第三節(jié)線性算子PPT

1、123賦范線性空間45內積空間6三個空間的關系122222222|;:(, ) |( , ),|( , ):| ( , )|2|2| ,1(|4xyxyaxaxxxxx xxyxyxyxyxyxyixyiixy 賦范線性空間都是距離空間： ( ， )=反之，要求距離滿足條件范數定義。 內積空間都是賦范線性空間；反之，范數滿足中線公式：內積定義( ， )=2| )i7121212112,K:( )( ), ,K:,RRBanannX XT XXXXTxyT xT yx yXTTTXXnA 設是數域 上的線性空間，映射稱為到的一個線性映射,如果（）=。顯然：。當 是雙射時，稱 是一個線性同構，稱是

2、線性同構的。例子： 階方陣 是的線性映射，可逆矩陣都是線性同構。有限階矩陣的研究，線性代數、高等代數和矩陣論中都有涉及；我們泛函分析中主要研究是無窮維線性空間（ch空間）上的線性映射。第三節(jié) 線性映射與線性算子8 因為任何n維賦范線性空間都與n維歐式空間線性同構，所以有限維的賦范線性空間是線性同構的當且僅當它們的維數相等。 絕大多數的泛函分析課程都是講述特殊的線性空間和線性算子的性質，而自然界中的現象更多是非線性的，非線性問題是更廣闊更具有挑戰(zhàn)性的領域，有著多樣性和復雜性。人們在處理這類問題的方法： 一、推廣線性情形時的有關理論的想法和方法； 二、化整為零，在局部范圍內運用線性方法，將非線性問

3、題轉化為線性問題9100XYYKker ,:()().nnnnnTTTTxxxxTxTxTXTXX YT XYTXTXxxXTxYX當時，稱 是線性變換，當時，稱 是線性泛函。相關概念：核空間、線性同構。稱 在 點連續(xù)，是指對任意點列若則；若 在 的每一點都連續(xù)，則稱 在 上連續(xù)。定理1.設是賦范線性空間,是線性算子，則（a） 在 上連續(xù)當且僅當 在 中的某點 處連續(xù);特別的等價于若中零元 ，則中零元(b)當 的維數有TX限時， 在 上是連續(xù)的。11 例2. 區(qū)間0,1上的連續(xù)可微函數全體按極大模是賦范 線性空間，其上的微分算子是無界線性算子: ( )1( )( ),( )( ), , , ,

4、 tbaaXaT T xaxaITx txdf xxdxC a bTC a bf 設 是賦范線性空間， 是一常數。映射稱為相似算子，時，稱為恒定算子或單位算子，記為 。例1.定義:則 是上的一個線性算子， 是一個線性泛函。1sin|sin| 1,|(sin)|cos|():0,10,1n tn tdn tnn tnndtdCCdt 取函數列，顯然但因此，微分算子是無界算子。12| | 1| | 1| | 01112:|( )|( )| sup| sup| sup| , :()( )( ), , (1.) : , , ,|xxxxaTTTTT xMxxD TMTxTTxTxxL a bTTfxf

5、 t dtfL a bT L a bC a bT 定理線性算子 是連續(xù)的充要條件是 是有界的。算子 的范數:式，中的下確界?？梢宰C明:例：上算子時11| 1(2.) : , , ,| T L a bL a bTba時一般來說，求一個具體算子的范數并不容易，很多場合中只能對其范數做出估計13 注：設f是賦范線性空間X上的線性泛函，則 （1） f連續(xù)當且僅當f的零空間N(f)是X的閉子空間； （2）非零線性泛函f不連續(xù)當且僅當N(f)在X中稠密。 N(f)=x;f(x)=01415有界線性算子空間| | 1| | 1| | 0| | 1| | 1| | 1|(, )| sup| sup| sup|

6、 |(1)| sup| 0,| 00( (, )(2)| sup| |sup| | |xxxxxxTxTB X YTTxTxxTTxTTB X YTTxTxT算子的范數驗證算子算子范數滿足以下條件：中零元121212| | 1| | 11212| | 1| | 1|;(3)|sup|() | sup|sup|sup| |xxxxTTTT xT xT xT xT xTT16| | 1* *(, )(,R)| sup|( )|Banacha,b(,3.(, ),( ,),xB X YXB Xff xXXXXXXXXTB X YSB Y Z注：1.一般說來，賦范線性空間未必是完備的；2.賦范線性空間

7、 上的有界線性泛函的全體，按前面引入的運算與范數構成一個空間,我們稱之為 的共軛空間，記為；( )如果賦范線性空間 等距同構于則稱 是自共軛的；( )如果賦范線性空間 等距同構于）則稱 是自反的。(,),| | |(, )STB X ZSTSTYB X Y則復合算子且。定理3：設 是完備的賦范線性空間，則是完備的。173 (, )Cauchy |0( ,),| |()( )| | |0( ,).( )Cauchy( ),( )( ),().|nnnmnmnmnmnnnTB X YTTTn mxXT xT xTTxTTxn mT xYYYT xT xT xnT 定理 的證明：設為一列，往證收斂。

8、因為則對必有這說明是 為一列，由 的完備性，在 中存在唯一的一個元素，記為使得注意到000| |0( ,), |(, )0,| 1,| |()( )| | |.,|,| 1.| mnmnnnmnmnmnnnTTTn mTTTB X Yn mxT xT xTTxTTxxmT xTxxXxnTTT 故由的線性和的收斂性可得。對，存在自然數N ，使得當N 時，對固定令，可得，從而對N ，。故(, )(, )B X YB X Y在收斂，完備。18nnn2fS( )S0| 1,1.nnTTB lSn 一致收斂強于 強收斂; 的強收斂強于弱*收斂；例如：單邊移位算子，強收斂于 ，而194Banach (,

9、 )|G,( ) (, ),| lim|.nnnnnXYTB X YTXx T xTTB X YTT我們知道收斂的序列都是有界集合，類似于定理3的證明，我們可以得到一下結論。定理 ：設 是賦范線性空間， 是空間，滿足條件：(1)是有界數列；(2)在 中的某一稠密子集 中的每個元素都收斂.則強收斂于某一個算子且20* *,( )( ),.:|( )| |( )| | |,.| |.:, ( )XXXXXxXXxxff xfXxff xfxfXxXxxxXXxx 設 是賦范線性空間，則 的共軛空間二次共軛空間=()都是賦范線性空間。下面考慮它們之間關系對每個定義上泛函：注意到顯然，是上有界線性泛函，且稱此泛函是由 生成的，算子為嵌入算子。21*5.| |,()6.7.,*(7.1)(),(7.nnnnnnnnXXXxxxyxyXXXfXfffXffxx nxx 定理 設 是賦范線