第5章波動學基礎

1、第五章 波動學基礎第第1篇篇 力力 學學 http:/2一一. 機械波的產(chǎn)生和傳播機械波的產(chǎn)生和傳播1 1. 產(chǎn)生條件產(chǎn)生條件: : 波源波源 彈性媒彈性媒質質5-1 波動的基本概念波動的基本概念 波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力，將振動傳波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波。播開去，從而形成機械波。 振動在空間的傳播過程叫做振動在空間的傳播過程叫做波動波動，激發(fā)波動的振動系統(tǒng)，激發(fā)波動的振動系統(tǒng)稱為稱為波源波源。機械振動在彈性媒質中的傳播過程稱為。機械振動在彈性媒質中的傳播過程稱為機械波機械波，如聲波、水波等。如聲波、水波等。 簡諧振動在彈性介質中傳播

2、形成簡諧振動在彈性介質中傳播形成的機械波稱為簡諧波。的機械波稱為簡諧波。3質元并未質元并未“隨波逐流隨波逐流”各質各質元元均在自己的平衡位置附近振動均在自己的平衡位置附近振動傳播的是波源的振動狀態(tài)或者說相位傳播的是波源的振動狀態(tài)或者說相位沿波傳播的方向，各質元相位依次落后沿波傳播的方向，各質元相位依次落后 注意！注意！2 . 縱波和橫波縱波和橫波橫波橫波振動方向與傳播方向垂直，如繩中傳播的波等。振動方向與傳播方向垂直，如繩中傳播的波等。縱波縱波振動方向與傳播方向相同，如聲波。振動方向與傳播方向相同，如聲波。 總之總之, 波動波動(或行波或行波)是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播是振動狀態(tài)的傳播，是

3、能量的傳播，而不是質點的傳播。而不是質點的傳播。橫波只能在固體中傳播，橫波的特征是有凸凹的波峰、波谷。橫波只能在固體中傳播，橫波的特征是有凸凹的波峰、波谷?？v波可在固體、液體、氣體中傳播。縱波的特征是有稀密相縱波可在固體、液體、氣體中傳播?？v波的特征是有稀密相間的介質區(qū)域。間的介質區(qū)域。4二二. 描述波動的幾何參量描述波動的幾何參量1.波線波線(或波射線或波射線) 表示波傳播的方向表示波傳播的方向。2.波面波面(或同相面或同相面)某時刻介質內振動相位相同的點組成某時刻介質內振動相位相同的點組成 的面稱為波面。的面稱為波面。3.波前波前(或波陣面或波陣面)最前面的波面。最前面的波面。平面波平面波

4、波波線線波面波面在各向同性均勻介質中，波線與波陣面垂直。在各向同性均勻介質中，波線與波陣面垂直。波面波面波線波線球面波球面波5三三.描述波動的解析參量描述波動的解析參量2.波長波長 : 波線上相位差為波線上相位差為2的兩個點之間的距離。的兩個點之間的距離。 1.周期周期T：媒質中各質元完成一次全振動的時間，這個時間也媒質中各質元完成一次全振動的時間，這個時間也是一個完整的波形通過媒質中一點所需的時間。是一個完整的波形通過媒質中一點所需的時間。 Tu這個距離也是波這個距離也是波(振動狀態(tài)振動狀態(tài))在一個周期內前進的距離。在一個周期內前進的距離。3. 波速波速u : 單位時間波單位時間波(振動狀態(tài)

5、振動狀態(tài))所傳播的距離。所傳播的距離。波的周期就是它所傳播的振動的周期即波源的振動周期。波的周期就是它所傳播的振動的周期即波源的振動周期。 通常情況下通常情況下, 波的頻率或周期與媒質無關，只取決于波波的頻率或周期與媒質無關，只取決于波源的振動頻率，而波速卻與波源無關，取決于媒質的彈性性源的振動頻率，而波速卻與波源無關，取決于媒質的彈性性質和質量密度。質和質量密度。6llSfY (1)細長的棒狀媒質中細長的棒狀媒質中縱波波速縱波波速： Yul 式中式中: 為為質量密度；質量密度； Y為楊氏彈性模量。為楊氏彈性模量。l lff(張應變張應變)(張應力張應力)下面介紹幾種均勻各向同性介質中的波速公

