2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)理 (2)

1、1 / 10 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷) 數(shù)學(xué)(理科) 第卷(共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014 山東,理 1)已知 a,br,i 是虛數(shù)單位,若 a-i 與 2+bi 互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=( ). a.5-4i b.5+4i c.3-4i d.3+4i 答案:d 解析:由 a-i 與 2+bi 互為共軛復(fù)數(shù),可得 a=2,b=1. 所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i. 2.(2014 山東,理 2)設(shè)集合 a=x|x-1|

2、2,b=y|y=2x,x0,2,則 ab=( ). a.0,2 b.(1,3) c.1,3) d.(1,4) 答案:c 解析:由題意,得 a=x|x-1|2=x|-1x1,且 x0, 即 log2x1 或 log2x2 或 0 x12. 所以函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,12)(2,+). 4.(2014 山東,理 4)用反證法證明命題“設(shè) a,b 為實(shí)數(shù),則方程 x3+ax+b=0 至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是( ). a.方程 x3+ax+b=0 沒有實(shí)根 b.方程 x3+ax+b=0 至多有一個(gè)實(shí)根 c.方程 x3+ax+b=0 至多有兩個(gè)實(shí)根 d.方程 x3+ax+b=0 恰好有兩

3、個(gè)實(shí)根 答案:a 解析:因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒有,所以要做的假設(shè)是方程 x3+ax+b=0 沒有實(shí)根. 5.(2014 山東,理 5)已知實(shí)數(shù) x,y 滿足 axay(0a12+1 b.ln(x2+1)ln(y2+1) c.sin xsin y d.x3y3 答案:d 解析:由 axay(0ay. 又因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=x3在 r 上遞增, 所以 f(x)f(y),即 x3y3. 6.(2014 山東,理 6)直線 y=4x 與曲線 y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ). a.22 b.42 c.2 d.4 答案:d 2 / 10 解析:由 = 4, = 3,解得 x=-2

4、 或 x=0 或 x=2, 所以直線 y=4x 與曲線 y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形面積應(yīng)為 s= 20(4x-x3)dx=(22-144)|02=(2 22-14 24)-0=4. 7.(2014 山東,理 7)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn).所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kpa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組.下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有 20 人,第三組中沒有療效的有 6 人,則第三組中有療效的人數(shù)為( ). a.6 b.8 c

5、.12 d.18 答案:c 解析:設(shè)樣本容量為 n, 由題意,得(0.24+0.16)1n=20,解得 n=50. 所以第三組頻數(shù)為 0.36150=18. 因?yàn)榈谌M中沒有療效的有 6 人, 所以第三組中有療效的人數(shù)為 18-6=12. 8.(2014 山東,理 8)已知函數(shù) f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是( ). a.(0,12) b.(12,1) c.(1,2) d.(2,+) 答案:b 解析:畫出 f(x)=|x-2|+1 的圖象如圖所示. 由數(shù)形結(jié)合知識,可知若方程 f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根

6、,則函數(shù) g(x)與 f(x)的圖象應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 所以函數(shù) g(x)=kx 的圖象應(yīng)介于直線 y=12x 和 y=x 之間,所以 k 的取值范圍是(12,1). 9.(2014 山東,理 9)已知 x,y 滿足約束條件-1 0,2-3 0,當(dāng)目標(biāo)函數(shù) z=ax+by(a0,b0)在該約束條件下取到最小值 25時(shí),a2+b2的最小值為( ). a.5 b.4 c.5 d.2 答案:b 解析:約束條件-1 0,2-3 0滿足的可行域如圖中的陰影部分所示.由圖可知,目標(biāo)函數(shù) z=ax+by(a0,b0)取最小值時(shí),最優(yōu)解為(2,1). 3 / 10 所以 2a+b=25,則 b=25-2a,

