2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.1函數(shù)及其表示

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：2.1函數(shù)及其表示一、求函數(shù)的定義域、值域1、確定函數(shù)的定義域的原則（1）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用列表法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合;（2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合；（3）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合；（4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的定義域由實(shí)際問(wèn)題的意義確定。2、確定函數(shù)定義域的依據(jù)（1）若f(x)是整式，則定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）若f(x)是分式，則定義域?yàn)槭狗质降姆帜覆粸榱愕膞取值的集合；（3）當(dāng)f(x)是偶次根

2、式時(shí)，定義域是使被開方式取非負(fù)的x取值的集合；（4）當(dāng)f(x)是非正數(shù)指數(shù)冪時(shí)，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值的集合；（5）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)定義域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍,b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa,b時(shí)的值域。3、求簡(jiǎn)單函數(shù)值域的方法(1)觀察法；(2)圖象觀察法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)均值不等式法；(6)換元法.4、例題解析例1(2012·大連模擬)求函數(shù)的定義域;(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1,1，求f(x)的定義域；(3)求下列函數(shù)的值域.y=x2+2x

3、,x0,3,y=log3x+logx3-1,分析：(1)根據(jù)解析式，構(gòu)建使解析式有意義的不等式組求解即可；2 / 23(2)要明確2x與f(x)中x的含義，從而構(gòu)建不等式求解;(3)根據(jù)解析式的特點(diǎn)，分別選用圖象觀察法；均值不等式法；單調(diào)性法求值域.解答：(1)要使該函數(shù)有意義，需要?jiǎng)t有：解得:-3x0或2x3,所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?(-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定義域?yàn)?1，1，即-1x1,故f(x)的定義域?yàn)?(3)y=(x+1)2-1在0,3上的圖象如圖所示,由圖象知：0y32+2×3=15,所以函數(shù)y=x2+2x，x0,3的值域?yàn)?,15.,定義域?yàn)?0,1)(

4、1,+)，當(dāng)0x1時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，綜上可知，其值域?yàn)?-,-31,+).因?yàn)閤2-1-1，又y=2x在R上為增函數(shù),2-1=.故值域?yàn)?+).【規(guī)律方法】求函數(shù)定義域的方法(1) 求具體函數(shù)y=f(x)的定義域：(2)(2)求抽象函數(shù)的定義域：若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出.若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍,b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa,b時(shí)的值域.提醒：定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.例2設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ A ）. B. C. D.解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當(dāng)，令解得。當(dāng)，故 ，解得【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函

5、數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的運(yùn)用以及一元二次不等式的求解例3試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），而g（x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當(dāng)nN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所

6、以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閤|x0，而g（x）=的定義域?yàn)閤|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)注：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。例4求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域?yàn)楦念}：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函

7、數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域?yàn)椋?）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為又，故，的值域?yàn)椋?）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?，原函?shù)的值域?yàn)椋ǚǘ┓蛛x變量法：，函數(shù)的值域?yàn)椋?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域?yàn)樽ⅲ嚎偨Y(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：，設(shè)，則，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域?yàn)椋?）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)橛傻茫?當(dāng)即時(shí)，即，當(dāng)即時(shí)，時(shí)方程恒有實(shí)根，且，原函數(shù)的值域?yàn)椋?），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域?yàn)樽ⅲ荷厦嬗懻摰氖怯贸醯确椒ㄇ蠛瘮?shù)值域的一些常見(jiàn)類

8、型與方法，掌握這些方法對(duì)于以后的復(fù)習(xí)中求解綜合性的題目時(shí)是非常有用的。二、分段函數(shù)及實(shí)際應(yīng)用題1、相關(guān)鏈接（1）解決分段函數(shù)的基本原則是分段進(jìn)行，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用這一段的解析式來(lái)解決；（2）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題意確定好分段點(diǎn)，在每一段上分析出其解析式，然后再寫成分段函數(shù)；（3）對(duì)于分段函數(shù)的最值問(wèn)題，一般是將每一段上的最值分別求出，其中的最大者就是整個(gè)函數(shù)的最大值，其中的最小者就是整個(gè)函數(shù)的最小值。2例題解析例1我國(guó)是水資源相對(duì)匱乏的國(guó)家，為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市打算制定一項(xiàng)水費(fèi)措施，規(guī)定每季度每人用水不超過(guò)5噸時(shí)，每噸水費(fèi)的價(jià)格(基本消費(fèi)價(jià))為1.3元，若超過(guò)5噸而不超過(guò)6噸

