運動定律與力學(xué)中的守恒定律大學(xué)物理

1、自然和自然規(guī)律隱藏在黑暗之中，自然和自然規(guī)律隱藏在黑暗之中，上帝說上帝說“讓牛頓降生吧讓牛頓降生吧”，一切就有了光明；一切就有了光明；但是，光明并不久長，魔鬼又出現(xiàn)了，但是，光明并不久長，魔鬼又出現(xiàn)了，上帝咆哮說：上帝咆哮說：“讓愛因斯坦降生吧讓愛因斯坦降生吧”，就恢復(fù)到現(xiàn)在這個樣子。就恢復(fù)到現(xiàn)在這個樣子。 三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，建立了動力學(xué)三大定律和萬有引力定律。建立了動力學(xué)三大定律和萬有引力定律。其實，沒有后者，就不能充分顯示前者其實，沒有后者，就不能充分顯示前者的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學(xué)推的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學(xué)推上榮耀的頂峰。上榮

2、耀的頂峰。 魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學(xué)推跨，魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學(xué)推跨，她在更加堅實的基礎(chǔ)上確立了自己的使她在更加堅實的基礎(chǔ)上確立了自己的使用范圍。宇宙時代，給牛頓力學(xué)帶來了用范圍。宇宙時代，給牛頓力學(xué)帶來了又一個繁花似錦的春天。又一個繁花似錦的春天。一、慣性定律一、慣性定律 慣性參考系慣性參考系 1 1、慣性定律、慣性定律（Newton first law） 任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，直到受到力的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止。直到受到力的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止。(2). . 定義了定義了慣性參考系慣性參考系 (1). . 包含兩個重

3、要概念：包含兩個重要概念：慣性慣性和和力力 2-1 牛頓運動定律牛頓運動定律固有特性固有特性2、慣性參照系慣性參照系 慣性參照系慣性參照系牛頓定律嚴(yán)格成立的參照系。根據(jù)牛頓定律嚴(yán)格成立的參照系。根據(jù)天文觀察，以太陽系作為參照系研究行星運動時發(fā)現(xiàn)天文觀察，以太陽系作為參照系研究行星運動時發(fā)現(xiàn)行星運動遵守牛頓定律，行星運動遵守牛頓定律，所以太陽系是一個慣性系。所以太陽系是一個慣性系。問問題題a=0時單擺和小球的狀態(tài)符合牛頓定律時單擺和小球的狀態(tài)符合牛頓定律結(jié)論結(jié)論：在有些參照系中牛頓定律成立，這些系稱為慣在有些參照系中牛頓定律成立，這些系稱為慣性系。相對慣性系作加速運動的參照系是非慣性系。性系。相

4、對慣性系作加速運動的參照系是非慣性系。而相對慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。而相對慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。a0時單擺和小球的狀態(tài)為什麼不符合牛頓定律？時單擺和小球的狀態(tài)為什麼不符合牛頓定律？3、慣性系與非慣性系、慣性系與非慣性系二、牛頓二、牛頓第二定律第二定律（Newton second law） 在受到外力作用時，物體所獲得的加速度的大小在受到外力作用時，物體所獲得的加速度的大小與外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與外力的矢量和的方向相同。與外力的矢量和的方向相同。amF2、迭加性：、迭加性： iNiNFFFFF

5、121特點特點： 瞬時性；迭加性；矢量性；定量的量度了慣性瞬時性；迭加性；矢量性；定量的量度了慣性 1、瞬時性：、瞬時性：aF、之間一一對應(yīng)之間一一對應(yīng)3、矢量性：、矢量性：具體運算時應(yīng)寫成分量式具體運算時應(yīng)寫成分量式dtdvmmaFyyy dtdvmmaFxxx dtdvmmaFzzz 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：dtdvmF 2vmFn 自然坐標(biāo)系中：自然坐標(biāo)系中：4、定量的量度了慣性定量的量度了慣性 ABBAaamm 慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量：牛頓第二定律中的質(zhì)量常被稱為慣性質(zhì)量牛頓第二定律中的質(zhì)量常被稱為慣性質(zhì)量引力質(zhì)量引力質(zhì)量：0221rrmmGF式中式中21mm 、被稱為引力質(zhì)量被稱為引力

6、質(zhì)量經(jīng)典力學(xué)中經(jīng)典力學(xué)中不區(qū)分不區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量三、第三定律三、第三定律（Newton third law） 兩個物體之間對各自對方的相互作用總是相等兩個物體之間對各自對方的相互作用總是相等的，而且指向相反的方向。的，而且指向相反的方向。21FF作用力與反作用力作用力與反作用力：1、它們總是成對出現(xiàn)。它們之間一一對應(yīng)。、它們總是成對出現(xiàn)。它們之間一一對應(yīng)。2、它們分別作用在兩個物體上。絕不是平衡力。、它們分別作用在兩個物體上。絕不是平衡力。3、它們一定是屬于同一性質(zhì)的力。、它們一定是屬于同一性質(zhì)的力。例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的小球，在水中受的浮力為常力的小球，在水中受的浮

