方程一定有實數(shù)根。43、2 2(m 3)， 4(m 3)2 4(m2 3) 24m 24 0，即 m 1 m2 3原式 ()2 2 2( ) 2 4(m 3)2 2(m2 3) 2(m 3) 2 2(m 7)2 54當(dāng) m 1時，原式最小，為 2×36-54 1844、因為 4x1 x2 3x1 ( a) 0 ，即 x1 a ，代入原方程3a3 a a3