9、時(shí)，超過(guò)部分的水費(fèi)加收200%，若超過(guò)6噸而不超過(guò)7噸時(shí)，超過(guò)部分的水費(fèi)加收400%，如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x7)噸，試計(jì)算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi).思路分析：計(jì)算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi)，應(yīng)看他的用水量x在何范圍內(nèi)，不同的范圍，繳納的水費(fèi)不同；可采用分段函數(shù)來(lái)表示.解答：設(shè)y表示本季度應(yīng)繳納的水費(fèi)(元)，當(dāng)0x5時(shí)，y=1.3x；當(dāng)5x6時(shí)，應(yīng)將x分成兩部分：5與(x-5)分別計(jì)算，第一部分為基本消費(fèi)1.3×5，第二部分由基本消費(fèi)與加價(jià)消費(fèi)組成,即1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200%=3.9x-19.5，此時(shí)y=1.3×5+3.9x-19.5

10、=3.9x-13，當(dāng)6x7時(shí)，同理y=6.5x-28.6綜上可知：.例2某出版公司為一本暢銷書定價(jià)如下：這里的nN*表示購(gòu)書的數(shù)量，C(n)是訂購(gòu)n本書所付的錢數(shù)(單位：元).若一本書的成本價(jià)是5元，現(xiàn)有甲、乙兩人來(lái)買書，每人至少買1本，兩人共買60本，問(wèn)出版公司最少能賺多少錢？最多能賺多少錢？思路分析：分析題意知，先弄清分段點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；列出買書的費(fèi)用函數(shù)，在每一段上求最值，比較大小再求出整個(gè)函數(shù)的最值.解析：設(shè)甲買n本書，則乙買(60-n)本書(不妨設(shè)甲買的書少于乙買的書)，則n30,nN*當(dāng)1n11且nN*時(shí)，4960-n59，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+10(60-n)-5&#

11、215;60=2n+300；當(dāng)12n24且nN*時(shí)，3660-n48，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+11(60-n)-5×60=n+360;當(dāng)25n30且nN*時(shí)，3060-n35，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=11×60-5×60=360；當(dāng)1n11且nN*時(shí)，302f(n)322；當(dāng)12n24且nN*時(shí)，372f(n)384；當(dāng)25n30且nN*時(shí)，f(n)=360.故出版公司最少能賺302元，最多能賺384元.三、求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式的求法函數(shù)解析式的求法(1)湊配法：由已知條件f(g(x)=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以

12、x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式,此時(shí)要注意g(x)的范圍;(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f()或f(-x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x).2、例題解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求；解：（1）配湊法：，（或）；（2）換元法：令（），則，；（3）待定系數(shù)法：設(shè)，則，；（4）方程組法： 把中的換成，得 ，得。提醒：因?yàn)楹瘮?shù)的解

13、析式相同，定義域不同，則為不相同函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時(shí)，如果定義域不是使表達(dá)式有意義的x的取值，一定要注明函數(shù)的定義域，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.四、函數(shù)的綜合應(yīng)用例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7時(shí)，f(x)=(x2)2，求當(dāng)x16,20時(shí)，函數(shù)g(x)=2xf(x)的表達(dá)式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，記f(x)=0在區(qū)間1000,1000上的根數(shù)為N，求N的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f

14、(x)的圖像關(guān)于直線x=2,x=7對(duì)稱。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）當(dāng)x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2當(dāng)x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17時(shí)，g(x)最大值為16，最小值為9；x（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值為36，最小值為9。

15、（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個(gè)解。而在1000，1000上有200個(gè)周期，至少有400個(gè)解。又f(1000)=0所以最少有401個(gè)解。且這401個(gè)解的和為200。注 題中（2）可根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，通過(guò)作圖得到f(x)= 一般地：當(dāng)x3，2時(shí)，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2當(dāng)x3,7,f(x)=(x2)2故當(dāng)x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ）例2 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x0,y0)，記y+3xx2的最大值是M(a)，

16、試求（1）M(a)的表達(dá)式；（2）M(a)的最小值。解 將代數(shù)式y(tǒng)+3xx2表示為一個(gè)字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M(a)。（1）設(shè)S(x)=y+3xx2,將y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a>0 0x下面分三種情況求M(a)(i)當(dāng)0<3a<(a>0)，即時(shí)解得 0<a<1或2<a<3時(shí)M(a)=S(3a)= (3a)2+2(ii)當(dāng)3a(a>0)即時(shí)，解得：1a2，這時(shí)M(a)=S()=2a·+3·· =+(iii)當(dāng)3a0；即a3時(shí)M(a)=S(0)=