7、力為常力F，當(dāng)，當(dāng)它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為f=kv(k為為常數(shù)），證明小球在水中豎直沉降的速度常數(shù)），證明小球在水中豎直沉降的速度v與時間與時間t的的關(guān)系為關(guān)系為fFmgax)1 (mktekFmgv式中式中t為從沉降開始計算的時間為從沉降開始計算的時間證明：取坐標(biāo)，作受力圖。證明：取坐標(biāo)，作受力圖。dtdvmmaFkvmg根據(jù)牛頓第二定律，有根據(jù)牛頓第二定律，有四、牛頓定律的應(yīng)用四、牛頓定律的應(yīng)用初始條件：初始條件：t=0 時時 v=0dtdvmmaFkvmg tvdtm)Fkvmg(dv00 tvdt)Fkvmg()Fkvmg(dkm00

8、mkt)Fkvmgln(v 0)1 (mktekFmgv運動描述具有相對性運動描述具有相對性車上的人觀察車上的人觀察地面上的人觀察地面上的人觀察2-2 力學(xué)相對性原理力學(xué)相對性原理 非慣性系中的力學(xué)非慣性系中的力學(xué)一、一、 伽利略變換、經(jīng)典力學(xué)時空觀伽利略變換、經(jīng)典力學(xué)時空觀時間、長度、質(zhì)量時間、長度、質(zhì)量“同時性同時性”和力學(xué)定律的形式和力學(xué)定律的形式是是絕對的絕對的物體的坐標(biāo)和速度、物體的坐標(biāo)和速度、“同一地點同一地點”是是相對的相對的ttzzyyutxx 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換方程方程ttzzyyutxx或或經(jīng)典時空觀經(jīng)典時空觀 根據(jù)伽利略變換，我們可得出牛頓的絕對時空觀，根據(jù)伽利略變換，我們

9、可得出牛頓的絕對時空觀，也稱之為經(jīng)典時空觀。也稱之為經(jīng)典時空觀。在在S系內(nèi)，米尺的長度為系內(nèi)，米尺的長度為212212212)()()(zzyyxxL在在S系內(nèi)，米尺的長度為系內(nèi)，米尺的長度為212212212)()()(zzyyxxL利用伽利略變換式得利用伽利略變換式得LL結(jié)論結(jié)論：空間空間任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言都是相等的，都是相等的，與與慣性系的選擇或觀察者的慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關(guān)相對運動無關(guān)。即：長度是即：長度是“絕對的絕對的”，或稱之為，或稱之為“絕對空間絕對空間”。tt再有再有時間時間也也與與慣性系的選擇或觀察者的慣性

10、系的選擇或觀察者的相對運動無關(guān)相對運動無關(guān) “ “絕對空間絕對空間”、“絕對時間絕對時間”和和“絕對質(zhì)量絕對質(zhì)量”這三個概念的總和構(gòu)成了經(jīng)典力學(xué)的所謂這三個概念的總和構(gòu)成了經(jīng)典力學(xué)的所謂“絕對時絕對時空觀空觀”： 空間、時間和物質(zhì)的質(zhì)量與物質(zhì)的運動無空間、時間和物質(zhì)的質(zhì)量與物質(zhì)的運動無關(guān)而獨立存在關(guān)而獨立存在，空間永遠(yuǎn)是靜止的、同一的，時間，空間永遠(yuǎn)是靜止的、同一的，時間永遠(yuǎn)是均勻地流逝著的。永遠(yuǎn)是均勻地流逝著的。如果把如果把隨慣性系而變隨慣性系而變的看成是的看成是“相對相對”的，的，那么經(jīng)典力學(xué)中：那么經(jīng)典力學(xué)中：時間、長度、質(zhì)量時間、長度、質(zhì)量“同時性同時性”和力學(xué)定律的形式和力學(xué)定律的形

11、式物體的坐標(biāo)和速度物體的坐標(biāo)和速度“同一地點同一地點”是相對的是相對的是絕對的是絕對的把把不不隨慣性系而變隨慣性系而變的看成是的看成是“絕對絕對”的，的， 近代物理學(xué)發(fā)展表明：經(jīng)典的、與物近代物理學(xué)發(fā)展表明：經(jīng)典的、與物質(zhì)運動無關(guān)的絕對時空觀是錯誤的，并揭質(zhì)運動無關(guān)的絕對時空觀是錯誤的，并揭示出時間、空間與物質(zhì)運動密切相關(guān)的相示出時間、空間與物質(zhì)運動密切相關(guān)的相對性時空觀；而力學(xué)相對性原理則得到改對性時空觀；而力學(xué)相對性原理則得到改造發(fā)展為物理學(xué)中更為普遍的相對性原理造發(fā)展為物理學(xué)中更為普遍的相對性原理伽利略變換的困難伽利略變換的困難1)電磁場方程組不服從伽利略變換電磁場方程組不服從伽利略變換

12、2) 光速光速c 3) 高速運動的粒子高速運動的粒子邁克耳孫邁克耳孫- -莫雷實驗?zāi)讓嶒?測量以太風(fēng)測量以太風(fēng) 零結(jié)果零結(jié)果速度變換速度變換法則法則zzyyxxvvvvuvv zzyyxxaaaadtduaa 加速度變換加速度變換法則法則4）解釋天文現(xiàn)象的困難）解釋天文現(xiàn)象的困難 夜空的金牛座上的夜空的金牛座上的“蟹狀星云蟹狀星云”，是，是900多年多年前一次超新星爆發(fā)中拋出來的氣體殼層。前一次超新星爆發(fā)中拋出來的氣體殼層。Vc cABlVcltA cltB km/sVl15005 拋射速度拋射速度千光年千光年結(jié)論結(jié)論：在在25年持續(xù)看到超新星爆發(fā)時發(fā)出的強(qiáng)光。年持續(xù)看到超新星爆發(fā)時發(fā)出的強(qiáng)

