卡方分布的研究

1、概率論小論文題目：卡方分布的研究姓名：朱旋學(xué)號：1130510223院系：電信學(xué)院通信工程專業(yè)卡方分布的研究摘要：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域，三大分布（卡方分布、t分布、F分布）占有者重要的地位，而其中的卡方分布是最基本也是運用最廣泛的一種分布，本文就卡方分布的提出、內(nèi)容以及運用方面圍繞卡方分布進(jìn)行論述。關(guān)鍵詞：卡方分布，t分布，F(xiàn)分布，分布函數(shù)，赫爾默特，卡方檢驗一、卡方分布簡介卡方分布，是概率論與統(tǒng)計學(xué)中常用的一種概率分布。k個獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布?？ǚ椒植际且环N特殊的伽瑪分布。假設(shè)檢驗和置信區(qū)間的計算。若n個相互獨立的隨機變量、n ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱

2、獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和構(gòu)成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為分布，其中參數(shù)n稱為自由度，正如正態(tài)分布中均值或方差不同就是另一個正態(tài)分布一樣，自由度不同就是另一個分布。記為或者卡方分布是由正態(tài)分布構(gòu)造而成的一個新的分布，當(dāng)自由度n很大時，分布近似為正態(tài)分布。對于任意正整數(shù)k， 自由度為 k的卡方分布是一個隨機變量X的機率分布。二、提出者介紹卡方分布是德國大地測量學(xué)家赫爾默特（Friedrich Robert Helmert） 于1875年提出的，為后來概率統(tǒng)計學(xué)奠定了基礎(chǔ)。赫爾默特是德國大地測量學(xué)家。1843年7月3日生于弗賴貝格，

3、1917年6月15日卒于波茨坦。曾任亞琛大學(xué)、柏林大學(xué)教授，波茨坦普魯士皇家大地測量研究所所長和國際大地測量學(xué)協(xié)會中央局主席。他第一次系統(tǒng)地論述了最小二乘法平差計算的理論，他所闡述的“等值觀測”理論，是相關(guān)觀測理論的基礎(chǔ)。在現(xiàn)代誤差分析和誤差統(tǒng)計方面，赫爾默特首先提出分析函數(shù)。其著作大地測量學(xué)的數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理，系統(tǒng)地論述了大地測量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和物理基礎(chǔ)，第一次給大地測量學(xué)以系統(tǒng)的、明確的概念。為了研究地球的形狀和大小，他于1880年提出面積法代替經(jīng)典的弧度測量法，這一方法成功地被用于推算地球橢球。他所推求出的地球扁率接近于最新精確值。在地球測量方面，他提出了水準(zhǔn)橢球的新概念。他根據(jù)可倒擺理論測

4、出波茨坦大地測量研究所的絕對重力值，被定為國際重力基準(zhǔn)，稱波茨坦重力系統(tǒng)，世界各國采用此系統(tǒng)達(dá)70年之久 。著有 最小二乘法平差計算、垂線偏差、可倒擺理論、重力與地球質(zhì)量分布等。三、卡方分布解釋（1）概率密度函數(shù) 其中，是伽瑪函數(shù)。（2）期望和方差分布的均值為自由度 n，記為 E() = n。分布的方差為2倍的自由度(2n)，記為 D() = 2n。（3）性質(zhì)分布在第一象限內(nèi)，卡方值都是正值，呈正偏態(tài)（右偏態(tài)），隨著參數(shù) n 的增大，分布趨近于正態(tài)分布；卡方分布密度曲線下的面積都是1.分布的均值與方差可以看出，隨著自由度n的增大，2分布向正無窮方向延伸（因為均值n越來越大），分布曲線也越來越低

5、闊（因為方差2n越來越大）。不同的自由度決定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 若互相獨立，則：服從分布，自由度為；服從分布，自由度為。四、卡方分布的意義與應(yīng)用（一）由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于： 樣本某性質(zhì)的比例分布與總體理論分布的擬合優(yōu)度；同一總體的兩個隨機變量是否獨立；二或多個總體同一屬性的同素性檢定。（二）卡方檢驗卡方檢驗主要應(yīng)用于計數(shù)數(shù)據(jù)的分析，對于總體的分布不作任何假設(shè)，因此它屬于非參數(shù)檢驗法中的一種。它由統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)。理論證明，實際觀察次數(shù)（fo）與理論次數(shù)（fe），又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計量，近似服從卡方分布。顯然fo與fe相差越大

6、，卡方值就越大；fo與fe相差越小，卡方值就越??；因此它能夠用來表示fo與fe相差的程度。根據(jù)這個公式，可認(rèn)為卡方檢驗的一般問題是要檢驗名義型變量的實際觀測次數(shù)和理論次數(shù)分布之間是否存在顯著差異。一般用卡方檢驗方法進(jìn)行統(tǒng)計檢驗時，要求樣本容量不宜太小，理論次數(shù)5，否則需要進(jìn)行校正。如果個別單元格的理論次數(shù)小于5，處理方法有以下四種：1、單元格合并法；2、增加樣本數(shù)；3、去除樣本法；4、使用校正公式。當(dāng)某一期望次數(shù)小于5時，應(yīng)該利用校正公式計算卡方值?？ǚ綑z驗的統(tǒng)計原理：  卡方檢驗所檢測的是樣本觀察次數(shù)或百分比與理論或總體次數(shù)或百分比的差異性。  

7、60;理論或總體的分布狀況，可用統(tǒng)計的期望值（理論值）來體現(xiàn)。  卡方的統(tǒng)計原理，是取觀察值與期望值相比較?？ǚ街翟酱螅斫y(tǒng)計量與理論值的差異越大，一旦卡方值大于某一個臨界值，即可獲得顯著的統(tǒng)計結(jié)論?？ǚ綑z驗的主要應(yīng)用： 獨立性檢驗 行*列表資料的獨立性檢驗 擬合性檢驗（三）卡方分布臨界值表卡方分布不像正態(tài)分布那樣將所有正態(tài)分布的查表都轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去查，在分布中得對每個分布編制相應(yīng)的概率值，這通過分布表中列出不同的自由度來表示，在分布表中還需要如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中給出不同 P 值一樣，列出概率值，只不過這里的概率值是值以上，分布曲線以下的概率。由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所給出的 P 值就不像標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中那樣給出了400個不同的 P 值，而只給出了有代表性的13個值，因此2分布概率表的精度就更差，不過給出了常用的幾個值，足夠在實際中使用了。查分布概率