高等數(shù)學(xué)考研知識點(diǎn)總結(jié)

1、第一講函數(shù)、極限與連續(xù)一、考試要求1理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。2了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。5理解（了解）極限的概念，理解（了解）函數(shù)左、右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6掌握（了解）極限的性質(zhì)，掌握四則運(yùn)算法則。7掌握（了解）極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握（會）利用兩個重要極限求極限的方法。8理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。9理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連

2、續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型10 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。11. 掌握（會）用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。二、內(nèi)容提要1、函數(shù)（1）函數(shù)的概念 : y=f(x)，重點(diǎn)：要求會建立函數(shù)關(guān)系. （2）復(fù)合函數(shù) : y=f(u), u=( )( )xyfx，重點(diǎn)：確定復(fù)合關(guān)系并會求復(fù)合函數(shù)的定義域 . （3）分段函數(shù) : 注意，)(),(min),(),(max, )(xgxfxgxfxf為分段函數(shù) . （4）初等函數(shù)：通過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算且用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)。（5）函數(shù)的

3、特性：單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性*注：1、可導(dǎo)奇 (偶)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶 (奇)函數(shù)。特別：若)(xf為偶函數(shù)且)0(f存在，則0)0(f2、若)(xf為偶函數(shù)，則xdttf0)(為奇函數(shù)；若)(xf為奇函數(shù)，則xadttf)(為偶函數(shù)；3、可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)。特別：設(shè))(xf以t為周期且)(0 xf存在，則)()(00 xftxf。4、若 f(x+t)=f(x), 且0)(0tdttf，則xdttf0)(仍為以 t 為周期的周期函數(shù) . 5、設(shè))(xf是以t為周期的連續(xù)函數(shù)，則2/2/0)()()(ttttaadxxfdxxfdxxf，tntdxxfndxxf00)()(6、

4、 若)(xf為奇函數(shù)，則aadxxf0)(；若)( xf為偶函數(shù)，則aaadxxfdxxf0)(2)(7、設(shè))(xf在),(ba內(nèi)連續(xù)且)(),(bfaf存在，則)( xf在),(ba內(nèi)有界。2、極限 (1) 數(shù)列的極限： (2) 函數(shù)在一點(diǎn)的極限的定義： (3) 單側(cè)極限 : 1) 左右極限fxf x(),()0000 2) 極限存在的充要條件： (4) 極限存在的準(zhǔn)則 1) 夾逼定理：數(shù)列情形，函數(shù)情形 2) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限(5)極限的基本性質(zhì)：唯一性，保號性，四則運(yùn)算*1）極限不等式)(lim)(lim)()(xgxfxgxf注：)(lim)(lim)()(xgxfxgxf不成立2

5、）局部保號性,0)(lim0axfxx則在某)(00 xu內(nèi))2(0)(axf3）局部有界性,)(lim0axfxx則在某)(00 xu內(nèi))(xf有界。4）)0()()(limaxfaxf (6) 兩類重要極限 (7) 無窮小量與無窮大量 1) 無窮小量 ; 2) 無窮大量 ; （注意與無界變量的差異） 3) 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 (8) 無窮小量階的比較 (9) 羅比達(dá)法則3、連續(xù) 1) 連續(xù)的定義 2) 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 3) 間斷點(diǎn)及其分類 4) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理三、*重要公式與結(jié)論1、常見極限不存在的情形：1) ,1sinlim00

6、xxxx,1coslim00 xxxx方法：用無窮小量乘有界變量 2）00010lim,1arctanlim,arctanlimxxxxxxxaxxx方法：分xx,或00,xxxx討論. 2、特別：若 lim( )lim( )xnfxaf na 3、無窮小量的等價代換若0)(x，則有)(),()(1ln),()(tan),()(sin)(xexxxxxxx特別注意：kxxk1)1(（，xxtdt0221sin（0 x），xxdtt0221)1ln(（0 x）aeaaln11ln，2111設(shè)0)( x，0)(x且，(1) )()(lim)()(limxfxxfx(2) )()()(lim)()(

7、)(limxfxxxfxx(3) )(o(4) 若1lima，則)()lim()()lim(xfxf（0712 ）當(dāng)0 x時，與x 等價的無窮小量是（a）xe1（b）xx11ln（c）11x（d）xcos14 、 若.)(lim)(lim,0)(lim)(bxgaxfbxgaxf由此有.)1)(1lim)1()(lim)()1)(lim)()1)(1)(1)(xgxfxgxfxfxgexfxf5、極限的形式與關(guān)系（1）axfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000（2）axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim（3）anfaxfnx)(lim)(lim，anfaxf