13、光。史書記載史書記載：強(qiáng)光從出現(xiàn)到隱沒還不到兩年。強(qiáng)光從出現(xiàn)到隱沒還不到兩年。矛盾矛盾二、力學(xué)的相對性原理二、力學(xué)的相對性原理在在S系中：系中：amF 在在S 系中：系中：amF 在任何一個慣性系中牛頓定律都有完全相同的形式在任何一個慣性系中牛頓定律都有完全相同的形式即：伽利略相對性原理即：伽利略相對性原理 或經(jīng)典相對性原理或經(jīng)典相對性原理力學(xué)規(guī)律對一切慣性系都是等價的力學(xué)規(guī)律對一切慣性系都是等價的力學(xué)的相對性原理：力學(xué)的相對性原理：*三、非慣性系中的力學(xué)三、非慣性系中的力學(xué)1、在變速直線運動參考系中的慣性力：在變速直線運動參考系中的慣性力：samFaamF amam aamamFss地地sa

14、mF慣慣令令：2、在勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的慣性力：在勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的慣性力：-慣性離心力慣性離心力3、科里奧利力科里奧利力*kf 相相umf*k2在轉(zhuǎn)動的非慣性系，還須引入科里奧利力，在轉(zhuǎn)動的非慣性系，還須引入科里奧利力，才可沿用牛頓定律的形式才可沿用牛頓定律的形式地球是個勻角速轉(zhuǎn)動的參考系，但由于自轉(zhuǎn)角速地球是個勻角速轉(zhuǎn)動的參考系，但由于自轉(zhuǎn)角速度很小，地球上運動的物體往往察覺不到科里奧度很小，地球上運動的物體往往察覺不到科里奧利力的存在。利力的存在。2-3 動量動量 動量守恒定律動量守恒定律物理學(xué)大廈物理學(xué)大廈的基石的基石三大三大守恒定律守恒定律動量守恒定律動量守恒定律動能轉(zhuǎn)換與

15、守恒定律動能轉(zhuǎn)換與守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律一、質(zhì)點的動量定理一、質(zhì)點的動量定理amF由由可得：可得：dtpdF pptpppddtF0000ppI 作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理xxttxmvmvdtF1221 yyttymvmvdtF1221 zzttzmvmvdtF1221 分量表示式分量表示式二、質(zhì)點系的動量定理二、質(zhì)點系的動量定理第第i個質(zhì)點受到的合外力為個質(zhì)點受到的合外力為 11njjiifF外外對第對第i個質(zhì)點個質(zhì)點運用動量定理有：運用動量定理有：121121iiiittnjjiivm

16、vmdtfF 外外 niiiniiittninjijttniivmvmdtfdtF111211112121外外因為：因為：0111 ninjijf niiiniiittniivmvmdtF1112121外外三、動量守恒定律三、動量守恒定律01112 niiiniiivmvm則則有有若若外外0iF 一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作用）或合一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作用）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間動量可以交換。即：外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間動量可以交換。即：動量守恒定律動量守恒定律。xvo l0vumM例一例一、如圖，車在光滑水平面上運動。已知、如圖，車在光滑水平面上運動。已知

17、m、M、l0v人逆車運動方向從車頭經(jīng)人逆車運動方向從車頭經(jīng)t 到達(dá)車尾。到達(dá)車尾。求求：1、若人勻速運動，他到達(dá)車尾時車的速度；若人勻速運動，他到達(dá)車尾時車的速度； 2、車的運動路程；車的運動路程； 3、若人以變速率運動，若人以變速率運動， 上述結(jié)論如何？上述結(jié)論如何？ 解解：以人和車為研究：以人和車為研究系統(tǒng)，取地面為參照系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動系。水平方向系統(tǒng)動量守恒。量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM vo l0vumMxtlmMmvumMmvv 001、2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3、umMmvv 0lmMmtvdtmMmuvv

18、dtstt 0000)(例二、例二、 質(zhì)量為質(zhì)量為2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飛來，被板推擋后，又的速率飛來，被板推擋后，又以以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為板面法線的夾角分別為45o和和30o，求：求：（1）乒乓球得到的沖量；乒乓球得到的沖量；（2）若若撞擊時間為撞擊時間為0.01s，求板施于球的平求板施于球的平均沖力的大小和方向均沖力的大小和方向。45o 30o nv2v1解：取擋板和球為研究對象，由于解：取擋板和球為研究對象，由于作用時間很短，忽略重力影響。設(shè)作用時

19、間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對球的沖力為擋板對球的沖力為 則有則有：F12vmvmdtFI 45o 30o nv2v1Oxy取坐標(biāo)系，將上式投影，有：取坐標(biāo)系，將上式投影，有：tFmvmvdtFIxxx )45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin122.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvt N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFFsNjijIiIIyx 007. 0061. 0 為平均沖力為平均沖力與與x方向的夾角方向的夾角。6.54 tan 1148.0 xyFF此題也可用矢量法解此題也可用矢量法解45o 30o nv2

20、v1Oxy105cos2212222212vvmvmvmtFI Ns1014. 62 N14. 6 tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.7866sin 86. 64551.86 v2v1v1tFx 例三、例三、 一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。在桌面上。試證明試證明：在繩下落的過程中，：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。到桌面上的繩重量的三倍

