《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》必備數(shù)學(xué)第一部分第四章第4節(jié)

1、第一部分教材梳理第第4節(jié)等腰三角形與等邊三角形節(jié)等腰三角形與等邊三角形第四章圖形的認(rèn)識(shí)（一）第四章圖形的認(rèn)識(shí)（一）知識(shí)梳理知識(shí)梳理概念定理概念定理 1. 等腰三角形等腰三角形（1）定義：兩邊相等兩邊相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性質(zhì)性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）. 推論：等腰三角形頂角的平分線平分線、底邊上的中線中線及底邊上的高線高線互相重合（簡(jiǎn)稱：三線合一三線合一）. （3）其他性質(zhì)等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于相等且等于4545.等腰三角形的底角只能為銳角銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底

2、邊長(zhǎng)為b，則_.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為a，底角為b，c，則a=_，b=c=_.180180-2-2b b（4）判定定義法：有兩條邊相等有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. 判定定理：有兩個(gè)角相等有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）. 2. 等邊三角形（1）定義：三邊相等三邊相等的三角形叫做等邊三角形. （2）性質(zhì)性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等三個(gè)內(nèi)角都相等_，并且每個(gè)角都等于6060. 等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有所有性質(zhì)性質(zhì)，它的每一個(gè)內(nèi)角的角平分線都與其對(duì)邊的中線和高線重合. （3）判定定義法：三條邊都相等三條邊都相等的三角形是等邊三角形

3、. 判定定理1：三個(gè)角都相等三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 判定定理2：有一個(gè)角等于6060的等腰等腰三角形是等邊三角形. 方法規(guī)律方法規(guī)律 中考考點(diǎn)精講精練中考考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定考點(diǎn)等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定5年2考：2014年(選擇題)、2017年(解答題)考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講1. 如圖1-4-4-1，在abc中，abc和acb的平分線交于點(diǎn)e，過點(diǎn)e作mnbc交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，若bm+cn=9，則線段mn的長(zhǎng)為 ( )a. 6 b. 7 c. 8 d. 9d解：解：(1)abe=acd.在在abe和和acd中，中，abeacd.abe=a

4、cd.(2)ab=ac，abc=acb.由由(1)可知可知abe=acd，fbc=fcb.fb=fc.ab=ac，點(diǎn)點(diǎn)a,f均在線段均在線段bc的垂直平分線上，即直線的垂直平分線上，即直線af垂直平分線段垂直平分線段bc.2. (2017連云港)如圖1-4-4-2，已知等腰abc中，ab=ac，點(diǎn)d,e分別在邊ab,ac上，且ad=ae，連接be,cd，交于點(diǎn)f. (1)判斷abe與acd的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：過點(diǎn)a,f的直線垂直平分線段bc.3. (2006平?jīng)?如圖1-4-4-3所示，abc為等邊三角形，d,e,f分別在邊bc,ca,ab上，且ae=cd=bf，則def為_三

5、角形.4. 如圖1-4-4-4，點(diǎn)c是線段ab上除點(diǎn)a,b外的任意一點(diǎn)，分別以ac,bc為邊在線段ab的同旁作等邊acd和等邊bce，連接ae交dc于點(diǎn)m，連接bd交ce于點(diǎn)n，連接mn. (1)求證：ae=bd；(2)求證：mnab. 等邊等邊證明：證明：(1)acd和和bce是等邊三角形，是等邊三角形，ac=dc，ce=cb，dca=60，ecb=60. dca+dce=ecb+dce，即即ace=dcb.在在ace與與dcb中，中， ac=dc, ace=dcb, ce=cb，acedcb.ae=bd.(2)由由(1),得得ace dcb，cam=cdn. acd=ecb=60，而，而a

