2021年北大物理科學(xué)營(yíng)資格賽試題及答案

1、2021年北京大學(xué)物理科學(xué)營(yíng)資格賽試題一、簡(jiǎn)答題1 如下圖，將勁度系數(shù)為k,質(zhì)量為m的均勻彈性體豎直朝下懸掛著，靜止平衡后，彈性體伸長(zhǎng)量為 Li -mg。將此彈性體平放在光滑水平面上，用沿彈性體方向的恒力F拉2k其一端，最終到達(dá)無(wú)內(nèi)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，試求彈性體伸長(zhǎng)量乩?！敬鸢浮咳椥泽w質(zhì)心參考系，其中體分布的平移慣性力urun rFimiac , Cam取代了重力mig，其間標(biāo)量關(guān)系為g ，即得mF m L 2k2.某理想氣體的一條等溫線 T,與一條絕熱線違反哪些熱力學(xué)定律？假設(shè)該理想氣體的一條等溫線于兩點(diǎn)，再問這將會(huì)違反哪些熱力學(xué)定律？S,F2k如圖1所示地相交于兩點(diǎn)，試問這將會(huì)T,與一條絕

2、熱線 S,如圖2所示地相交【答案】圖1中出現(xiàn)的一個(gè)正循環(huán)過程， 會(huì)從單一熱源吸熱， 全部用來對(duì)外作機(jī)械功， 違反 熱力學(xué)第二定律。圖2中出現(xiàn)的一個(gè)正循環(huán)過程， 一那么應(yīng)從單一熱源吸熱， 全都用來對(duì)外作機(jī)械功，違反熱力學(xué)第二定律，再那么事實(shí)上是向熱源放熱，同時(shí)又對(duì)外作機(jī)械功，故違反熱力學(xué)第一定律。3如下圖，半徑為 R的球面均勻帶電，總量 Q>0。其外有半徑為2R的同心球面也均勻 帶電，總量也為 Q。試求全空間的電場(chǎng)能 Wei。解答過程中不可出現(xiàn)積分式，下同。設(shè)想令外力緩慢地將 R球面上電荷Q, 起移動(dòng)到2R球面上，使2Q電荷均勻分布在2R球面上，再求全空間電場(chǎng)能【答案】初態(tài)、末態(tài)均可取為由

3、無(wú)窮小面元電荷系統(tǒng)，其全空間電場(chǎng)能即為系統(tǒng)電勢(shì)能。qdQi為基元點(diǎn)電荷構(gòu)成的面分布電荷初態(tài)：2R球面電勢(shì):，球心電勢(shì):4 n o 2RQQ4 n 0 2R 4 n 0RR球面所圍空間為零場(chǎng)強(qiáng)區(qū)：即為等勢(shì)區(qū)，故R球面電勢(shì)同于球心電勢(shì)，即為QQ4 n 0 2R 4 n 0 R初態(tài)系統(tǒng)電勢(shì)能:1 W Q2Q1q qq24 n 0 2R24 n 0 2R 4 n 0 R全空間電場(chǎng)能：Wei W5Q216 n 0 R末態(tài)：2R球面電勢(shì)：2Q，系統(tǒng)電勢(shì)能：W2 1 2Q2Q4 n 0 2R24 n 0 2R全空間電場(chǎng)能：We2W.Q24 n 0R外力作功：AWe2WeiQ216 n 0 RA值的定性解釋：

4、定量?jī)?nèi)容供參考R球面到 2R球面間區(qū)域的電場(chǎng)從2R球面外的電場(chǎng)結(jié)構(gòu)與能量，和初態(tài)完全相同。Qru r減到B r4n r30，其場(chǎng)能從We2R 1r 2 oE4 nr2drQ216 n 0R減到Me=0。過程中作用在 Q電荷上徑向朝里的外力幾乎抵消徑向朝外的電場(chǎng)力，過程中外力作負(fù)功，使RTR間電場(chǎng)能隨電場(chǎng)歸零，故必有A+AWe= 0，即AWeQ216 n 0 R4如下圖，平凸透鏡 L的右側(cè)放置一塊與 上放置一個(gè)小發(fā)光物 S將S沿主光軸平動(dòng), 像，試說明每一個(gè)實(shí)像出現(xiàn)的原因。L主光軸垂直的平面鏡 M，在L的左側(cè)主光軸S在三個(gè)位置上均可出現(xiàn)一個(gè)重合在S上的實(shí)【答案】其中一個(gè)實(shí)像是因?yàn)?S所在位置恰好