21、。ox證明：證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時刻已有時刻已有x長的柔繩落至桌面，長的柔繩落至桌面，隨后的隨后的dt時間內(nèi)將有質(zhì)量為時間內(nèi)將有質(zhì)量為 dx（Mdx/L)的柔繩以的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動量變化率為：的速率碰到桌面而停止，它的動量變化率為：dtdtdxdxdtdp 根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：2vdtdtdxdxdtdpF 柔繩對桌面的沖力柔繩對桌面的沖力FF即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222而而已落到桌面上的柔繩的重量為而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以所以F總總=F+mg=2Mgx/L

22、+Mgx/L=3mg2-4 功、動能、勢能、機(jī)械能守恒功、動能、勢能、機(jī)械能守恒一、功、功率一、功、功率1 1、功、功力的空間積累力的空間積累外力作功是外界對系統(tǒng)過程的一個作用量外力作功是外界對系統(tǒng)過程的一個作用量riFiAB 21rrrdFdAA kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdA cos 微分形式微分形式直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 xxzzzyyyxbazyxzdFydFdxFdzFdyFdxFA000例例1 作用在質(zhì)點上的力為作用在質(zhì)點上的力為)(42Nji yF 在下列情況下求質(zhì)點從在下列情況下求質(zhì)點從)(21mx 處運動到處運動到)(32mx 處該力作的功：

23、處該力作的功：1. 質(zhì)點的運動軌道為拋物線質(zhì)點的運動軌道為拋物線yx42 2. 質(zhì)點的運動軌道為直線質(zhì)點的運動軌道為直線64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy做做功功與與路路徑徑有有關(guān)關(guān))(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx8104242491322121212211.)(, XYO23125. 2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx252146214249132221212211.)()(, bazyxBAdzFdyFdxFrdFA2、功率、功率 力在單位時間內(nèi)所作的功力在單位時間內(nèi)所作的功tWP平

24、均功率：dtdWtWPt0lim瞬時功率：瞬時功率等與力與物體速度的標(biāo)積瞬時功率等與力與物體速度的標(biāo)積單位：瓦特單位：瓦特 WrdFdW vFdtrdFP 二、保守力的功二、保守力的功1 1、保守力、保守力某些力對質(zhì)點做功的大小只某些力對質(zhì)點做功的大小只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而而與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)。這種力稱為保守力。這種力稱為保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、萬有引力、彈性力重力、萬有引力、彈性力與保守力相對應(yīng)的是與保守力相對應(yīng)的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0 rdFA2、重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a運動到運動到b

25、，取地面為坐標(biāo)原點，取地面為坐標(biāo)原點. baGrdgmA可見，可見，重力是保守力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量3、彈力的功彈力的功kxF可見，彈性力是保守力?？梢?，彈性力是保守力。XOab 彈簧振子彈簧振子222121bakxkx 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量)(222121abxxkxkxkxdxAba 4、引力的功引力的功 兩個質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時兩個質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時 ，以，以M所在處為原點所在處為原點,M指向指向m的方向為矢徑的正方向。的方向為矢徑的正方向。m受的引

26、力方向與矢徑方向相反。受的引力方向與矢徑方向相反。 barrbarrGMmdrrGMmrdfWba1112可見萬有引力是保守力。可見萬有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab rdrrdrrdr cos例例2、一隕石從距地面高為、一隕石從距地面高為h處由靜止開始落向地面，處由靜止開始落向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力的功忽略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力的功是多少？是多少？解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反abhRo RhRrdFW)(hRRGMmh 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrGMmRhR11 2例例3、質(zhì)量為質(zhì)量

27、為2kg的質(zhì)點在力的質(zhì)點在力i tF12(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運動。軸正向作直線運動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運動可以用標(biāo)量）解：（一維運動可以用標(biāo)量） vdttrdFW122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttW7299363124303302 例例4、一對作用力和反作用力的功一對作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2組成一個封閉系統(tǒng)組成一個封閉系統(tǒng)在在dt 時間內(nèi)時間內(nèi)2211rdfrdfdW 1111rdfrm 2112rrr )rr(

28、df)rdrd(fdW122122 21ff 212rdfdW 2222rdfrm 三、動能定理三、動能定理 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 質(zhì)點的質(zhì)點的動能動能質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)點系統(tǒng)的動能動能定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體22222221212121 JdmrdmrdmvEk221 JEk剛體的剛體的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221mvEk AB rifi 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理 合外力對質(zhì)點所合外力對質(zhì)點所做的功做的功等于質(zhì)點等于質(zhì)點動能的增量動能的增量。功功是質(zhì)點是質(zhì)點動能動能變化的量度變化的量度過程量過程量狀態(tài)量狀態(tài)量1221222212121212121KKvvEEmvmvmv

29、drdfA )(物體受外力作用物體受外力作用運動狀態(tài)變化運動狀態(tài)變化動能變化動能變化末態(tài)動能末態(tài)動能初態(tài)動能初態(tài)動能動能是動能是相對量相對量四、四、勢能、勢函數(shù)勢能、勢函數(shù) 在受保守力的作用下，質(zhì)點在受保守力的作用下，質(zhì)點從從A-B，所做的功與路徑無關(guān)，所做的功與路徑無關(guān)，而只與這兩點的位置有關(guān)?？梢慌c這兩點的位置有關(guān)?？梢胍粋€只入一個只與位置有關(guān)的函數(shù)與位置有關(guān)的函數(shù)，A點點的函數(shù)值減去的函數(shù)值減去B點的函數(shù)值，定義點的函數(shù)值，定義為從為從A -B保守力所做的功，該函保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。數(shù)就是勢能函數(shù)。AB定義了勢能差定義了勢能差選參考點（勢能零點），設(shè)選參考點（勢能零