8、nx)1(lim)(lim06、若axgxf)()(lim，則(i) 0)(lim0)(limxfxg(ii) 0)(lim0,0)(limxgaxf若axgxf)()(lim，則(i) 0)(lim)(limxgxf(ii) )(lim0,0)(limxgaxf 7、設(shè))(xf在0 x 處連續(xù)，則（1）)()(lim)(lim),()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx（2）axfxfaxxxfxx)(, 0)()(lim0000（3）0)(, 0)()1()()(lim0000 xfxfkaxxxfkxx（4）)(,0)()10()()(lim0000 xfxfkaxxxf

9、kxx不存在四、典型題型與例題題型一、函數(shù)的概念和性質(zhì)例 1、設(shè)1,1()0,1xfxx，則( )fff x= （a） 0 （b） 1 （c）11,10,xx（d）10,11,xx例 2、對下列函數(shù) （1）2sin xx（2）12111xxex（3） arctanln(1)xxx在（0，1）內(nèi)有界的有（）個（a） 0 （b） 1 （c） 2 （d） 3 例 3、（0434）函數(shù)2sin(2)( )(1)(2)xxfxx xx在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（a）（-1，0） （b）（0，1） （c） （1，2） （d）（2，3）例 4、（0534）以下四個命題中正確的是（）（a） 若( )fx 在（0，1

10、）內(nèi)連續(xù)，則()f x在（0，1）內(nèi)有界（b） 若()f x在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則()fx在（0，1）內(nèi)有界（c） 若( )fx 在（0，1）內(nèi)有界，則()f x在（0，1）內(nèi)有界（d） 若()f x在（0，1）內(nèi)有界，則( )fx 在（0，1）內(nèi)有界例 5、（051、2）設(shè)()fx是連續(xù)函數(shù)()f x的一個原函數(shù)，則必有（a）()fx是偶函數(shù)()f x是奇函數(shù)（b）()fx是奇函數(shù)()f x是偶函數(shù)（c）()fx是周期函數(shù)()fx是周期函數(shù)（d）()fx是單調(diào)函數(shù)()fx是單調(diào)函數(shù)題型二、極限的概念和性質(zhì)例6、 當(dāng)0 x時，311cosxx是（a） 無窮小 （b）無窮大（ c）有界的但不是無

11、窮?。?d）無界的但不是無窮大例 7、設(shè)對n，總有nnnyxz ，且lim()0nnnzy，則limnnx（a） 存在且等于 0 （b）存在但一定不為0 （c）一定不存在（d）不一定存在例 8、已知( )f x在0 x處連續(xù)，且20sin()lim()2xxf xxx，求(0),(0)ff題型三、求函數(shù)的極限基本思路：1、先化簡（1）約掉零因子（無窮因子）（2）提出極限不為零的因子（3）根式有理化（4）無窮小替換（5）變量替換（尤其是倒代換）2、再用洛必達(dá)法則或其它求極限的方法3、上述步驟可重復(fù)進(jìn)行1、常規(guī)方法：1) 運(yùn)算法則，2) 無窮小量等價代換，3）洛必塔法則1）用運(yùn)算法則應(yīng)注意的問題例

12、 9、求極限例 10、求極限)1ln(sin12(lim410 xxeexxx羅畢達(dá)法則 1、00或型1、先化簡2、用洛必達(dá)法則、四則運(yùn)算法則、泰勒公式3、綜合題（結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義等）例 11、求lim(3sincos )(1cos ) arctanln()( )xxxtttdtxt dt02001100例 12、求極限limln(1sin)( )sinxxxeex0300例 13、（042）求極限3012coslim()13xxxx例 14、（0734）3231lim(sincos )2xxxxxxx= 羅畢達(dá)法則 2、1型型未定式有兩種處理方法或例 15、求2sin20lim(cos )xx

