《近世代數》模擬試題2及答案

1、近世代數模擬試題一、單項選擇題 (每題 5 分，共 25 分)1、在整數加群（Z，）中，下列那個是單位元（）。A0B1C 1D1/n， n 是整數2、下列說法 不正確的是（）。A G 只包含一個元 g，乘法是 gg g。G 對這個乘法來說作成一個群B G 是全體整數的集合， G 對普通加法來說作成一個群C G 是全體有理數的集合， G 對普通加法來說作成一個群D G 是全體自然數的集合， G 對普通加法來說作成一個群3、下列敘述正確的是（）。A 群 G 是指一個集合B 環(huán) R 是指一個集合C 群 G 是指一個非空集合和一個代數運算，滿足結合律，并且單位元，逆元存在D 環(huán) R 是指一個非空集合和

2、一個代數運算，滿足結合律，并且單位元，逆元存在4、如果集合M 的一個關系是等價關系，則不一定具備的是()。A反身性B對稱性C傳遞性D 封閉性5、下列哪個不是S3 的共軛類()。A （1）B （123），（ 132），（ 23）C （123），（ 132）D （12），（ 13），（ 23）二、計算題 (每題 10 分，共 30 分)1.求 S （ 12），（ 13） 在三次對稱群 S3 的正規(guī)化子和中心化子。大學數學2.設 G1 ， 1，i， i ，關于數的普通乘法作成一個群，求各個元素的階。3.設 R 是由一切形如x, y （x， y 是有理數）方陣作成的環(huán)，求0,0出其右零因子。大學數學三

3、、證明題 (每小題 15 分，共 45 分)1、設 R 是由一切形如x,0 （x，y 是有理數）方陣作成的環(huán)，證y,0明0,0是其零 因子。0,02、設 Z 是整數集，規(guī)定 a·bab3。證明： Z 對此代數運算作成一個群，并指出其單位元。大學數學3、證明由整數集 Z 和普通加法構成的 （Z，）是無限階循環(huán)群。大學數學近世代數模擬試題答案一、單項選擇題(每題 5 分，共 25 分 )1 A2 D3 C4 D5 B二、計算題 (每題 10 分，共 30 分)1 解：正規(guī)化子N （ S） （ 1），（ 23） 。（ 6 分）中心化子C（S） （ 1） 。（ 4 分）2 解：群 G 中的單

4、位元是1。（ 2 分）1 的階是 1， 1 的階是 2， i 和 i 的階是 4。（ 4× 2 分）a,b3 解：設其右零因子為0,0。（ 2 分）x, ya,bxa, xb所以0,0 0。（ 3 分）0,00,0因為 x 任意，所以a b 0。（ 3 分）因此右零因子為0,0。（ 2 分）0,0三、證明題 (每小題 15 分共 45 分 )a,01證明：設其右零因子為。（ 2 分）b,0大學數學x,0a,0xa,0所以 0。（ 5 分）y,0b,0yb,0因為 x， y 任意，所以a b 0。（ 8 分）a,0同理設其右零因子為b,0。（10 分）a,0x,0xa,0所以 0。（

5、12 分）b,0y,0yb,0因為 x， y 任意，所以a b 0。（ 14 分）因此零因子為0,0。（ 15 分）0,02明：首先該代數運算封閉。 。（3 分）其次我們有：（a·b）· c （ ab 3）· c（ ab3） c 3a（bc 3） 3） a·（b·c），結合律成立。（ 6 分）令 e3，驗證 a·eae3a，有單位元 。（7 分）對任意元素a，6 a 是其逆元，因為a·（ 6a） 3。（ 8 分）因此， Z 對該運算作成一個群。顯然，單位元是e3。（ 10 分）3證明：首先證明（ Z，）是群， +滿足結合律，對任意的 x Z ， x 0 0 x x ， 0 是運算 +的單位元又由于：xxxx0所以x 1x, 從而（ Z，）為群。（ 2 分）由于滿足交換律，所以（ Z，）是交換群 。（ 4 分）（Z，）的單位元為0，1對于 1Z ，由于 1+ （-1 ）=0，所以 11 ，。（5 分）大學數學若 k0，則： 100 ；若 k0，則 1k1 11 k 。（8 分）若 k 0 ，則1k1k1 1kk1(1