7、 所以 a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5(-455)2+4, 即當(dāng) a=455,b=255時(shí),a2+b2有最小值 4. 10.(2014 山東,理 10)已知 ab0,橢圓 c1的方程為22+22=1,雙曲線 c2的方程為2222=1,c1與 c2的離心率之積為32,則 c2的漸近線方程為( ). a.x 2y=0 b.2x y=0 c.x 2y=0 d.2x y=0 答案:a 解析:由題意,知橢圓 c1的離心率 e1=2-2, 雙曲線 c2的離心率為 e2=2+2. 因?yàn)?e1e2=32, 所以(2-2)(2+2)2=32, 即(2-2)(2+2)4=34, 整理

8、可得 a=2b. 又雙曲線 c2的漸近線方程為 bx ay=0, 所以 bx 2by=0,即 x 2y=0. 第卷(共 100 分) 二、填空題:本大題共 5 小題,每小題 5 分,共 25 分. 11.(2014 山東,理 11)執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的 x 的值為 1,則輸出的 n 的值為 . 答案:3 解析:輸入 x=1,12-4+30, 則 x=2,n=1; 返回 22-8+30,則 x=3,n=2; 返回 32-12+30,則 x=4,n=3; 返回 42-16+30,則輸出 n=3,結(jié)束. 12.(2014 山東,理 12)在abc 中,已知 =tan a,當(dāng) a=6時(shí),abc

9、 的面積為 . 答案:16 解析:由 =tan a,可得| | |cos a=tan a. 因?yàn)?a=6,所以| | |32=33, 即| | |=23. 所以 sabc=12| | |sin a =122312=16. 13.(2014 山東,理 13)三棱錐 p-abc 中,d,e分別為 pb,pc 的中點(diǎn),記三棱錐 d-abe的體積為 v1,p-abc 的體積為v2,則12= . 4 / 10 答案:14 解析:由題意,知 vd-abe=va-bde=v1, vp-abc=va-pbc=v2. 因?yàn)?d,e分別為 pb,pc 中點(diǎn), 所以=14. 設(shè)點(diǎn) a到平面 pbc 的距離為 d,

10、則12=13d13d=14. 14.(2014 山東,理 14)若(2+)6的展開式中 x3項(xiàng)的系數(shù)為 20,則 a2+b2的最小值為 . 答案:2 解析:(2+)6的展開式的通項(xiàng)為 tr+1=c6(ax2)6-r()= c6a6-rbrx12-3r, 令 12-3r=3,得 r=3. 由c6a6-rbr=c63a3b3=20,得 ab=1. 所以 a2+b22ab=21=2. 15.(2014 山東,理 15)已知函數(shù) y=f(x)(xr).對函數(shù) y=g(x)(xi),定義 g(x)關(guān)于 f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(xi).y=h(x)滿足:對任意 xi,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)

11、,(x,g(x)關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對稱.若 h(x)是 g(x)=4-2關(guān)于 f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且 h(x)g(x)恒成立,則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 . 答案:(210,+) 解析:由已知得()+4-22=3x+b, 所以,h(x)=6x+2b-4-2. h(x)g(x)恒成立, 即 6x+2b-4-2 4-2恒成立, 整理得 3x+b4-2恒成立. 在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出直線 y=3x+b 及半圓 y=4-2(如圖所示),當(dāng)直線與半圓相切時(shí),|30-0+|1+32=2,所以|b|=210.故 b 的取值范圍是(210,+). 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75 分. 1

12、6.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,理 16)已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函數(shù) f(x)=a b,且 y=f(x)的圖象過點(diǎn)(12,3)和點(diǎn)(23,-2). (1)求 m,n 的值; (2)將 y=f(x)的圖象向左平移 (0)個(gè)單位后得到函數(shù) y=g(x)的圖象,若 y=g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為 1,求 y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 分析:在第(1)問中,可先根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算整理出 f(x)的解析式,再由圖象過兩點(diǎn),代入整理可得關(guān)于 m,n的方程組,利用此方程組即得 m,n 的值.在第(2)問中,通過圖象平移知識,

