第九講—點(diǎn)式空間群

1、第九講第九講 空間群空間群(I)(I)：點(diǎn)式空間群點(diǎn)式空間群復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作、7 7種晶系、種晶系、3232種點(diǎn)群、種點(diǎn)群、14種布拉菲格子種布拉菲格子360o/n (n = 1,2,3,4,6)1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)1 (i, C)2 (, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)+,+_,旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)軸， n 旋轉(zhuǎn)反演軸，旋轉(zhuǎn)反演軸， n 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (), m3 (S65)4

2、 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = Cn(h, v, d) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(h), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66對(duì)稱(chēng)條件對(duì)

3、稱(chēng)條件晶系晶系特點(diǎn)特點(diǎn)三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a b c, abc, = = 90o abc, = = = 90oa = bc, = = = 90oa = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = bc, = = 90o, = 120o全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m點(diǎn)群各符號(hào)的順序點(diǎn)群各符號(hào)的順

4、序123三斜三斜單斜單斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一個(gè)符號(hào)只用一個(gè)符號(hào)第一種定向：第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸是唯一軸2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 1(L1)m(P)1(C)42m (Li42L22P)2(L2)2/m (L2PC)222(3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)4

5、 (Li4)422 (L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm (L44P)4/m (L4PC)4(L4)62m (Li63L23P)6 (Li6)622 (L66L2)6/mmm (L66L27PC)6mm (L66P)6/m (L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3 (3L24L33PC)432 (3L44L36L2)m3m (3L44L36L29PC)3m (Li33L23P)3(L3)3m (L33P)32(L33L2)43m (3Li44L36P)3(Li3) 從旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群推導(dǎo)從旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群推導(dǎo)3232種點(diǎn)群種點(diǎn)群 點(diǎn)群的熊夫利斯符號(hào)點(diǎn)群的熊夫利斯符號(hào) 1 2 3 4 622

6、2 32 422 62223 432C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O循環(huán)點(diǎn)群循環(huán)點(diǎn)群二面體點(diǎn)群二面體點(diǎn)群立方點(diǎn)群立方點(diǎn)群m3 m3mS2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmmm3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTdmmm2463m4mm 42m43m6mm 6m2 推導(dǎo)推導(dǎo)3232種點(diǎn)群的種點(diǎn)群的熊夫利斯方案熊夫利斯方案 熊夫利斯符號(hào)熊夫利斯符號(hào)1(C1)

7、m (C1h)1(Ci)42m (D2d)2(C2)2/m (C2h)222(D2)mm2 (C2v)mmm (D2h)4 (S4)422 (D4)4/mmm(D4h)4mm (C4v)4/m (C4h)4(C4)62 (D3h)6 (C3h)622 (D6)6/mmm (D6h)6mm (C6v)6/m (C6h)6(C6)23(T)m3 (Th)432 (O)m3m (Oh)3m(D3d)3(C3)3m (C3v)32(D3)43m (Td)3(S6)TThTdOOhTetragonalOctahedral點(diǎn)群各符號(hào)的順序點(diǎn)群各符號(hào)的順序123三斜三斜單斜單斜正交正交四方四方三方三方六方六

8、方立方立方只用一個(gè)符號(hào)只用一個(gè)符號(hào)第一種定向：第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸是唯一軸2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 第八講第八講 1414種布拉菲格子種布拉菲格子旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性晶系、參考軸晶系、參考軸初基初基P單胞單胞 (6)有心化有心化新的點(diǎn)陣新的點(diǎn)陣(有心有心 8 種種)滿足點(diǎn)陣條件滿足點(diǎn)陣條件 + 晶系

9、不變晶系不變P點(diǎn)陣中高對(duì)稱(chēng)位置加心點(diǎn)陣中高對(duì)稱(chēng)位置加心(體心體心I, 全面心全面心F, 單面心單面心A, B或或C 雙面心雙面心)14種布拉菲點(diǎn)陣種布拉菲點(diǎn)陣旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性六方格子特殊心六方格子特殊心 菱形菱形( (三方三方) )單胞單胞ABXXXX雙面心不滿足點(diǎn)陣條件！雙面心不滿足點(diǎn)陣條件！三三斜斜晶晶系系單單斜斜晶晶系系三斜三斜 P P單斜單斜 P P單斜單斜 B B單斜單斜 C = PC = P不是新點(diǎn)陣不是新點(diǎn)陣單斜單斜 B = I = F = Ab b軸為唯一軸軸為唯一軸: :B = P，C = I = F = A正交正交 P P正交正交 C C正交正交 I I正交正交 F F

10、正正交交晶晶系系正交正交 C = A = B C = A = B P ? P ?立方立方 P P立方立方 I, bccI, bcc立方立方 F, fccF, fcc四方四方 I I四方四方 P P四四方方晶晶系系立立方方晶晶系系四方四方 C = P A BC = P A B四方四方 F = IF = I單面心破壞單面心破壞4 4個(gè)個(gè)3 3次對(duì)稱(chēng)性！次對(duì)稱(chēng)性！非點(diǎn)陣非點(diǎn)陣非點(diǎn)陣非點(diǎn)陣六六方方晶晶系系三三方方菱菱形形晶晶系系六方六方 P P三方三方 R R底面心：正交底面心：正交側(cè)面心：非點(diǎn)陣側(cè)面心：非點(diǎn)陣+c/2體心：非六方點(diǎn)陣體心：非六方點(diǎn)陣+c/2(1/3, 2/3, 0)：P+2c/3+c

