三角函數(shù)公式的推導(dǎo)

1、誘導(dǎo)公式 目錄·誘導(dǎo)公式·誘導(dǎo)公式記憶口訣·同角三角函數(shù)基本關(guān)系·同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法·兩角和差公式·倍角公式·半角公式·萬(wàn)能公式·萬(wàn)能公式推導(dǎo)·三倍角公式·三倍角公式推導(dǎo)·三倍角公式聯(lián)想記憶·和差化積公式·積化和差公式·和差化積公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角，+的三

2、角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotc

3、ot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kz) 誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于k·/2±(kz)的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。（符

4、號(hào)看象限）例如：sin(2)sin(4·/2)，k4為偶數(shù)，所以取sin。當(dāng)是銳角時(shí)，2(270°，360°)，sin(2)0，符號(hào)為“”。所以sin(2)sin上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k·360°+（kz），-、180°±，360°-所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦” 這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限

5、內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 其他三角函數(shù)知識(shí)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tan ·cot1sin ·csc1cos ·sec1商的關(guān)系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關(guān)系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。（1）倒

6、數(shù)關(guān)系：對(duì)角線(xiàn)上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線(xiàn)兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線(xiàn)的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin                

7、          tantantan（）                       1tan ·tan                        tantantan（）   

8、;                    1tan ·tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()                2tantan2            

9、;  1tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）                     1cossin2(/2)                           2        &

10、#160;            1coscos2(/2)                           2                     1costan2(/2) 

11、60;                  1cos萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式            2tan(/2)sin           1tan2(/2)            1tan2(/2)cos    

12、       1tan2(/2)             2tan(/2)tan           1tan2(/2)萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因?yàn)閏os2()+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)

13、正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos            3tantan3()tan3             13tan2()三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除

14、以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢(qián)”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減

15、3元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式                                   sinsin2sin-·cos-              &#

16、160;              2             2                                   sinsin2cos-·sin-  

17、0;                           2            2                            

18、60;        coscos2cos-·cos-                                          2             2  

19、0;                                      coscos2sin-·sin-                           &#

20、160;         2            2積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式sin ·cos0.5sin（）sin（）cos ·sin0.5sin（）sin（）cos ·cos0.5cos（）cos（）sin ·sin 0.5cos（）cos（）和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到

21、sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們

22、就得到了積化和差的四個(gè)公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y

23、)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)利用變角思想. A=(A+B)/2+(A-B)/2 B=(A+B)/2-(A-B)/2 sinA+sinB=sin(A+B)/2+(A-B)/2+sin(A+B)/2-(A-B)/2 =sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(A+B)/2*sin(A-B)/2+sin(A+B)/2*cos(A-B)/2-cos(A+B)/2*sin(A-B)/2 =2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2 其它的同理可得 回答：2008-09-21 15:32提問(wèn)者對(duì)答案的評(píng)價(jià)：共0條評(píng)論.其他回答 共1條回答評(píng)論 舉報(bào) SBB55學(xué)長(zhǎng) sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb兩式求和得 sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式從右往左即為積化和差 令a+b=x.a-b=y,則a=(x+y)/2,b=(x-y)/2