6、,c,b三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，dcn=60. 在在acm與與dcn中，中， mac=ndc, ac=dc, acm=dcn=60，acmdcn(asa). mc=nc.mcn=60，mcn為等邊三角形為等邊三角形. nmc=dcn=60. nmc=dca. mnab.考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練5. 如圖1-4-4-5，abc中，ab=ac=15，ad平分bac，點(diǎn)e為ac的中點(diǎn)，連接de，若cde的周長(zhǎng)為21，則bc的長(zhǎng)為( )a. 16 b. 14 c. 12 d. 6c6. 如圖1-4-4-6，在abc中，已知bac=90，adbc，ad與abc的平分線交于點(diǎn)e，試說明aef是等腰三角形的理由.解：解

7、：bf平分平分abc，abf=dbf. 又又bac=90，adbc，afe=90-abf，deb=90-dbf. afe=deb.又又deb=aef，aef=afe. aef是等腰三角形是等腰三角形. 7. 如圖1-4-4-7，p,q是abc的邊bc上的兩點(diǎn)，且bp=pq=qc=ap=aq，則abc的大小等于_度. 30308. 如圖1-4-4-8，等邊abc中，點(diǎn)p在abc內(nèi)，點(diǎn)q在abc外，且abp=acq，bp=cq，問apq是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論. 解：解：apq為等邊三角形為等邊三角形. 理由如下：理由如下：abc為等邊三角形，為等邊三角形，ab=ac.在在abp與與ac

8、q中，中， ab=ac, abp=acq, bp=cq，abpacq(sas). ap=aq，bap=caq. bac=bap+pac=60，paq=caq+pac=60. apq是等邊三角形是等邊三角形. 考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn)，題型一般為選擇題或者解答題，難度中等. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握等腰三角形的基本性質(zhì). 注意以下要點(diǎn)：(1)等腰三角形的基本性質(zhì)；(2)對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握;(3)對(duì)等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握. 廣東中考廣東中考1. (2014廣東)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則它的周長(zhǎng)為 ( )a. 17 b. 15 c. 1

9、3 d. 13或172. (2012深圳)如圖1-4-4-9，已知：mon=30，點(diǎn)a1,a2,a3在射線on上，點(diǎn)b1,b2,b3在射線om上，a1b1a2,a2b2a3,a3b3a4均為等邊三角形，若oa1=1，則a6b6a7的邊長(zhǎng)為 ( )a. 6 b. 12c. 32 d. 64ac3. (2014廣州)如圖1-4-4-10，將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形abcd，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)b=90時(shí)，如圖，測(cè)得ac=2，當(dāng)b=60時(shí)，如圖，ac= ( )a. b. 2 c. d.2a2624. (2010東莞)已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片abc，def，如圖1

10、-4-4-11放置，點(diǎn)b,d重合，點(diǎn)f在bc上，ab與ef交于點(diǎn)g,c=efb=90，e=abc=30，ab=de=4求證：egb是等腰三角形.證明：證明：c=efb=90，e=abc=30，ebf=60.ebg=ebf-abc=60-30=ege=gb.則則egb是等腰三角形是等腰三角形.5. (2012梅州)如圖1-4-4-12，已知線段ab的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)p是ab上的動(dòng)點(diǎn)(p不與a，b重合)，分別以ap,pb為邊向線段ab的同一側(cè)作正apc和正pbd.(1)當(dāng)apc與pbd的面積之和取最小值時(shí)，ap=_；(直接寫結(jié)果)(2)連接ad,bc，相交于點(diǎn)q，設(shè)aqc=，那么的大小是否會(huì)隨點(diǎn)p的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說明理由.a a解：解：(2)(2)的大小不會(huì)隨點(diǎn)的大小不會(huì)隨點(diǎn)p p的移動(dòng)而變化的移動(dòng)而變化. . 理由：理由：apcapc是等邊三角形，是等邊三角形，pa=pcpa=pc，apc=60apc=60. . bdpbdp是等邊三角形，是等邊三角形，pb=pdpb=pd，bpd=60bpd