6、式下面介紹幾種均勻各向同性介質中的波速公式: 若在截面為若在截面為S、長為、長為l的細棒兩端加上大小相等、方向的細棒兩端加上大小相等、方向相反的相反的軸向軸向拉力拉力f，使棒伸長，使棒伸長 l，如圖所示。，如圖所示。則在彈性限度內：則在彈性限度內：7lxSFSFG / (2)均勻固體媒質中的均勻固體媒質中的橫波波速：橫波波速： Gut 在固體媒質中即可傳播橫波也可傳播縱波，在同一種固體在固體媒質中即可傳播橫波也可傳播縱波，在同一種固體媒質中，媒質中，橫波波速橫波波速比比縱波波速縱波波速小些。小些。FFlx SS式中式中: 為為質量密度；質量密度； G為切變彈性模量。為切變彈性模量。 若在柱體上

7、下表面若在柱體上下表面S上作用一大小相等，方向相反的上作用一大小相等，方向相反的切向力切向力F，使柱體發(fā)生，使柱體發(fā)生切變切變，如圖所示如圖所示。(切應變切應變)(切應力切應力)則在彈性限度內：則在彈性限度內：8VVpB Bul (3)在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波，其波速：，其波速： Tut (4)柔軟的繩和弦上柔軟的繩和弦上橫波波速橫波波速：P式中式中: 為為質量密度；質量密度； B為容變彈性模量。為容變彈性模量。 設流體體積在壓強為設流體體積在壓強為P時等于時等于V，如果是壓強增加到，如果是壓強增加到P+ P,體積變化為體積變化為V+ V，則在通常壓強范圍內有，則在通常

8、壓強范圍內有 (體應變體應變)(體應力體應力)式中式中: 為為質量線密度；質量線密度； T為繩或弦線中張力。為繩或弦線中張力。95-2、3 平面簡諧行波的波動方程平面簡諧行波的波動方程1. 平面簡諧波的運動學方程平面簡諧波的運動學方程波方程波方程 波源和介質中的質點都作簡諧振動波源和介質中的質點都作簡諧振動, , 這種波稱之為簡諧這種波稱之為簡諧波，波面為平面的簡諧波即為平面簡諧波。波，波面為平面的簡諧波即為平面簡諧波。yxouxP 設一平面簡諧行波在均勻無耗媒質中沿設一平面簡諧行波在均勻無耗媒質中沿x軸正方向傳播軸正方向傳播,波速波速u。用。用x表示波線上各質點的平衡位置；表示波線上各質點的

9、平衡位置；y表示各質點對表示各質點對平衡位置的位移。平衡位置的位移。10平面簡諧波的運動學方程平面簡諧波的運動學方程就是波線上就是波線上任一質點的振動方程任一質點的振動方程!yxouxP)cos(0 tAy假設已知假設已知O點振動方程：點振動方程：P點點P點相位落后點相位落后uxt O點振動傳到點振動傳到 P點需用點需用 ， uxt 如何描述平面簡諧波？如何描述平面簡諧波？11 A P點點 t+ 0 A O點點 相位相位 角頻率角頻率 振幅振幅uxt 0比較比較)cos(0 tAy已知已知O點振動方程：點振動方程：P點的振動方程為：點的振動方程為：)(cosouxtAy 這就是這就是沿沿x軸正

10、向傳播的平面簡諧波的運動學方程。軸正向傳播的平面簡諧波的運動學方程。12yxouxP 若波沿若波沿x軸負方向傳播，軸負方向傳播， 則則P點的相位比點的相位比o點超前點超前 x/u，于，于是是P點的相位點的相位 ( t+ 0)+ x/u, 這時波動方程應為這時波動方程應為)(cosouxtAy 總結起來，平面簡諧波總結起來，平面簡諧波波方程波方程的的標準形式標準形式應為：應為：tAy(cos )oux “ ” 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；“ ” 波沿波沿x軸負方向傳播。軸負方向傳播。 0 o點處質元振動的初相點處質元振動的初相13)0 xTtAy(2cos 0cos( tAy)2 x波