5、是L物方空間的焦點(diǎn) F上，S發(fā)出的物光透過 L成平行光，經(jīng) M發(fā)射后又在F處會(huì)聚成實(shí)像。第二個(gè)實(shí)像是因?yàn)閺?S所在位置發(fā)出的物光經(jīng) L成實(shí)像在的M左側(cè)平外表上，由光路可逆, 其反射光又成實(shí)像在 S上。第三個(gè)實(shí)像是因?yàn)?S從所在位置發(fā)出的物光經(jīng) L左側(cè)平外表折射，又經(jīng) L右側(cè)凹球面反射, 最后再經(jīng)L左側(cè)平外表折射后成實(shí)像在 S上。二、計(jì)算題5.在焦距為15 cm的會(huì)聚透鏡左方 30 cm處放一物體，在透鏡右側(cè)放一垂直于主光軸的平 面鏡。試求平面鏡的位置與透鏡的間距d取何值，方能使物體通過此系統(tǒng) 經(jīng)一次平面鏡反射、兩次透鏡透射所成的像與透鏡相距30 cm?！敬鸢浮拷猓合扔懻摃?huì)聚透鏡的第一次成像：f

6、 = 15 cm, u1 = 30 cm, v1u1 fU1f30 cm像是倒立的實(shí)像。第二步是平面鏡成像：d:平面鏡與透鏡的間距U2= d V1 , V2= U2 = V1 d所成的像，相對(duì)第一次成像的像為正立的。再看會(huì)聚透鏡的第二次成像：U3 = d V2= d ( V1 d) = 2d V1u3f2d v1 f 2d 30 15 d 15 30V3 Uf 2d v1T2d 30 15 2d 45凸透鏡的這次成像，有兩種情形都會(huì)符合題文要求，即像可在透鏡的兩側(cè)。(1) 假設(shè)為實(shí)像，V3= 30 cm,代入上式得d = 30 cm(2) 假設(shè)為虛像，V3= 30 cm,代入上式得d = 20

7、 cm6 試證：任意正循環(huán)過程的效率，不可能大于工作在它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱源 溫度之間的可逆卡諾循環(huán)過程的效率。用T2i【答案】證：先設(shè)討論的循環(huán)過程為可逆過程，它可分解為一系列無(wú)窮小的可逆卡諾循環(huán)密集的絕熱線加以分解)。對(duì)每一無(wú)窮小可逆卡諾循環(huán)過程，其最高溫度T1i和最低溫度與全循環(huán)過程最高溫度 Tm和最低溫度Tn間有下述關(guān)系：Tm即得dW 1T2, w 1TndQiT1iTmdWi w *dQi于是dQdQi再設(shè)討論的循環(huán)過程為不可逆過程，那么每一無(wú)窮小卡諾循環(huán)或?yàn)榭赡妫驗(yàn)椴豢赡?，有dWL w 1 互 w 1 匸 dQi% TmdWi w *dQi其中等號(hào)僅可能對(duì)應(yīng)于可逆的無(wú)窮

8、小卡諾循環(huán)同理，有dg * dQ dQ dQ7如下圖，豎直固定、內(nèi)壁光滑的兩條平行細(xì)長(zhǎng)直軌道相距 I。左側(cè)軌道內(nèi)懸掛著自由長(zhǎng) 度為I、勁度系數(shù)為k的均勻輕彈簧，彈簧下端連接質(zhì)置為 m的小球1,開始時(shí)靜止在其平衡位置，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)I。右側(cè)軌道內(nèi)在等高處懸掛著自由長(zhǎng)度為21、勁度系數(shù)為2k的均勻輕彈簧，彈簧下端連接質(zhì)量為2m的小球2,開始時(shí)彈簧無(wú)形變，球 2靜止。兩個(gè)小球間連接著一根長(zhǎng)為 2I的細(xì)輕繩。今將球2從靜止自由釋放，小球便會(huì)在軌道內(nèi)無(wú)摩擦地上、下運(yùn)動(dòng)。過程中，假設(shè)輕繩被拉直到.21的長(zhǎng)度，輕繩便會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)為球1、2提供沖量，使它們改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，假設(shè)過程中輕蠅不會(huì)損耗機(jī)械能。1 試求在