13、可得含參數(shù) 的 g(x)的解析式,從中設(shè)出最高點(diǎn),然后根據(jù)兩點(diǎn)距離為 1,可確定最高點(diǎn)的坐標(biāo),代入可求出 g(x)確定的解析式,從而求出單調(diào)區(qū)間. 解:(1)由題意知 f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x. 因?yàn)?y=f(x)的圖象過點(diǎn)(12,3)和(23,-2), 所以3 = msin6+ ncos6,-2 = sin43+ ncos43, 5 / 10 即3 =12m +32n,-2 = -32m-12n, 解得 m=3,n=1. (2)由(1)知 f(x)=3sin 2x+cos 2x =2sin(2 +6). 由題意知 g(x)=f(x+)=2sin(2 + 2 +6). 設(shè)

14、 y=g(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2), 由題意知02+1=1,所以 x0=0, 即到點(diǎn)(0,3)的距離為 1 的最高點(diǎn)為(0,2). 將其代入 y=g(x)得 sin(2 +6)=1, 因?yàn)?0,所以 =6. 因此 g(x)=2sin(2 +2)=2cos 2x, 由 2k-2x2k,kz,得 k-2xk,kz, 所以函數(shù) y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-2,k,kz. 17.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,理 17)如圖,在四棱柱 abcd-a1b1c1d1中,底面 abcd 是等腰梯形,dab=60 ,ab=2cd=2,m 是線段 ab的中點(diǎn). (1)求證:c1m平

15、面 a1add1; (2)若 cd1垂直于平面 abcd 且 cd1=3,求平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(銳角)的余弦值. 分析:在第(1)問中,可考慮線面平行的判定定理,即從平面 a1add1中找一條線與 c1m 平行,顯然可找線 ad1,再通過證明四邊形 amc1d1為平行四邊形來達(dá)到求證目的.在第(2)問中,方法一:可以點(diǎn) c 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面 c1d1m 和平面 abcd 的法向量,則兩法向量夾角的余弦的絕對值即為兩面夾角(銳角)的余弦值.方法二:平面 c1d1m 即為平面 abc1d1,則平面 c1d1m 與平面 abcd 所成角的棱為 ab,又已知

16、 cd1平面 abcd,故可過 c 向棱 ab作垂線,垂足為 n,連接 d1n,則可證d1nc 為二面角的平面角,進(jìn)而在 rtd1cn 中求d1nc 的余弦值即可. (1)證明:因?yàn)樗倪呅?abcd 是等腰梯形, 且 ab=2cd, 所以 abdc. 又由 m 是 ab的中點(diǎn), 因此 cdma且 cd=ma. 連接 ad1, 在四棱柱 abcd-a1b1c1d1中, 因?yàn)?cdc1d1,cd=c1d1, 可得 c1d1ma,c1d1=ma, 所以四邊形 amc1d1為平行四邊形. 因此 c1md1a, 又 c1m平面 a1add1,d1a平面 a1add1, 所以 c1m平面 a1add1.

17、6 / 10 (2)解法一:連接 ac,mc, 由(1)知,cdam 且 cd=am, 所以四邊形 amcd 為平行四邊形. 可得 bc=ad=mc, 由題意abc=dab=60 , 所以mbc 為正三角形, 因此 ab=2bc=2,ca=3, 因此 cacb. 以 c 為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 c-xyz. 所以 a(3,0,0),b(0,1,0),d1(0,0,3). 因此 m(32,12,0), 所以1 = (-32,-12,3),11 = = (-32,12,0). 設(shè)平面 c1d1m 的一個(gè)法向量 n=(x,y,z), 由d1c1 = 0,md1 = 0,得3x-y =

18、 0,3x + y-23z = 0, 可得平面 c1d1m 的一個(gè)法向量 n=(1,3,1). 又1 =(0,0,3)為平面 abcd 的一個(gè)法向量. 因此 cos=cd1 |cd1 |=55. 所以平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(銳角)的余弦值為55. 解法二:由(1)知平面 d1c1m平面 abcd=ab, 過 c 向 ab引垂線交 ab 于 n,連接 d1n. 由 cd1平面 abcd,可得 d1nab, 因此d1nc 為二面角 c1-ab-c 的平面角. 在 rtbnc 中,bc=1,nbc=60 , 可得 cn=32. 所以 nd1=12+ c2=152. 在 rtd1