30、點），設(shè)PBPAABEEA 0 PBEPAABEA )()(bafrMmGrMmGA00 222121baskxkxA baGmgzmgzA pppbaEEErdFAba 保保保保保守力保守力做正功做正功等于相應(yīng)勢能的等于相應(yīng)勢能的減少減少；保守力保守力做負(fù)功做負(fù)功等于相應(yīng)勢能的等于相應(yīng)勢能的增加增加。KKAKBEEEmvmvA 21222121外力外力做正功做正功等于相應(yīng)動能的等于相應(yīng)動能的增加增加；外力外力做負(fù)功做負(fù)功等于相應(yīng)動能的等于相應(yīng)動能的減少減少。比比較較重力勢能重力勢能（以地面為零勢能點）（以地面為零勢能點）mgyymgmgdyEyP )0(0引力勢能引力勢能（以無窮遠(yuǎn)為零勢能點

31、）（以無窮遠(yuǎn)為零勢能點）rGMmdrrMmGErP12彈性勢能彈性勢能（以彈簧原長為零勢能點）（以彈簧原長為零勢能點）22021210kxkxdxkxExp )(勢勢能能只只具具有有相相對對意意義義系統(tǒng)的機(jī)械能系統(tǒng)的機(jī)械能pkEEE 質(zhì)點在某一點的質(zhì)點在某一點的勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。注意：注意：1、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。勢能是相對量，、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。勢能是相對量，其量值與零勢能點的選取有關(guān)。其量值與零勢能點的選取有關(guān)。2、勢能函數(shù)的形式與保守力

32、的性質(zhì)密切相關(guān)，對應(yīng)于、勢能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān)，對應(yīng)于一種保守力的函數(shù)就可以引進(jìn)一種相關(guān)的勢能函數(shù)。一種保守力的函數(shù)就可以引進(jìn)一種相關(guān)的勢能函數(shù)。3、勢能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共、勢能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有的。有的。4、一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值。因此，、一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值。因此，保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負(fù)功時，系保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負(fù)功時，系統(tǒng)勢能增加。統(tǒng)勢能增加。六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理對對i質(zhì)點運用動能定理：質(zhì)點運用動能定理：212221212

33、121iiiiiijiivmvmrdfrdF 外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外對所有質(zhì)點求和可得：對所有質(zhì)點求和可得：注意：注意：不能先求合力，再求合力的功；不能先求合力，再求合力的功；只能先求每個力的功，再對這些功求和。只能先求每個力的功，再對這些功求和。12KKEEAAA 內(nèi)內(nèi)保保內(nèi)內(nèi)非非外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)保守力的功和質(zhì)點系內(nèi)非保守力的功三者之和。保守力的功和質(zhì)點系內(nèi)非保守力

34、的功三者之和。質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理PPPEEEA )(12內(nèi)內(nèi)保保)()(1212PPKKEEEEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外12EEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。系統(tǒng)機(jī)械能的增量。0 內(nèi)內(nèi)非非外外AA外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。系統(tǒng)機(jī)械能的增量。七、機(jī)械能守恒定律七、機(jī)械能守恒定律0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA系統(tǒng)的機(jī)械能增加系統(tǒng)的機(jī)械能增加系統(tǒng)的機(jī)械能減少系統(tǒng)的機(jī)械能減少系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變系統(tǒng)的機(jī)械

35、能保持不變:時時當(dāng)當(dāng)外外0 A0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機(jī)械能增加系統(tǒng)的機(jī)械能增加0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機(jī)械能減少系統(tǒng)的機(jī)械能減少0 內(nèi)內(nèi)非非若若A系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變例例 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為、半徑為、半徑為的定滑的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體由靜止下落高度由靜止下落高度時時的速度和此時滑輪的角速度。的速度和此時滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：MmmghvRv

36、24可解出 222121mvJmgh 取滑輪、物體、地球為系統(tǒng)取滑輪、物體、地球為系統(tǒng)2-5 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量一、質(zhì)點的角動量OL dvm 質(zhì)點相對質(zhì)點相對O點的矢徑點的矢徑 與質(zhì)點與質(zhì)點的動量的動量 的矢積定義為該時的矢積定義為該時刻質(zhì)點相對于刻質(zhì)點相對于O點的角動量，點的角動量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 2mrrmvL 直角坐標(biāo)系中角直角坐標(biāo)系中角動量的分量表示動量的分量表示yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL 二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理1 1、力矩、力矩OMrp FrM sinFrM 力矩的

37、分量式力矩的分量式:yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 對軸的力矩對軸的力矩單位：牛單位：牛米（米（N m）2、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理（2）力）力 的作用線與矢徑的作用線與矢徑 共線（即共線（即 ）Fr0 sin有心力有心力：物體所受的力始終指向（或背離）某一物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點固定點力心力心力矩為零的情況力矩為零的情況: :（1）力）力 等于零；等于零；F旋轉(zhuǎn)對稱性旋轉(zhuǎn)對稱性意味著空間的各向同性，意味著空間的各向同性，這將導(dǎo)致這將導(dǎo)致角動量守恒角動量守恒。dtLdM 1221LLdtMtt 外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。外力