11、動方程還可寫為以下幾種形式：波動方程還可寫為以下幾種形式： okxtAy costAy(cos )oux 根據(jù)根據(jù)TuT ,2式中式中 稱為波矢，稱為波矢，k0是波矢的單位矢量，其方向與波是波矢的單位矢量，其方向與波的傳播方向一致。的傳播方向一致。 02kk 142.平面簡諧波運動學方程的物理意義平面簡諧波運動學方程的物理意義)(cos0 uxtAy(1)當當x=xo(確定值確定值)時，位移時，位移y只是時間只是時間t的余弦函數(shù)的余弦函數(shù): uxtAuxtAyoo00coscos 這是這是xo處質點的振動方程，相應的處質點的振動方程，相應的y-t 的曲線就叫做振動的曲線就叫做振動曲線。曲線。

12、波方程中含有兩個變量波方程中含有兩個變量x和和t，它即反映了媒質中各質點，它即反映了媒質中各質點的振動規(guī)律，又反映了振動狀態(tài)的傳播規(guī)律。的振動規(guī)律，又反映了振動狀態(tài)的傳播規(guī)律。15)(cosoouxtAy 此式表示給定時刻此式表示給定時刻to各振動質點的位移分布情況各振動質點的位移分布情況, 相應的相應的y-x的曲線就叫做的曲線就叫做波形曲線波形曲線，如圖所示。，如圖所示。(2)當當t=to(確定值確定值)時，位移時，位移y只是坐標只是坐標x的余弦函數(shù)的余弦函數(shù):yxo t=t016)(cos0 uxtAytA(cos t x+u tu)+ o 上式表明，上式表明，t 時刻時刻x點的振動狀態(tài)，

13、經(jīng)時間點的振動狀態(tài)，經(jīng)時間 t后傳播到了后傳播到了x+u t 處。即處。即經(jīng)時間經(jīng)時間 t波沿波沿x軸正方向傳播了距離軸正方向傳播了距離u t，如圖所如圖所示示。(3)當當x, t 都變化時，代表一列沿都變化時，代表一列沿x軸正方向傳播的波。軸正方向傳播的波。yxout時刻時刻t+ t時刻時刻u t173.平面簡諧波的動力學方程平面簡諧波的動力學方程把上式分別對把上式分別對t及及x偏微分兩次：偏微分兩次：)(cos0222 uxtAty)(cos02222 uxtuAxy)(cosouxtAy 比較上兩式可得：比較上兩式可得：這是這是平面波的動力學方程平面波的動力學方程。它是物理學中最重要的方

14、程之一。它是物理學中最重要的方程之一.平面簡諧波的運動學方程：平面簡諧波的運動學方程：022222 xyuty222221tyuxy 或或184 . 求平面簡諧波的運動學方程的幾種題型求平面簡諧波的運動學方程的幾種題型可直接根據(jù)平面簡諧波運動學方程的標準形式得到可直接根據(jù)平面簡諧波運動學方程的標準形式得到:)(cos0 uxtAy)2cos(0 xtAy 或或(1)己知坐標原點己知坐標原點o處質點的振動方程處質點的振動方程)cos(0 tAy(2)己知波線上某一質點己知波線上某一質點A的振動情況求波動方程的振動情況求波動方程相位比較法相位比較法 : 比較波線上任意點比較波線上任意點P與己知點與

15、己知點A的相位的關系的相位的關系 (超前或落后超前或落后), 由此得出任意點由此得出任意點P的振動方程的振動方程 , 即波動方程即波動方程 。19若波沿若波沿x軸軸正正(負負)方向傳播，方向傳播，P點的相位比點的相位比A點點落后落后(超前超前)：)(2AAxxuxx APOxAxux若已知若已知A點的振動方程：點的振動方程：)cos( tAyA則則任意點任意點P的振動方程即波動方程的振動方程即波動方程 ： tAycosuxxA u20例例1： 已知波動方程：已知波動方程： ),SI)(212(cos5 . 0 xty 求：求：(1)此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、波長和波速此波的傳播方向

16、，波的振幅、周期、頻率、波長和波速,以及坐標原點的振動初相；以及坐標原點的振動初相； (2)x=2m處質點的振動方程，及處質點的振動方程，及t=1s時該質點的速度和加速度。時該質點的速度和加速度。(3)x1=1m和和x2=2m兩點的相差。兩點的相差。(1)寫出波動方程的標準形式，與給出的波動方程進行寫出波動方程的標準形式，與給出的波動方程進行比較：比較：2)42(2cos5 . 0 xty)(2cos0 xTtAy 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點的振動初相原點的振動初相 o= /2。解：解：21 (2)將

