高等數(shù)學(xué)：2-3 高階導(dǎo)數(shù)

1、2-3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運(yùn)動的加速度變速直線運(yùn)動的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作

2、記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)

3、求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1l

4、n()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得三、高階

5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有都有 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) , 則則( )1. ()nuv ( )( )nnuv( )2. ()nCu( )nCu (C為常數(shù)為常數(shù))( )3. ()nuv ( )nuv (1)2!n n (1)(1)!n nnkk(2)nuv ()( )n kkuv ( )nuv萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz) 公式公式( )uu x 及及( )vv x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(1)nnuv 規(guī)律規(guī)律規(guī)律3u v ()uv u vuv()uv ()u vuv u vu v 2uv ()uv u v 3u v uv 用數(shù)學(xué)歸納法可證用數(shù)學(xué)歸納法可證( )()( )0()Cnnkn

6、kknkuvuv 例例5 5.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.間接法間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1(

7、)( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).例例6 6.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例7 7.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 2

8、4cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn三、小結(jié)三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.思考題思考題設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考題解答思考題解答)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(

9、2limxgaxxgax )(2ag 作業(yè)作業(yè)P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3) 1)( !nxfn 已知已知)(xf任意階可導(dǎo)任意階可導(dǎo), 且且2n時時)()(xfn,)()(2xfxf則當(dāng)則當(dāng)練習(xí)練習(xí)一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)tetysin 則則y =_.=_.2 2、 設(shè)設(shè)xytan , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè)xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)2xxey , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y

10、 = =_. .6 6、 設(shè)設(shè)6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_.7 7、 設(shè)設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. .8 8、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： 1 1、 xxxy423 ； 2 2、 xxylncos2 ； 3 3、 )1ln(2xxy . . 三、三、試從試從ydydx 1，導(dǎo)出：，導(dǎo)出： 1 1、 322)(yydyxd ； 2 2、 5233)()(3yyyyd

11、yxd . . 四四、驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式02 yy . . 五、五、下列函數(shù)的下列函數(shù)的 n n 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)： 1 1、xeyxcos ； 2 2、 xxy 11； 3 3、 2323 xxxy; ; 4 4、 xxxy3sin2sinsin . . 一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22