38、矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。0 M 12LL 常矢量 J 角動量守恒定律的兩種情況：角動量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。2、轉(zhuǎn)動慣量可變的物體。轉(zhuǎn)動慣量可變的物體。保保持持不不變變就就增增大大，從從而而減減小小時時，當(dāng)當(dāng)就就減減小?。辉鲈龃蟠髸r時，當(dāng)當(dāng) JJJ000 則則時時，當(dāng)當(dāng),JJM2-6 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、質(zhì)點系的角動量定理一、質(zhì)點系的角動量定理1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理、質(zhì)點系對固定點的角動量定理對由對由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系中第個質(zhì)點組成的質(zhì)點系中第i個質(zhì)點，有：個質(zhì)點，有：)()(11iiinjjii

39、ivmrdtdfFr 外外質(zhì)點質(zhì)點i i受力受力對對i求和有：求和有：)(11111iiinininjjiiniivmrdtdfrFr 外外因內(nèi)力成對出現(xiàn)因內(nèi)力成對出現(xiàn)故該項為零故該項為零)(11iiiniiniivmrdtdFr 外外得：得：作用于質(zhì)點系的作用于質(zhì)點系的外力矩的矢量和外力矩的矢量和等于等于質(zhì)點質(zhì)點系角動量的增量系角動量的增量質(zhì)點系對固定點的質(zhì)點系對固定點的角角動量定理動量定理2、質(zhì)點系對軸的角動量定理、質(zhì)點系對軸的角動量定理)sin(11iiiininiizvmrdtdM virimi i i)(121iniiiniizrmdtdM 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量IdtdLIdtdMzni

40、iz )(1 iirv 2 i因有：因有：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量國際單位制中轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克國際單位制中轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克米米2 2（kgm2）3、轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀剛體的形狀 實質(zhì)上與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的只實質(zhì)上與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的只有前有前兩個因素兩個因素。形狀即。形狀即質(zhì)量分質(zhì)量分布布，與，與轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個質(zhì)元的矢徑。軸到每個質(zhì)元的矢徑。2iirmI niiirmI12)(單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣

41、量剛體的轉(zhuǎn)動慣量dmrIm 2dldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別分別為質(zhì)量的線密度、為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布面分布例例1、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解解: dmrI2I是可加的，所以若為

42、薄圓筒是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。（不計厚度）結(jié)果相同。ROdm注注意意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量222mRdmRdmR 例例2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdIIR403212 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。

43、所以，實心圓柱對其軸的無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。2221mRIlRm lrdr 2例例3、求長為、求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm= dx dmrIC2 dmrIA23202/mLdxxL 122222/mLdxxLL 平行軸定理平行軸定理前例中前例中IC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， IA表表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡??？?/p>

44、見：222231411212mLmLmLLmIICA 推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為I，則有：，則有：IICmd2。這個結(jié)論稱為這個結(jié)論稱為平行軸定理平行軸定理。3/2mLIA 12/2mLIC 右圖所示剛體對經(jīng)過棒右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？量如何計算？( (棒長為棒長為L、球、球半徑為半徑為R）2131LmILL 252RmIoo 2002002)(RLmIdmIIL 222)(5231RLmRmLmIooL LmOm1 1、力對轉(zhuǎn)

45、軸的力矩、力對轉(zhuǎn)軸的力矩FrMz Z2frPO轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面1ff(2)ZfrPdOzM轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面(1) 方向如圖方向如圖任意方向的力任意方向的力對轉(zhuǎn)軸的力矩對轉(zhuǎn)軸的力矩 sinrFMz rFMz FFsin二、剛體的轉(zhuǎn)動定律二、剛體的轉(zhuǎn)動定律如果有幾個外力矩作用在剛體上如果有幾個外力矩作用在剛體上 rdFdMrdFdMM積分得積分得 力矩的大小等于力在作用點的切向分量與力的作力矩的大小等于力在作用點的切向分量與力的作用點到轉(zhuǎn)軸用點到轉(zhuǎn)軸Z Z的距離的乘積。的距離的乘積。 rFMz 2 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 IdtdIMniiz 1剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛

46、體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。成反比。 剛體轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出剛體轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出dmddafF 和和 為合外力和合內(nèi)力為合外力和合內(nèi)力FdfddmadfdFdmadfdFnnndmrrdfrdF2 將切向分量式兩邊同將切向分量式兩邊同乘以乘以r，變換得，變換得ZMdf dFO rdFd dm dFn轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 z分解為作用在質(zhì)量元分解為作用在質(zhì)量元dm上的上的切向力切向力和和

47、法向力法向力：MrdFrdfrdF對等式左邊積分得到外力矩對等式左邊積分得到外力矩0rdf其中，其中，角加速度對所有質(zhì)量元都相等角加速度對所有質(zhì)量元都相等于是有于是有 IdtdIM 所以所以 Idmrdmrmm )(22其中其中 mdmrI2寫成矢量形式寫成矢量形式dtdIIM m反映質(zhì)點的反映質(zhì)點的平動慣性平動慣性，I反映剛體的反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性轉(zhuǎn)動慣性力矩力矩是使剛體是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生發(fā)生改變改變而產(chǎn)生而產(chǎn)生角加速度角加速度的原因。的原因。MI 與與地位相當(dāng)?shù)匚幌喈?dāng)amF 剛體繞定軸剛體繞定軸Z的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertia)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用

48、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例例、一個質(zhì)量為、一個質(zhì)量為、半徑為的、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體忽略軸處摩擦，求物體由靜止下由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角落高度時的速度和此時滑輪的角速度。速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解方程得：mg解：解： RamaTmgm :對對221 MRIITRMM：對對 轉(zhuǎn)動動能與角動量的關(guān)系轉(zhuǎn)動動能與角動量的關(guān)系ILEk22 mpEk2 2

