三角形的四心及應(yīng)用

1、三角形的四心及應(yīng)用重心三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。1、 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2、 重心和三角形3 個(gè)頂點(diǎn)組成的3 個(gè)三角形面積相等。3、 重心到三角形3 個(gè)頂點(diǎn)距離 平方 的和最小。(等邊三角形 ）4、 在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo) 的算術(shù)平均數(shù) ，5、 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6、 在 abc 中，若 ma 向量 +mb 向量 +mc 向量 =0（向量），則 m 點(diǎn)為 abc 的重心，反之也成立。7、 設(shè) abc 重心為 g 點(diǎn)，所在平面有一點(diǎn)o，則向量 og=1/3 （向量 oa+ 向量 ob+ 向量oc）外心三角形 外接圓 的圓心

2、叫做 三角形的外心 。性質(zhì) 1：（ 1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；（3）鈍角三角形的外心在三角形外. （4）等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點(diǎn)。性質(zhì) 2： bgc=2 a， （或 bgc=2(180 - a)）. 性質(zhì) 3： gac+ b=90 性質(zhì) 4：點(diǎn) g 是平面 abc 上一點(diǎn)， 點(diǎn) p 是平面 abc 上任意一點(diǎn)， 那么點(diǎn) g 是 abc外心的充要條件是：（1）向量 pg=(tanb+tanc)向量 pa+(tanc+tana)向量 pb+(tana+tanb)向量pc)/2(tana+tanb+tanc).或（ 2）向量 pg=(cosa

3、/2sinbsinc)向量 pa+(cosb/2sincsina)向量pb+(cosc/2sinasinb)向量 pc.性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線 交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等。性質(zhì) 6：點(diǎn) g 是平面 abc 上一點(diǎn)，那么點(diǎn)g 是 abc 外心的充要條件(向量 ga+ 向量gb) 向量 ab= ( 向量 gb+向量 gc) 向量 bc=( 向量 gc+ 向量 ga) 向量 ca=0 . 內(nèi)心在三角形中，三個(gè)內(nèi)角的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。設(shè) abc 的內(nèi)切圓為i(r)， a、 b、 c 的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2

4、 1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r2、 bic=90 +bac/2 3、在 rtabc中,a=90,三角形內(nèi)切圓切bc 于 d，則 sabc=bd cd 4、點(diǎn) o 是平面 abc 上任意一點(diǎn)，點(diǎn)i 是 abc 內(nèi)心的充要條件是：向量 oi=a( 向量 oa)+b( 向量 ob)+c( 向量 oc)/(a+b+c) 5、在 abc 中，若三個(gè)頂點(diǎn)分別是a(x1， y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，那么 abc 內(nèi)心 i 的坐標(biāo)是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) ，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a

5、+b+c) 6、(歐拉 定理 )abc 中， r 和 r 分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，o 和 i 分別為其外心和內(nèi)心，則oi2=r2-2rr 7、 abc 中： a,b,c 分別為三邊， s 為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑r=2s/(a+b+c) 8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩交點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。9、 abc 中，內(nèi)切圓分別與ab， bc，ca 相切于 p，q，r，則 ap=ar=(b+c-a)/2， bp =bq =(a+c-b)/2, cr =cq =(b+a-c)/2, r=(b+c-a)tan(a/2)/2。10、三角形 內(nèi)角平分線定理：abc 中，i 為內(nèi)心

6、， bac 、abc 、 acb 的內(nèi)角平分線分別交bc、ac 、ab于 q、r、p，則 bq/qc=c/b ，bp/pa=a/b ， cr/ra=a/c 。垂心三角形的三條高或其延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的垂心。設(shè) abc 的三條高為ad、 be、 cf， 其中 d、e、f 為垂足，垂心為h，角 a、b、c 的對(duì)邊分別為 a、b、c 1、銳角三角形 的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形 的垂心在三角形外 .2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心 h 關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在abc 的外接圓上。4、 abc 中，有六

7、組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè) )相似的直角三角形，且ah hd=bh he=ch hf。5、 h、a、b、c 四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一 垂心組 )。6、 abc ， abh ， bch ， ach 的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中， 過(guò) h 的直線交ab、 ac 所在直線分別于p、 q， 則 ab/ap tanb+ 三角形的垂心與外心的位置關(guān)系ac/aq tanc=tana+tanb+tanc。8、 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2 倍。9、 設(shè) o，h 分別為 abc 的外心和垂心，則bao= hac ， abh= obc ，bco= hca 。10、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上 )中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。12、西姆松 (simson)