11、/3(1/3, 2/3, 2/3)：R有心化有心化(1/3, 2/3, 1/3)：R+2c/3+c/3abc正定向正定向+c/3+2c/3abc反定向反定向六六角單胞有心化后，已不具有角單胞有心化后，已不具有6 6次對(duì)稱(chēng)性，卻導(dǎo)出有次對(duì)稱(chēng)性，卻導(dǎo)出有3 3次對(duì)稱(chēng)性的次對(duì)稱(chēng)性的菱形初基單胞。菱形初基單胞。R R 點(diǎn)陣可由兩種軸系表示：點(diǎn)陣可由兩種軸系表示：R R晶系、六角晶系晶系、六角晶系a = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = 菱形菱形點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)條件條件晶系晶系點(diǎn)群點(diǎn)群三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)

12、2(C2)或或2(m)兩個(gè)兩個(gè)2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲點(diǎn)陣點(diǎn)陣PP, BP, C, I, FP, IPP, I, FP1(C1), 1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)42m (D2d)4 (S4),422 (D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3), 3m (C3v), 32(D3),3(S6),622 (D6),6/mmm (D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6

13、(C6),62 (D3h)6 (C3h),23(T), m3 (Th),432 (O), m3m (Oh)43m (Td),第九講第九講 點(diǎn)式空間群點(diǎn)式空間群空間群：空間群：所謂結(jié)晶學(xué)空間群就是能使三維周期物所謂結(jié)晶學(xué)空間群就是能使三維周期物體（無(wú)限大晶體）自身重復(fù)的幾何對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)操作的體（無(wú)限大晶體）自身重復(fù)的幾何對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)操作的集合，構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的群。集合，構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的群。 晶體宏觀對(duì)稱(chēng)性是晶體結(jié)構(gòu)（原子排列對(duì)稱(chēng)性）即微觀對(duì)晶體宏觀對(duì)稱(chēng)性是晶體結(jié)構(gòu)（原子排列對(duì)稱(chēng)性）即微觀對(duì)稱(chēng)的反映。稱(chēng)的反映。 晶體的宏觀外形是作為一個(gè)連續(xù)整體來(lái)看的有限圖形，而晶體的宏觀外形是作為一個(gè)連續(xù)整體來(lái)看的有限圖

14、形，而晶體的微觀結(jié)構(gòu)是不連續(xù)排列的原子在三維空間無(wú)限展開(kāi)。晶體的微觀結(jié)構(gòu)是不連續(xù)排列的原子在三維空間無(wú)限展開(kāi)。 宏觀對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)群中對(duì)稱(chēng)要素必須交于一點(diǎn)，只有方向的宏觀對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)群中對(duì)稱(chēng)要素必須交于一點(diǎn)，只有方向的概念。微觀對(duì)稱(chēng)性中對(duì)稱(chēng)要素?zé)o須交于一點(diǎn)，要引入平移和概念。微觀對(duì)稱(chēng)性中對(duì)稱(chēng)要素?zé)o須交于一點(diǎn)，要引入平移和位置的概念。位置的概念。點(diǎn)式空間群：點(diǎn)式空間群：由全部作用于同一個(gè)公共點(diǎn)由全部作用于同一個(gè)公共點(diǎn)上的對(duì)稱(chēng)操作完全確定，或者說(shuō)僅由點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操上的對(duì)稱(chēng)操作完全確定，或者說(shuō)僅由點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作和平移對(duì)稱(chēng)操作組合而產(chǎn)生。作和平移對(duì)稱(chēng)操作組合而產(chǎn)生。? 螺旋軸或滑移面不是其基本對(duì)稱(chēng)元素。螺旋軸或滑移面

15、不是其基本對(duì)稱(chēng)元素。? 點(diǎn)式空間群在單胞中一定至少有一個(gè)位置具有與點(diǎn)式空間群在單胞中一定至少有一個(gè)位置具有與空間群點(diǎn)群相同的空間群點(diǎn)群相同的位置對(duì)稱(chēng)性位置對(duì)稱(chēng)性晶系晶系點(diǎn)群點(diǎn)群布拉菲布拉菲點(diǎn)陣點(diǎn)陣三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,

16、P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432, Fm3mF43m,42m (Li42L22P)62m

17、(Li63L23P)6m2 (Li63P3L2)4m2 (Li42L22P)30o45o3 (L3)3m (L33P)32 (L33L2)3 (L3C)3m (L33L23PC)3m131m3213123m131m晶系晶系點(diǎn)群點(diǎn)群布拉菲布拉菲點(diǎn)陣點(diǎn)陣三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,Pm

18、mmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432,

19、Fm3mF43m,非點(diǎn)式對(duì)稱(chēng)操作非點(diǎn)式對(duì)稱(chēng)操作? 螺旋軸：螺旋軸：11種，種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65? 滑移面：滑移面：a、b、c；n；d點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：r = Rr r=xa + yb +zc r=xa + yb +zc空間群操作：空間群操作：r = R|tr = Rr + t (賽茲算符賽茲算符) 對(duì)非點(diǎn)式操作對(duì)非點(diǎn)式操作 t = ，而對(duì)于，而對(duì)于點(diǎn)式操作點(diǎn)式操作t = = 0 = tN+P1abc+P1,_,_,_,_+_,+P2abcP2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，鏡面反映面，鏡面Pm+,-+,-+,-+,-Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4單斜單斜 B B滑移面滑移面Cm+,+,+,+,+,+Bm+,-+,-+