49、 221 mvEk 三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定律三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定律1 1、轉(zhuǎn)動動能、轉(zhuǎn)動動能221222121)(2121 IrmrmEniiiiniik 221 IEk 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能等于剛體的等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量與與角速度角速度平方乘積的一半。平方乘積的一半。2 2、力矩的功、力矩的功ZMdf dFO rdFd dm dFn轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 z dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiiFF cos iiirFM 對對i求和，得：求和，得： MddMdAi )( dMA 21力矩的功率為：力矩的功率為： MdtdMdtdAP 當(dāng)輸出功率一定時當(dāng)輸

50、出功率一定時,力矩與角速度成反比。力矩與角速度成反比。3 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 ddIdtdddIIdtdIM 2121 dIdM當(dāng)當(dāng)=1時，時，=1 所以：所以：2122212121 IIdM 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理例例2、一根長為、一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺動。最初棒靜止

51、在水平位置，求它由此下擺 角時角時的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對力矩為重力對O的力矩。的力矩。 棒棒上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺當(dāng)棒處在下擺 角時角時，該質(zhì)量元的重力對軸該質(zhì)量元的重力對軸的元力矩為的元力矩為 Ogdmdmldl dlglgdmldMcoscos 重力對整個棒的合力矩為重力對整個棒的合力矩為 coscosmgLgL2122 LgmLmgLIM2cos331cos212 LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldMcoscos 代入轉(zhuǎn)動定律，可得代入轉(zhuǎn)動定律，可得 ddIdtddd

52、IdtdIIM 21 cosmglM代入 dIdmgL cos21 00cos21dIdmgL221sin21 ImgL LgImgL sin3sin dIMd 231mLI 012021 IILLLddtMLLtt 外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。角動量的增量。0 M 12LL 四、剛體組對軸的角動量守恒定律四、剛體組對軸的角動量守恒定律 II 外力對某軸的力矩之和為零，則外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒該物體對同一軸的角動量守恒對軸的角動對軸的角動量守恒定律量守恒定律角動量守恒定律的兩種情況：角動量守恒定律的兩種情況：

53、1 1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變轉(zhuǎn)動慣量保持不變的剛體的剛體000 則則時時，當(dāng)當(dāng),IIM例：回轉(zhuǎn)儀例：回轉(zhuǎn)儀2 2、轉(zhuǎn)動慣量可變轉(zhuǎn)動慣量可變的物體的物體保保持持不不變變就就增增大大，從從而而減減小小時時，當(dāng)當(dāng)就就減減小?。辉鲈龃蟠髸r時，當(dāng)當(dāng) III例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員剛體剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定定律的律的另一種形式另一種形式dtdIIM dtLddtJdM )( dtLdM 剛體剛體所受的外力矩等于剛體所受的外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。角動量對時間的變化率。*2-7 混沌混沌混沌混沌(chaos)理論理論是非線性理論中一個最為活躍的一個研究領(lǐng)域。是非線性理論中一個最為活躍的一個研究領(lǐng)域

54、。決定性動力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)行為。決定性動力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)行為。決定論的混亂。決定論的混亂?；煦缦到y(tǒng)混沌系統(tǒng) 定義為敏感地依賴于初始條件的內(nèi)在定義為敏感地依賴于初始條件的內(nèi)在 變化的系統(tǒng)。變化的系統(tǒng)。初始條件的極小差異，會導(dǎo)致系統(tǒng)完全不同的結(jié)果，初始條件的極小差異，會導(dǎo)致系統(tǒng)完全不同的結(jié)果，只要時間充分的長。只要時間充分的長。討論討論 混沌系統(tǒng)的敏感依賴性是系統(tǒng)自身所具有的，混沌系統(tǒng)的敏感依賴性是系統(tǒng)自身所具有的， 不是外界施加的。不是外界施加的。 對于外來變化的敏感性本身并不味著混沌對于外來變化的敏感性本身并不味著混沌 看似隨機(jī)、不可預(yù)報的事件，事實上是按照看似隨機(jī)、不可預(yù)報的事件，事實上

55、是按照 嚴(yán)格且經(jīng)常是易于表述的規(guī)律運動著。嚴(yán)格且經(jīng)常是易于表述的規(guī)律運動著。龐加萊三體運動的混沌現(xiàn)象龐加萊三體運動的混沌現(xiàn)象對太陽系統(tǒng)行星運動軌道的研究。對太陽系統(tǒng)行星運動軌道的研究。希爾的三個簡化：希爾的三個簡化：1、三個天體中質(zhì)量最小的對另外兩個天體的、三個天體中質(zhì)量最小的對另外兩個天體的 影響可以忽略。影響可以忽略。2、較大的兩個天體圍繞它們共同的質(zhì)心作橢、較大的兩個天體圍繞它們共同的質(zhì)心作橢 圓運動（兩個天體相對距離不變）。圓運動（兩個天體相對距離不變）。3、三體在一個平面運動。、三體在一個平面運動。初始狀態(tài)初始狀態(tài)：將坐標(biāo)系固定在兩個較大的天體上，：將坐標(biāo)系固定在兩個較大的天體上，x