9、以后的運(yùn)動(dòng)過程中， 球1、2各自所能到達(dá)的最低位置和最高位置之間的高度差 Ahi、Ah2 答案中不可出現(xiàn)參量 k和m;2 再求從開始到球 2第一次到達(dá)其最高位置所經(jīng)過的時(shí)間間隔At 答案中不可出現(xiàn)參置 k 和 m?！敬鸢浮拷猓河汕?力平衡關(guān)系，可得mg球1、2被輕繩短時(shí)間作用隔離開的各段運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率和周期分別同為球2從靜止自由釋放后，經(jīng)過時(shí)間間隔降落高度和下落速度分別為2mg2k即到達(dá)其力平衡位置。此時(shí)細(xì)繩從本來松弛狀態(tài)第一次到達(dá)長(zhǎng)為21的伸直狀態(tài)。由球1、2和細(xì)繩構(gòu)成的系統(tǒng)，在細(xì)繩與兩個(gè)小球相互作用的極短時(shí)間內(nèi)，豎直方向彈簧和重力提供 的沖量可略。將此過程后瞬間球1、2向下速度分

10、別記為 V1和V2,如題圖中虛線箭矢所示。由方程mvi21 2m v22 2-2m v202mv1 2mv2 2mv20可解得44113V203gl，V23V203glV1> V2,繩又將處于松弛狀態(tài)。而后球1、2經(jīng)時(shí)間間隔分別降落高度t2T分別降落高度V14i,3速度同降為零。因 A1 - A2= l，故此時(shí)兩球等高。 而后球1、2又經(jīng)時(shí)間間隔A2下1|3t3返回到題解圖所示位置，速度向上，大小分別恢復(fù)為-V20 和 V31V20。此時(shí)，細(xì)繩第3二次到達(dá)長(zhǎng)度為.2T的伸長(zhǎng)狀態(tài)。短時(shí)間內(nèi)，因過程逆向進(jìn)行，細(xì)繩作用效果使球1靜止在該位置，球2獲得向上速度，大小為V20。而后球1靜止在原位，

11、球2又經(jīng)過時(shí)間間隔t4上升到題文位置，速度降為零。綜上所述，得4hi(1 )問答案： h A下 -1，11下 3(2)問答案：111121314 t 2 n-&如下圖，慣性系 S中的O xy平面上，有一根與 x軸夾角為0整體沿x軸方向以勻 速度V高速運(yùn)動(dòng)的細(xì)桿 AB。0= 30°時(shí)，S系測(cè)得桿AB的長(zhǎng)度為li。(1)改取0= 45°保持V不變，試求S系測(cè)得的桿長(zhǎng)12。(2)仍取片45°保持V不變。設(shè)t = 0時(shí)，桿的A端位于坐標(biāo)原點(diǎn) O,此時(shí)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn) P恰好位于A端，沿著桿AB朝著B端運(yùn)動(dòng)，S系測(cè)得P相對(duì)桿AB的運(yùn)動(dòng)速度大小也恰好為V。(設(shè) vv 0.5

12、4c)(2.1)試求P到達(dá)B端的時(shí)刻tB；(2.2)試求在t= 0到t= te時(shí)間段時(shí)，P在O xy平面上運(yùn)動(dòng)跡線的數(shù)學(xué)方程y= y ( x)。(3) 設(shè)vv 0.54c,再設(shè)P在桿的A端時(shí)，其時(shí)鐘讀數(shù)為 to= 0,試求P到達(dá)桿的B端時(shí), 其時(shí)鐘讀數(shù)tp?！敬鸢浮拷?(1)lOy ( 1),那么有l(wèi)ox 1l1 cos30,lOy (1)= l1Sin30 :將桿的靜長(zhǎng)記為l0 ,那么有I0x 1Xy 12cos 302 2sin 30 h0= 45。時(shí),桿AB在x , y方向靜長(zhǎng)分別為聯(lián)立兩個(gè)lo1表達(dá)式，(2) (2.1) tel2(2.2) S系測(cè)得Io解得Iox 2lOxi22 I1

