滬科版八年級數學下知識點總結

1、滬科版八年級數學下知識點總結二次根式知識點：知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0 時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a0 時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負性（）表示 a 的算術平方根， 也就是說，（）是一個非負數， 即0 （

2、） 。注：因為二次根式（）表示 a 的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0 的算術平方根是 0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（） ，這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若， 則 a=0,b=0； 若， 則 a=0,b=0； 若， 則 a=0,b=0。知識點四：二次根式（） 的性質（）文字語言敘述為：一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，. 知識點五：二次根式的性質文字語言敘述為：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對

3、值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a 是正數還是負數， 若是正數或 0，則等于a 本身，即；若 a 是負數，則等于 a 的相反數 -a, 即；2、中的 a 的取值范圍可以是任意實數，即不論a 取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數 a 的算術平方根的平方，而表示一個實數 a 的平方的算術平方根；在中，而中 a 可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。因而它的運算的結果是有差別的，而2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而. 知識點七：二次根式的性質和最簡二

4、次根式如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有2、 3、 a（a0）、x+y 等；含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、 9、 a2、（ x+y）2、x2+2xy+y2 等（3）最終結果分母不含根號。知識點八：二次根式的乘法和除法1. 積的算數平方根的性質ab=a b（a0，b0）2. 乘法法則ab=ab（a0，b0）二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。3. 除法法則ab=ab（a0，b0）二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數的算數平方根的商，等于這兩個數商的算數平方根。4. 有理化根式。如果兩個含有根式的代數式的積

5、不再含有根式，那么這兩個代數式叫做有理化根式 , 也稱有理化因式。知識點九：二次根式的加法和減法1 同類二次根式一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。2 合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3 二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并。知識點十：二次根式的混合運算1 確定運算順序2 靈活運用運算定律3 正確使用乘法公式4 大多數分母有理化要及時5 在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化知識點十一：分母有理化分母有理化有兩種方法i. 分母是單項式如:

6、a/ b=a b/ b b=ab/b ii.分母是多項式要利用平方差公式如 1/ a b=a b/( a b)( a b)=a b/a b 如圖注意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。一元二次方程知識點：1. 一元二次方程的一般形式: a0 時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式. 2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四種解法要求靈活運用，其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較??；公式

7、法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發(fā)生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少. 3. 一元二次方程根的判別式: 當 ax2+bx+c=0 (a0)時，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式 . 請注意以下等價命題：0 有兩個不等的實根；=0 有兩個相等的實根；0 無實根；0 有兩個實根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系關系：當 ax2+bx+c=0 (a 0) 時，如 0，有下列公式：.acxxabxx)2(a2ac4bbx)1(212122, 1，；5. 一元二次方程的解法（1）直接開平方法（也可以使用因式分解法）2(0)xa a解為：xa2()(0)

8、xab b解為：xab2()(0)axbc c解為：axbc22()() ()axbcxdac解為：()axbcxd（2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20( ,0)()0axbxa bx axb此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為0 290(3)(3)0 xxx230(3)0 xxx x3 (21)5(21)0(35)(21)0 xxxxx22694(3)4xxx2241290(23)0 xxx24120(6)(2)0 xxxx225120(23)(4)0 xxxx（3）配方法二次項的系數為“ 1”的時候：直接將一次項的系數除于2 進行配方，如下所示：2220

9、()()022ppxpxqxq示例：22233310()()1022xxx二次項的系數不為“ 1”的時候：先提取二次項的系數，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022bbbaxbxcaa xxca xacaaa222224()()2424bbbbaca xcxaaaa示例：22221111210(4 )10(2)2102222xxxxx（4）公式法： 一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法將其變形為：2224()24bbacxaa當240bac時 ， 右端 是 正 數 因 此 ，方 程 有 兩 個不 相 等 的實 根 ：21,242bbacxa 當240bac時，右端是

10、零因此，方程有兩個相等的實根：1,22bxa 當240bac時，右端是負數因此，方程沒有實根。備注：公式法解方程的步驟：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并確定出a、b、c求出24bac，并判斷方程解的情況。代公式：21,242bbacxa（要注意符號） 5 當 ax2+bx+c=0 (a 0) 時，有以下等價命題：( 以下等價關系要求會用公式acxxabxx2121，；=b2-4ac 分析，不要求背記 ) （1）兩根互為相反數ab= 0 且0 b = 0且0；（2）兩根互為倒數ac=1且0 a = c且0；（3）只有一個零根ac= 0 且ab0 c = 0且

11、 b0；（4）有兩個零根ac= 0 且ab= 0 c = 0且 b=0；（5）至少有一個零根ac=0 c=0 ；（6）兩根異號ac0 a 、c 異號；（7）兩根異號， 正根絕對值大于負根絕對值ac0 且ab0a、c 異號且 a、b 異號；（8）兩根異號， 負根絕對值大于正根絕對值ac0 且ab0a、c 異號且 a、b 同號；（9）有兩個正根ac0，ab0 且0 a 、c 同號， a 、b 異號且0；（10）有兩個負根ac0，ab0 且0 a 、c 同號， a 、b 同號且 0. 6求根法因式分解二次三項式公式：注意：當 0 時，二次三項式在實數范圍內不能分解. ax2+bx+c=a(x-x1)