56、軸與兩者的連線平行，軸與兩者的連線平行，y軸垂直于連線，問題簡化軸垂直于連線，問題簡化為最小的天體在兩個有心力場作用下的運動。為最小的天體在兩個有心力場作用下的運動。兩個大天體可完全不必理會小天體產(chǎn)生的引力對它兩個大天體可完全不必理會小天體產(chǎn)生的引力對它們軌道的影響，更不會動搖它們之間運動的和諧。們軌道的影響，更不會動搖它們之間運動的和諧。小天體的運動會是怎樣的呢？小天體的運動會是怎樣的呢？在相空間的截面上發(fā)現(xiàn)，小天體的運動竟是沒完沒了在相空間的截面上發(fā)現(xiàn)，小天體的運動竟是沒完沒了的自我纏結(jié)，密密麻麻地交織成錯綜復(fù)雜的蜘蛛網(wǎng)。的自我纏結(jié)，密密麻麻地交織成錯綜復(fù)雜的蜘蛛網(wǎng)。 這樣復(fù)雜的運動是高度

57、不穩(wěn)定的，任何微小的擾動這樣復(fù)雜的運動是高度不穩(wěn)定的，任何微小的擾動都會使小天體的軌道在一段時間后有顯著的偏離。都會使小天體的軌道在一段時間后有顯著的偏離。因此這樣的運動在一段時間后是不可預(yù)測的。因此這樣的運動在一段時間后是不可預(yù)測的。氣象變化的蝴蝶效應(yīng)氣象變化的蝴蝶效應(yīng)模擬氣候變化：模擬氣候變化：建立一組非線性微分方程，給定初值進(jìn)行迭代建立一組非線性微分方程，給定初值進(jìn)行迭代驚人結(jié)果驚人結(jié)果：初值微小差異，會導(dǎo)致結(jié)果巨大變化：初值微小差異，會導(dǎo)致結(jié)果巨大變化長期的天氣預(yù)報是不可能的。長期的天氣預(yù)報是不可能的。蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)混沌的定性特征混沌的定性特征1、內(nèi)隨機(jī)性、內(nèi)隨機(jī)性隨機(jī)性：在一定條件

58、下，如果系統(tǒng)的某個狀態(tài)隨機(jī)性：在一定條件下，如果系統(tǒng)的某個狀態(tài) 既可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)。既可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)。系統(tǒng)自身不會出現(xiàn)隨機(jī)性，隨機(jī)性來系統(tǒng)自身不會出現(xiàn)隨機(jī)性，隨機(jī)性來自系統(tǒng)外部或某些尚不清楚的原因的自系統(tǒng)外部或某些尚不清楚的原因的干擾作用。干擾作用。外隨機(jī)性外隨機(jī)性內(nèi)隨機(jī)性內(nèi)隨機(jī)性看來完全確定的系統(tǒng)看來完全確定的系統(tǒng)(用確定的微用確定的微分方程描述分方程描述)內(nèi)部產(chǎn)生的隨機(jī)性。內(nèi)部產(chǎn)生的隨機(jī)性?；煦绗F(xiàn)象產(chǎn)生的根源在系統(tǒng)自身，而不在外部的影響?；煦绗F(xiàn)象產(chǎn)生的根源在系統(tǒng)自身，而不在外部的影響。產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)整體穩(wěn)定性整體穩(wěn)定性局部不穩(wěn)定性局部不穩(wěn)定性系統(tǒng)受到微小擾動后保

59、系統(tǒng)受到微小擾動后保持原狀態(tài)的屬性或能力持原狀態(tài)的屬性或能力系統(tǒng)運動的某些方面的行系統(tǒng)運動的某些方面的行為強(qiáng)烈地依賴于初始條件為強(qiáng)烈地依賴于初始條件系統(tǒng)的存在是以結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)的存在是以結(jié)構(gòu)與性能相對穩(wěn)定為前提的。性能相對穩(wěn)定為前提的。系統(tǒng)進(jìn)化的基礎(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)化的基礎(chǔ) 由由Lorentz 在氣象研究中發(fā)現(xiàn)的對初始條件的敏在氣象研究中發(fā)現(xiàn)的對初始條件的敏感依賴性，可以形象地比喻為僅僅由于幾千公里以外感依賴性，可以形象地比喻為僅僅由于幾千公里以外的一只蝴蝶翅膀的小小扇動，就有可能使得氣象學(xué)家的一只蝴蝶翅膀的小小扇動，就有可能使得氣象學(xué)家無法預(yù)測一個月以后的天氣情況。無法預(yù)測一個月以后的天氣情況。2、分維性

60、質(zhì)、分維性質(zhì)混沌態(tài)非整數(shù)維不是用來描述系統(tǒng)的幾何外形，混沌態(tài)非整數(shù)維不是用來描述系統(tǒng)的幾何外形，而是而是 用來描述系統(tǒng)運動軌道在相空間的行為特征。用來描述系統(tǒng)運動軌道在相空間的行為特征。3、普適性和、普適性和Feigenbaum 常數(shù)常數(shù)混沌是一種無周期性的混沌是一種無周期性的“高級高級”有序運動，可有序運動，可以發(fā)現(xiàn)混雜在小尺度混沌中的有序運動花樣。以發(fā)現(xiàn)混雜在小尺度混沌中的有序運動花樣。 在趨向混沌時所表現(xiàn)出來的共同特征，不依在趨向混沌時所表現(xiàn)出來的共同特征，不依具體的系數(shù)以及系統(tǒng)的運動方程而變。具體的系數(shù)以及系統(tǒng)的運動方程而變。普適性普適性-Feigenbaum常數(shù)常數(shù)- 反映了系統(tǒng)在趨