微積分基本定理課件

1、2021-11-281微積分基本定理微積分基本定理2021-11-282微積分在幾何上有兩個基本問題微積分在幾何上有兩個基本問題1.如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；2.如何求曲線下方如何求曲線下方“曲線梯形曲線梯形”的面積。的面積。xy0 xy0 xyo直線直線幾條線段連成的折線幾條線段連成的折線曲線？曲線？知識回顧：知識回顧：2021-11-283用用 “以直代曲以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程：解決問題的思想和具體操作過程：分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近2021-11-284求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形

2、面積的方法面積的方法 (2)以直代曲以直代曲:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用高個小曲邊梯形的面積用高為為f(x xi), 寬為寬為d dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)d dx近似地去代替近似地去代替. (4)逼近逼近:所求曲邊所求曲邊梯形的面積梯形的面積s為為 (3) 作和作和:取取n個小矩形面積的和作個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積為曲邊梯形面積s的近似值：的近似值：xi-1y=f(x)x yobaxixixd10,( )()niixfxsnx=d d 1( )niisfxx=d (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間a,b上等間隔地插入上等間隔地插入n

3、-1個點(diǎn)個點(diǎn),將它等分成將它等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度每個小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-2021-11-285定積分的定義定積分的定義:一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義上有定義,將區(qū)間將區(qū)間a,b等分成等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間,每個小區(qū)的長度每個小區(qū)的長度為為 ,在每個小區(qū)間上取一點(diǎn)在每個小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為依次為x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 無限趨近于無限趨近于0時時,sn無限趨近于無限趨近于常數(shù)常數(shù)s,那那么稱么稱常數(shù)常數(shù)s為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分,記記作作:

4、.)(nabxx-=ddx)f(xx)f(xx)x(fsn21nd dd=basf(x)dxf(x)dxxd2021-11-286 由定積分的定義可以計(jì)算由定積分的定義可以計(jì)算 , , 但但比較麻煩比較麻煩( (四步曲四步曲),),有沒有更加簡便有效的有沒有更加簡便有效的方法求定積分呢方法求定積分呢? ?12013x dx =問題情景問題情景(分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近)2021-11-287( )( )f xf x=()f x 對于一般函數(shù)對于一般函數(shù)，設(shè)，設(shè)是否也有是否也有 =badxxf)().()()(afbfdxxfba-=( )( )fb fa-若上式成立，若上

5、式成立，的的原函數(shù)原函數(shù)( )f x來計(jì)算來計(jì)算 , a b在在上的定積分的方法。上的定積分的方法。( )f x我們就找到了用我們就找到了用( )( )f xf x=）的數(shù)值差）的數(shù)值差（即滿足（即滿足2021-11-288定理定理 （微積分基本定理）（微積分基本定理）牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式記:( )( )( ) |baf bf af x-=則:( )( )|( )( )bbaaf x dxf xf bf a=-f(x)是是f(x)的的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)函數(shù) f(x) 是是f(x)的的原原函數(shù)函數(shù)2021-11-28932( ),( )3f xxf xx=( )( )|( )( )bbaaf

6、x dxf xf bf a=-解解:(1)取取2( )4 ,( )24f xxx f xx=-=-解解:(2)取取5223(5)(2)117x dxff=-=50(24)(5)(0)5xdxff-=-=找出找出f(x)的的原函數(shù)原函數(shù)是關(guān)健是關(guān)健例例1:1:計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 321(1)3x dx50(2)(24)xdx-2021-11-2810解解:(3)32211()3,( )xxxx= - 32332111176(3-)(3)(1)313xdxx=-=32211(3)(3-)xdxx32211()3,xxxx=-2021-11-2811基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

7、公式1.( )( )2.( )( )()3.( )sin( )4.( )cos( )5.( )( )(0,1)6.( )( )7.( )log( )(0,1)8.( )ln( )nxxaf xcfxf xxfxnrf xxfxf xxfxf xafxaaf xefxf xxfxaaf xxfx=若若若若若若若若若若若若若若若若2021-11-2812211(1)dxx例例2:2:計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 20(2)cos xdx2021-11-2813例例2:2:計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 211(4)dxx0(3)sin xdx2021-11-28142021-11-2815 練習(xí)：練習(xí)： 12022122-121(1)(-32)_1(2)()_(3)(32 -1)_(4)(1)_xtdtxdxxxxdxedx=2021-11-2816 練習(xí)：練習(xí)： 23000220(5)(2 )_(6)(cos )_(7)cos2_(8)sin_xx dxxx dxxdxxdx-= 2021-11-2817 練習(xí)：練習(xí)： 2002430022102200(1)cos;(2)sin;5(3)(2 ); (4);21(5)();(6)(cos );(7)cos2;(8)sin.xdxxdxxx dxd