13、x例 16、11lim(sincos)xxxx例 17、（101）極限2lim()()xxxxaxb(a)1 . (b) e . (c)a be. (d)b ae. 【】羅畢達(dá)法則 3、其他類型000,0 ,1、0型轉(zhuǎn)化為00型，用洛必達(dá)法則等2、ln000ln00,0ee3、型 (i) 通分 (ii) 變量替換（重點(diǎn)倒代換）轉(zhuǎn)化為00型。4、111 ,0,不是未定式例 18、求極限xxxlnlim0例 19（0434）求22201coslim()sinxxxx2、變形方法：1) 變量代換； 2) 導(dǎo)數(shù)定義；3) 泰勒公式 ; 特別若 f(x) 二階連續(xù)可導(dǎo)，則有例 20、設(shè) f (x) 連續(xù)

14、， f(0)=0, f(0)0, 求103020)()(lim2dtxtfxdttxfxx例 21、求下列極限 ( 泰勒公式 ), 例 22、求22220112lim(cos)sinxxxxxex法一、有理化，無窮小替換、洛必達(dá)法則法二、泰勒公式3、抽象函數(shù)例 23、若0)(6sinlim30 xxxfxx，求20)(6limxxfx。題型四、求數(shù)列的極限思路：1、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限。2、數(shù)列用遞推公式給出，可考慮單調(diào)有界原理。3、對通項適當(dāng)放大（縮?。?，用夾逼準(zhǔn)則。4、和（積）的極限，可考慮用定積分的定義。)(8121114422xoxxx)(23)(1211cos222222xoxxoxxe

15、xx1、 利用函數(shù)極限求數(shù)列的極限方法： 1、)(lim)(limxfnfxn 2、若)(lim)(limlim00 xfxfxxxxnnnn例 24、求nnn24tanlim2、利用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則（1）、兩個準(zhǔn)則（2）、已知)(),(,11xfxfxxnn可導(dǎo) 1）若0)(xf，則nx單調(diào)，且1212xxxxxn 2）若0)(xf，則nx不單調(diào)（3）、若存在)10(,kka使得axkaxnn 1，則axnnlim例 25、設(shè)1110,6(1,2,)nnxxxn證明limnnx，并求其解。例 26、設(shè)1140,3(1,2,)nnxxnx證明limnnx，并求其解。3、利用定積分定義 (適合 n

16、 項求和的情形 ) 思路： 1、求出 n項和或積（積可轉(zhuǎn)化為和），再求極限。 2 、利用夾逼準(zhǔn)則。 3 、利用定積分的定義 4 、利用已知級數(shù)的和。公式： 1） 2）例 27、22212limln(1) (1)(1)nnnnnn等于（a）221ln xdx（b）212ln xdx（c）212ln(1)x dx（d）221ln (1)x dx例 28、求22221lim(1(1) )nnnnn3、其他方法例 29、!limnnnn（用級數(shù)收斂性）解：考慮級數(shù)1!nnnn由于11)111 (1lim!)1()!1(limlim11ennnnnuunnnnnnnn級數(shù)1!nnnn收斂，所以!limn

17、nnn=0 例 30、2lim(arctanarctan)1naannn（用中值定理）解：用拉格朗日中值定理)1(111arctanarctan2nananana（介與1,nana之間） =) 1(112nna）因而2lim(arctanarctan)1naannn=a題型五、反問題求已知極限中的待定參數(shù)，函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)及函數(shù)等命題方式： 1、已知極限存在 2 、已知無窮小階的比較 3 、已知函數(shù)的連續(xù)性或間斷點(diǎn)類型思路： 1、將極限轉(zhuǎn)化為)()(lim,)()(limxgxfxgxf 2 、洛必達(dá)法則 3 、泰勒公式例 31、已知33lim(12)0 xxxaxb求,a b的值例 31、已知當(dāng)

18、0 x時，23xxcaxxbedt 是4x的高階無窮小，求, ,a b c值例 33、（022）已知( )f x在(0,)可導(dǎo)，( )0fx，且lim( )1xf x滿足110()lim()( )hxhf xhxef x，求( )f x題型六、無窮小量的比較1、掌握低階無窮小、高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小等概念2、當(dāng)0 x時，0)(xf，若)0()(kaxxfk，則11)(kxkaxf例 34、設(shè)函數(shù)561 cos20( )sin(),( )56xxxf xtdt g x則當(dāng)0 x時，( )f x是( )g x的（a） 低階無窮小（ b）高階無窮?。?c）等價無窮小（ d）同階但不等價的無窮小例 35、（0412）把0 x時的無窮小2002ta