13、2 4 2 2 vP在0 xy平面ux vcos45P在0 xy平面上的運(yùn)動(dòng)方程為P的運(yùn)動(dòng)跡線方程便為(3) S系中P的速度記為up ,l2 cos45lOy,loy (2) = l2sin45cos2 4512 / sin 4i;I2上沿那么有2up2 2UxUyS系可據(jù)動(dòng)鐘變慢公式,算得tp2t2cos 30Tcos2 45 sin 451sin2 30I1242|4 2 2 1x、y方向的速度分量分別為21 v , vy vsin452X= Vxt,y= VytV2y %Ux.21 x2.up彳1 1c1= 44 2 22 ；9.真空中有一固定的點(diǎn)電荷 Q> 0,另有一粒子加速槍，

14、可用同一加速電壓加速各靜止粒子。 現(xiàn)有兩種帶負(fù)電粒子 P1、P2，經(jīng)該槍加速后進(jìn)入 Q的電場(chǎng)區(qū)域，槍口發(fā)射方向垂直于Q到槍口連線。(1)假設(shè)粒子Pl、P2進(jìn)入Q場(chǎng)區(qū)域后能作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速電壓為U，求圓半徑ro；(2)現(xiàn)用兩支相同的槍，槍口與點(diǎn)電荷 Q相跟ro且在同一位置，調(diào)整發(fā)射角，使兩槍發(fā)射 角都偏ro處切向一個(gè)小角度。兩槍分別同時(shí)發(fā)射Pi、P2,當(dāng)Pi、P2進(jìn)入Q場(chǎng)區(qū)域后，分別繞Q作某種運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻 Pi、P2同時(shí)回到原出發(fā)點(diǎn)，Pi繞Q轉(zhuǎn)3圈，P2繞Q轉(zhuǎn)2圈，求 兩者荷質(zhì)比之比 vi : V2。忽略粒子間的相互作用及相互碰撞的可能性。v，那么【答案】解：(i)設(shè)加速電壓為 U，發(fā)射后粒

15、子速度為那么有Uq mv2，q：粒子電荷量,2m：粒子質(zhì)量2mvroKQqroKQ2U(2)討論一般情況，略去下標(biāo)。當(dāng)發(fā)射時(shí)偏離切向一個(gè)小角度a,如下圖，粒子軌跡將偏離切向一個(gè)小角度a,參見圖，粒子軌道將偏離圓軌道。初始時(shí)粒子繞Q的面積速度為1 vsrovcos2切向設(shè)粒子某時(shí)刻偏離圓軌道x,參見圖，此時(shí)粒子切向速度分量記為vi,那么有1vs 2 ro xvi由Vs守恒可得vcosroViro xQ吸引力F吸與旋轉(zhuǎn)參以Q為中心，粒子相對(duì) Q的角向運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)參考系中，粒子受考系中的慣性離心力 F離如題圖所示，已略去科里奧利力。有KQq2° X2mwx2 2mv cosror°2r°3Xr°在徑向x軸方向上受力為2mv3xKQqFxr0i 2x r° r°粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)是線性恢復(fù)力，在旋轉(zhuǎn)系中粒子會(huì)以2mvr°FxKQqr°mv2xr°ro為平衡位置作簡(jiǎn)譜振動(dòng)，角頻率和周期為2mv2° m2n變換到原參考系中，粒子一方面作近似的圓周運(yùn)動(dòng)，另一方面在 完整的圓周運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為ro附近振動(dòng)，而每作一個(gè)2 nr即T= T在Pi、P2同時(shí)回到原出發(fā)點(diǎn)時(shí)，依題意有3T； 2T2T -T23又2 noTivivi 3T22 n。v? 2v21 mv2 Uq v2 2Uq