球的體積及表面積公式培訓(xùn)資料

1、第一頁，共18頁。,21RRr ,)(222nRRr 問題問題: :已知球的半徑為已知球的半徑為R,R,用用R R表示表示(biosh)(biosh)球的體球的體積？積？,)2(223nRRr AOB2C2AO極限極限(jxin)的思想的思想分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和第二頁，共18頁。OR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第in n. ., ,1 1, ,2 2i i , ,1 1) ) ( (i in nR R R Rr r2 22 2i iirOA一一 . 球 的 體 積球 的 體 積(tj)第三頁，共18頁。nininRnRrVii,2,1,

2、)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球 的 體 積球 的 體 積(tj)第四頁，共18頁。6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是球 的 體 積球 的 體 積(tj)第五頁，共18頁。例例1 1：一種空心鋼球的質(zhì)量是：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑(ni jn).(n

3、i jn).(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm2)7.9g/cm2)解解: :設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑(ni jn)(ni jn)為為2xcm,2xcm,則鋼球則鋼球的質(zhì)量是的質(zhì)量是答答: :空心空心(kng xn)(kng xn)鋼球的內(nèi)徑約鋼球的內(nèi)徑約為為4.5cm.4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得: :24. 2 x5 . 42 x例題講解例題講解第六頁，共18頁。oi iS So二二.球的球的表面積表面積第七頁，共18頁。第第一一步：步：分分割割(f(fnng)g)球面被分割球面被分割(fng)

4、(fng)成成n n個(gè)網(wǎng)格，表面?zhèn)€網(wǎng)格，表面積分別為：積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積則球的體積(tj)(tj)為：為：iV 設(shè)設(shè)“小小錐錐體體”的的體體積積為為iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面積球的表面積第八頁，共18頁。第第二二步：步：求求近近似似(j(jn n s)s)和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的球的表面積表面積第九頁，共18頁。第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確(z(zhhnqnqu)u)和和R

5、SVii31 如果如果(rgu)(rgu)網(wǎng)格分的越細(xì)網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從從而而球的球的表面積表面積Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 第十頁，共18頁。OABCO 例例1:1:已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心(qixn)O(qixn)O的的距離等于球半徑的一半，且距離等于球半徑的一半，且AB=BC=C

6、A=AB=BC=CA=cmcm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O O半徑半徑(bnjng)(bnjng)為為R R，截面截面OO的半徑的半徑(bnjng)(bnjng)為為r r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例題例題(lt)講解講解第十一頁，共18頁。. .3 34 4R R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ; ;8 81 12 25 56 6) )3 34 4( (3 34 4R R3 34 4V V3 33 3例例2.2.已知過球面

7、上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)(sn din)A(sn din)A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距離等于球半徑的一半，且的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積例題例題(lt)講解講解第十二頁，共18頁。例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為a,a,它的各它的各個(gè)個(gè)(gg)(gg)頂點(diǎn)都在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)

8、接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們可知，它們(t men)(t men)中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例題例題(lt)講解講解第十三頁，共18頁。2.一個(gè)一個(gè)(y )正方體的頂點(diǎn)都在球面上正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,這個(gè)球的體積為這個(gè)球的體積為cm3. 8 3323.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方

9、體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正方體一球切于正方體的各側(cè)棱的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點(diǎn)一球過正方體的各頂點(diǎn)(dngdin),求這三求這三個(gè)球的體積之比個(gè)球的體積之比_.1.球的直徑伸長球的直徑伸長(shn chn)為原來的為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋扼w積變?yōu)樵瓉淼谋?練習(xí)一練習(xí)一課堂練習(xí)課堂練習(xí)33:22:1第十四頁，共18頁。7.7.將半徑將半徑(bnjng)(bnjng)為為1 1和和2 2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么 這個(gè)大鉛球的表面積是這個(gè)大鉛球的表面積是_._.5.5.長方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為長方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為

10、， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_. .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為48 ,48 ,它們它們(t men)(t men)大圓周長之和為大圓周長之和為12 ,12 , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_._.練習(xí)練習(xí)(linx)(linx)二二課堂練習(xí)課堂練習(xí) 94 3312第十五頁，共18頁。l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割分割求近似求近似(jn s)(jn s)和和化為標(biāo)準(zhǔn)和的方化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法極限思想，極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分定積分”內(nèi)內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；容的一個(gè)應(yīng)用；l熟練掌握球的體積熟練掌握球的體積(tj)(tj)、表面積公、表面積公式：式：23434RSRV 課堂課堂(ktng)小結(jié)小結(jié)第十六頁，共18頁。l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割求近似和求近似和化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)