19、cn 中,cosd1nc=1n=32152=55. 所以平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(銳角)的余弦值為55. 18.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,理 18)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分.如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域a,b,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域 c,d.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在 c 上記 3 分,在 d 上記 1 分,其他情況記 0 分.對落點(diǎn)在 a上的來球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在 c 上的概率為12,在 d 上的概率為13;對落點(diǎn)在 b上的來球,小明回球的落點(diǎn)在 c 上的概率為15,在 d 上的概率為35.假設(shè)

20、共有兩次來球且落在 a,b上各一次,小明的兩次回球互不影響.求: 7 / 10 (1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率; (2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和 的分布列與數(shù)學(xué)期望. 分析:第(1)問中,恰有一次落在乙上可分為兩種情況,第種,從 a擊球落在乙上,從 b擊球沒落在乙上;第種,從b擊球落在乙上,從 a 擊球沒落在乙上,將兩種情況的概率相加即為恰有一次落在乙上的概率.第(2)問中,根據(jù)事件的獨(dú)立性與互斥性,可得出,得 0 分情形為 a,b處都不得分;得 1 分情形為 a 處得 1 分 b處不得分或a處不得分 b處得 1 分;得 2 分情形為 a,b兩處各得 1 分;得 3

21、分情形為 a處得 3 分 b處得 0 分或 a處得 0分 b處得 3 分;得 4 分情形為 a處得 3 分 b處得 1 分或 a 處得 1 分 b處得 3 分;得 6 分情形為 a,b兩處都得3 分,共 6 種情形.列出小明得分之和 的分布列便可求出期望. 解:(1)記 ai為事件“小明對落點(diǎn)在 a上的來球回球的得分為 i 分”(i=0,1,3), 則 p(a3)=12,p(a1)=13,p(a0)=1-1213=16; 記 bi為事件“小明對落點(diǎn)在 b 上的來球回球的得分為 i 分”(i=0,1,3), 則 p(b3)=15,p(b1)=35,p(b0)=1-1535=15. 記 d 為事件

22、“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有 1 次的落點(diǎn)在乙上”. 由題意,d=a3b0+a1b0+a0b1+a0b3, 由事件的獨(dú)立性和互斥性, p(d)=p(a3b0+a1b0+a0b1+a0b3) =p(a3b0)+p(a1b0)+p(a0b1)+p(a0b3) =p(a3)p(b0)+p(a1)p(b0)+p(a0)p(b1)+p(a0)p(b3) =1215+1315+1635+1615=310, 所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有 1 次的落點(diǎn)在乙上的概率為310. (2)由題意,隨機(jī)變量 可能的取值為 0,1,2,3,4,6, 由事件的獨(dú)立性和互斥性,得 p(=0)=p(a0b0)=1615=130,

23、 p(=1)=p(a1b0+a0b1)=p(a1b0)+p(a0b1)=1315+1635=16, p(=2)=p(a1b1)=1335=15, p(=3)=p(a3b0+a0b3)=p(a3b0)+p(a0b3)=1215+1516=215, p(=4)=p(a3b1+a1b3)=p(a3b1)+p(a1b3)=1235+1315=1130, p(=6)=p(a3b3)=1215=110. 可得隨機(jī)變量 的分布列為: 0 1 2 3 4 6 p 130 16 15 215 1130 110 所以數(shù)學(xué)期望 e()=0130+116+215+3215+41130+6110=9130. 19.(本

