第七章多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)理論基礎(chǔ)

1、第七章 多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)理論基礎(chǔ)§7.1概述當(dāng)多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣都是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定陣，且 滿(mǎn)足下列條件之一：MCK二KCMCMtK =KMaC( 7- 1)MKtC =CKjM則在系統(tǒng)的主模態(tài)空間中，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣是完全 解耦的。當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可以假設(shè)為比例阻尼或者滿(mǎn)足上面的解耦條件時(shí)， 可以采用實(shí)模態(tài)理論進(jìn)行振動(dòng)分析，即用實(shí)模態(tài)構(gòu)成的模態(tài)坐標(biāo)變換式對(duì)方程 進(jìn)行坐標(biāo)變換，使方程解耦后，采用模態(tài)疊加法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算。但是對(duì)于一般的線(xiàn)性阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)法用實(shí)模態(tài)矩陣進(jìn)行解 耦。要仿照結(jié)構(gòu)的實(shí)模態(tài)分析理論對(duì)結(jié)構(gòu)用模態(tài)疊加法進(jìn)行分析

2、，就必須采用 所謂的復(fù)模態(tài)理論在復(fù)模態(tài)空間來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行解耦。本章介紹一種狀態(tài)空間的 復(fù)模態(tài)理論。§72復(fù)模態(tài)的概念線(xiàn)性多自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為：mx cx kx =0(7-2)設(shè)其解為：x WJe't(7-3)代入方程(7- 2)得到：( 2mr c kj)f HD( )jf =0(7-4)矩陣D()稱(chēng)為系統(tǒng)的特征矩陣。方程(7-4)是一個(gè)“二次特征值”問(wèn)題，要(7-4)式有非零解的充要條件為：|D(k) =h2mfc +k|=0(7-5)上方程是一個(gè)關(guān)于'的2n次代數(shù)方程，有2n個(gè)特征根i (i =1,2,2n)，通常i都是復(fù)數(shù)，由于阻尼矩陣的正定性，而且

3、由于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻 尼矩陣都是實(shí)數(shù)矩陣， i 一定具有負(fù)的實(shí)部，且共軛成對(duì)出現(xiàn)。與復(fù)特征值對(duì) 應(yīng)的特征矢量也都是共軛復(fù)數(shù)形式。每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)特征根，都對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)中 具有的特定頻率與衰減率的一種衰減振動(dòng)。假定系統(tǒng)無(wú)重特征值，則系統(tǒng)的各個(gè)特征運(yùn)動(dòng)可以表示為：x（t）r =-re" （r =1,2, 2n）（ 7-6）系統(tǒng)的2n個(gè)復(fù)模態(tài)一一復(fù)特征矢量- r，可以構(gòu)成一個(gè)在系統(tǒng)位形空間的n 2n階的矩陣，稱(chēng)為復(fù)模態(tài)矩陣：=-1 '訂2f 2n（7- 7）由于系統(tǒng)在位形空間中的物理坐標(biāo)只有n個(gè)，而復(fù)模態(tài)卻有2n個(gè)，所以不能用（7-7）的復(fù)模態(tài)矩陣對(duì)（71）中的x進(jìn)行坐標(biāo)變換，來(lái)

4、對(duì)方程（7-1）進(jìn)行解耦。為了解決這個(gè)困難，我們將（7 1）式轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間:其中:MyK y二F(t)y二x：M訂°】叫jm c_K0 Jf(t)01kL y稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，系統(tǒng)在狀態(tài)空間的自由振動(dòng)方程為:MyKy二0設(shè)其特征解為：y（t） We，代入方程（7-11），得到：LM K）? =0(7-8)(7-9)(7-10)(7- 11)(7-12)(7-13)%M K| =0(7-14)%M K| =0(7-14)其特征方程為:%M K| =0(7-14)將M,K的定義式代入:即:+ -m010kJ-m叫m甲m_mc卩mPc+k=0(715):m護(hù) 2m +田 c+k =0(

5、716)由于m正定，所以有:42m +円 c+k =0與(7 4)比較可知：(7仃)(718)故（712）式可以寫(xiě)為:又因?yàn)?所以有:(719)(7 20)(7 21)即在狀態(tài)空間中，對(duì)應(yīng)于復(fù)特征根打的特征向量為:(7 22)sMffs Kffs -0(7 24)sMffs Kffs -0(7 24)它被定義為系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的第r階復(fù)模態(tài)。§73復(fù)模態(tài)的正交性及其歸一化對(duì)應(yīng)于復(fù)特征對(duì)（'r，?r），（ 's，Js），系統(tǒng)的特征方程分別為:rM?r K?r 二(7 23)sMffs Kffs -0(7 24)(7-25)用?；左乘（7-23）式，并用?：左乘（7- 2

6、4）式并轉(zhuǎn)置得到:上兩式相減得到:UTM?r VTK?r =0(r - s)J ；“? =0由此得到復(fù)模態(tài)?對(duì)M和K的加權(quán)正交關(guān)系如下:5"0 當(dāng)S當(dāng)、二s時(shí)，則有:且有而：m$rVTr；cm J=2貿(mào)- ： ' ：©' 令：5：皿'心=1并將（7-31）式做為復(fù)模態(tài)的歸一化條件，?n為第r階歸然，對(duì)于K陣有：frNTKf - r§7.4求解振動(dòng)響應(yīng)的復(fù)模態(tài)疊加法與實(shí)模態(tài)分析相同，利用系統(tǒng)在復(fù)模態(tài)空間中的復(fù)模態(tài)矩陣:巴十 J?J(7-26)(7-27)(7-28)(7-29)(7-30)(7-31)(7-32)化復(fù)模態(tài)。顯(7-33)(7-

7、34)(7 35)對(duì)狀態(tài)向量y進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換;y W z將（7 35）代入（7 8）,并前乘國(guó)T得到2n個(gè)完全解耦的方程:其中，或?qū)懗?因?yàn)椋篸iag(：fr)z diag()z =(t)diagRI J 二卩TM diagKr *TK怦tF(t) *TF(t)二憶 乙=(t) (r =1,2,2n)(7 36)(7 37)(7 38)所以:而:r(t)(0=找打(切=卅：:打詈 = Mf(t)在零初始條件下，（7 40）的解為:r：（）陽(yáng)川一以因?yàn)?"“：卜* z(t)=' LC z(t)(7 39)(7 40)(7 41)(7 42)(7 43)其中,Hdiag所以:2n(7 44)X八'rZr -12n1 t八 V r(十 0'- Tf(t)e'r(tJd.)VMr 0；專(zhuān)r 0f(t)e'r()d.r 4 M r當(dāng)激勵(lì)力為