12、(x-x2) 或 ax2+bx+c=a2ac4bbxa2ac4bbxa22. 7求一元二次方程的公式：x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系數應化為整數. 8平均增長率問題 -應用題的類型題之一（設增長率為 x） ： (1) 第一年為 a , 第二年為 a(1+x) , 第三年為 a(1+x)2. （2）常利用以下相等關系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年=總和. 9分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每個分母驗增根代入最簡公分母公分母兩邊同乘最簡去分母法.0.2分母，值驗增根代入原方程每個換元湊元，設元，換元法）（10. 二元二次方程

13、組的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分組為應注意：的方程）（）（中含有能分解為方程組）分解降次法（程中含有一個二元一次方方程組法）代入消元（11幾個常見轉化：；或；)xx(xx4)xx()xx()xx(xx4)xx()xx(xx2)x1x(x1x2)x1x(x1xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx)1 (212122122121212212212122222221221221212212221222121212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，

14、2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx，22111212121222212()4xxxxxxx xxxx xx x等4xx.22xx2xx.12xx)2(221212121）兩邊平方為（和分類為；.,)2(34xx34xx) 1()916xx(34xx)3(2121222121因為增加次數兩邊平方一般不用和分類為或；.0 x,0 x:.1xxbsinacos,1acosasin,90babsinx,asinx)4(2122212221注意隱含條件可推出由公式時且如.0 x,0 x:.x,x),(,x,x)5(212121注意隱含條件的關系式推導出含

15、有公式等式面積例如幾何定理，相似形系可利用圖形中的相等關時若為幾何圖形中線段長.k,)6(”輔助未知元“引入些線段的比，并且可把它們轉化為某比例式、等積式等條件角三角形、三角函數、如題目中給出特殊的直.,;,)7(知數的關系但總可求出任何兩個未般求不出未知數的值少一個時，一方程個數比未知數個數一般可求出未知數的值數時方程個數等于未知數個勾股定理知識總結：一基礎知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b 的平方和等于斜邊c 的平方。 （即： a2+b2c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在abc中，

16、90c，則22cab，22bca，22acb）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長： a、b、c，則有關系 a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；（2）驗證 c2與 a2+b2是否具有相等關系，若c2a2+b2，則 abc是以c 為直角的直角三角形（若 c2a2+b2，則abc是以 c為鈍角的鈍角三

17、角形；若c2a2+b2，則abc為銳角三角形） 。（定理中a，b，c及222abc只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足222acb，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用

18、拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：4efghsss正方形正方形 abcd，2214()2abbac，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為221422sabcabc大正方形面積為222()2sabaabb所以222abc方法三：1() ()2sabab梯形，2112s222adeabessabc梯形，化簡得證6：勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即222abc中，a，

19、b，c為正整數時，稱a，b，c為一組勾股數記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代數式表示n組勾股數：221,2 ,1nn n（2,nn為正整數）；2221,22 ,221nnnnn（n為正整數）2222,2,mnmn mn（,mnm，n為正整數）二、規(guī)律方法指導1 勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。3勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個 知 識在應用過程中易犯的主要錯誤。abccbaed

20、cbabacbaccabcab4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c 有下列關系： a2+b2c2，?那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法5.? 應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 （例：勾股定理與勾股定理逆定理）四邊形知識點：一、 關系結構圖：cbahgfedcba二、知識點講解：1平行四邊形的性質（重點） ：abcd 是平行四邊形.54321）鄰角互補（）對角

21、線互相平分；（）兩組對角分別相等；（）兩組對邊分別相等；（）兩組對邊分別平行；（2. 平行四邊形的判定（難點） ：.3. 矩形的性質：因為 abcd 是矩形.3;2;1）對角線相等（）四個角都是直角（有通性）具有平行四邊形的所（abdocabdocadbcadbcocdababcdo (4)是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸4 矩形的判定：矩形的判定方法： (1) 有一個角是直角的平行四邊形；(2) 有三個角是直角的四邊形；(3) 對角線相等的平行四邊形；(4) 對角線相等且互相平分的四邊形四邊形 abcd 是矩形. 5. 菱形的性質：因為 abcd 是菱形.321角）對角線垂直且平分對（）四個邊都

22、相等；（有通性；）具有平行四邊形的所（6. 菱形的判定：邊形）對角線垂直的平行四（）四個邊都相等（一組鄰邊等）平行四邊形（321四邊形四邊形 abcd 是菱形 . 7. 正方形的性質：abcd 是正方形.321分對角）對角線相等垂直且平（角都是直角；）四個邊都相等，四個（有通性；）具有平行四邊形的所（8. 正方形的判定：一組鄰邊等矩形）（一個直角）菱形（一個直角一組鄰邊等）平行四邊形（321四邊形 abcd 是正方形 . cdbaocdbao名稱定義性質判定面積平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 對邊平行；對邊相等；對角相等；鄰角互補；對角線互相平分；是中心對稱圖形定義；兩組對

23、邊分別相等的四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形；兩組對角分別相等的四邊形；對角線互相平分的四邊形。s=ah(a 為一邊長， h 為這條邊上的高 ) 矩形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質外，還有：四個角都是直角；對角線相等；既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；定義。s=ab(a 為一邊長， b 為另一邊長 ) 菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質外，還有四邊形相等；對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。四條邊相等的四邊形是菱形；對角線垂直的平行四邊形是菱形；定義。s=ah(a 為一邊長， h 為這條邊上的高)；(b、c 為兩條對角線的長) 正方形有一組鄰邊