24、小題滿分 12 分)(2014 山東,理 19)已知等差數(shù)列an的公差為 2,前 n 項(xiàng)和為 sn,且 s1,s2,s4成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)令 bn=(-1)n-14+1,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 tn. 分析:第(1)問中可利用等差數(shù)列知識,用首項(xiàng)與公差表示出前 n 項(xiàng)和,再根據(jù) s1,s2,s4成等比數(shù)列求出首項(xiàng),從而求得 an.求第(2)問時(shí),可結(jié)合第(1)問中 an的結(jié)果得出 bn的通項(xiàng)公式,最后對項(xiàng)數(shù) n 按奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論并求出 bn的前 n 項(xiàng)和 tn. 解:(1)因?yàn)?s1=a1,s2=2a1+2122=2a1+2, s4=4a1+4322=

25、4a1+12, 由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n-14+1=(-1)n-14(2-1)(2+1) =(-1)n-1(12-1+12+1). 8 / 10 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),tn=(1 +13) (13+15)+(12-3+12-1) (12-1+12+1)=1-12+1=22+1. 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),tn=(1 +13) (13+15)+-(12-3+12-1) + (12-1+12+1)=1+12+1=2+22+1. 所以 tn=2+22+1,n 為奇數(shù),22+1,n 為偶數(shù). (或=2+1+(-1)-12+1)

26、. 20.(本小題滿分 13 分)(2014 山東,理 20)設(shè)函數(shù) f(x)=e2-k(2+ ln)(k 為常數(shù),e=2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)當(dāng) k0 時(shí),求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求 k 的取值范圍. 分析:第(1)問中可先求出 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x),再解不等式 f(x)0 和 f(x)0,再具體討論 k 值,要使 f(x)在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),則 f(x)在(0,2)內(nèi)必須出現(xiàn)增減增或減增減,即導(dǎo)函數(shù) f(x)出現(xiàn)正負(fù)正或者負(fù)正負(fù).據(jù)此可列出不等式,最后求得 k 的取值范圍. 解:(1)函數(shù) y=f(

27、x)的定義域?yàn)?0,+). f(x)=2e-2xe4-k(-22+1) =e-2e3(-2)2=(-2)(e-kx)3. 由 k0 可得 ex-kx0, 所以當(dāng) x(0,2)時(shí),f(x)0,函數(shù) y=f(x)單調(diào)遞增. 所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+). (2)由(1)知,當(dāng) k0 時(shí),函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減, 故 f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn); 當(dāng) k0 時(shí),設(shè)函數(shù) g(x)=ex-kx,x0,+). 因?yàn)?g(x)=ex-k=ex-eln k, 當(dāng) 00,y=g(x)單調(diào)遞增, 故 f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn); 當(dāng) k1 時(shí)

28、,得 x(0,ln k)時(shí),g(x)0,函數(shù) y=g(x)單調(diào)遞增. 所以函數(shù) y=g(x)的最小值為 g(ln k)=k(1-ln k). 函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn), 當(dāng)且僅當(dāng)(0) 0,(ln) 0,0 ln 2, 解得 ek0)的焦點(diǎn)為 f,a為 c 上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn) a的直線 l 交 c 于另一點(diǎn) b,交 x 軸的正半軸于點(diǎn) d,且有|fa|=|fd|.當(dāng)點(diǎn) a的橫坐標(biāo)為 3 時(shí),adf為正三角形. (1)求 c 的方程; (2)若直線 l1l,且 l1和 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) e, 證明直線 ae過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); abe的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由. 分析:在第(1)問中,可設(shè) d(t,0),然后根據(jù)拋物線定義以及|fa|=|fd|建立 t 與 p 的關(guān)系,再由adf為正三角形求出 p 的值,即得 c 的方程.在第(2)問中,利用拋物線方程可確定拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),再設(shè)出 a 點(diǎn),利用與 f點(diǎn)關(guān)系求出點(diǎn) d,從而確定 l 的斜率.根據(jù) l1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)知,聯(lián)立 l1與拋物線方程便只有一解.求出點(diǎn) e坐標(biāo),從而求得 ae直線方程,結(jié)合方程特點(diǎn),確定 l1過定點(diǎn).