17、將x=2m代入波動方程就得該處質點的振動方程：代入波動方程就得該處質點的振動方程：m)2cos(5 . 0 tyt=1s時該質點的速度和加速度為時該質點的速度和加速度為)2sin(5 . 0dd tty)2cos(5 . 0dd2 ttat=1-0.5 (m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m兩點的相差：兩點的相差：)(21212xxuxx 2)12(42 ),SI)(212(cos5 . 0 xty 22例例2: 一波動以一波動以u=20cm/s沿沿x軸負方向傳播，軸負方向傳播，A點的振動方程點的振動方程為為 yA=0.4cos4 t (cm), 求波動方程：求波動方程：(1)以以A

18、為坐標原點；為坐標原點； (2)以以B為坐標原點。為坐標原點。(1)以以A為坐標原點。為坐標原點。 x5cmABux5cmABuyo解：解：Px波線上任意點波線上任意點P的相位比的相位比A點點超前：超前：uxxA xx50204 所以波動方程：所以波動方程： ty 4cos4 . 0 5x )(cosouxtAy 或直接根據(jù)波動方程的標準形式或直接根據(jù)波動方程的標準形式)20(4cos4 . 0 xt 23(2)以以B為坐標原點。為坐標原點。x5cmABuyoPxu=20cm/s此時此時A點的坐標點的坐標 xA= -5cmuxxA 波線上任意點波線上任意點P的相位比的相位比A點點超前：超前：

19、555204 xx 所以波動方程：所以波動方程：4cos4 . 0ty 已知已知A點的振動方程為點的振動方程為 yA=0.4cos4 t(cm) 55 x )54cos(4 . 0 xt24例例3： 一波動以速度一波動以速度u沿沿x軸正方向傳播，軸正方向傳播，p點的振動方程為點的振動方程為 yp=Acos( t+ ), 求求: (1)坐標原點坐標原點o的振動方程；的振動方程； (2)波動方程。波動方程。xypluo解：解：(1)原點原點o比比p點相位超前：點相位超前：ul 坐標原點坐標原點o的振動方程為的振動方程為: tAycosul (2)方法方法1：根據(jù)坐標原點根據(jù)坐標原點o的振動方程寫出

20、波動方程的振動方程寫出波動方程根據(jù)波動方程的標準形式根據(jù)波動方程的標準形式)(cos0 uxtAyul )(cos uxtA 25方法方法2：根據(jù)根據(jù)p點的振動方程寫出波動方程點的振動方程寫出波動方程xypluoxM已知已知p點的振動方程為點的振動方程為 yp=Acos( t+ )波線上任意點波線上任意點M的相位比的相位比p點點落后：落后：ulx 所以波動方程：所以波動方程： tAycosulx )()(cos0 uxtuxtAy ul 與方法與方法1得到的結果一樣得到的結果一樣:26(3)己知某一時刻己知某一時刻t0的波形曲線及波速、傳播方向，求波動方程的波形曲線及波速、傳播方向，求波動方程

21、.從波形曲線上可以得到以下信息：從波形曲線上可以得到以下信息：(1)振幅振幅A； (2)波長波長 ； (3)某些點某些點(如如o點或點或P點點)在在t0時刻的振動狀態(tài)時刻的振動狀態(tài)(即位移和振動方向即位移和振動方向)可以寫出可以寫出o點或點或P點點的振動方程或求出振動初相。的振動方程或求出振動初相。yxouPA t027例例4： 波速為波速為u=0.08m/s的一平面簡諧波在的一平面簡諧波在t=0時的波形如圖所時的波形如圖所示，圖中示，圖中p點此時正向點此時正向y軸正方向運動，求該波的波動方程軸正方向運動，求該波的波動方程.解解由圖可知由圖可知, A=0.12m， =0.4muy(m)x(m)

22、op0.20.12 4 . 02 u且根據(jù)且根據(jù)p點的運動方向，可判定此波沿點的運動方向，可判定此波沿x軸正方向傳播。軸正方向傳播。28波動方程可寫為波動方程可寫為ty(4 . 0cos12. 0 m2 )08. 0 x y(m)x(m)op0.20.12由圖可知由圖可知t=0時時, o點處在平衡位置并向著點處在平衡位置并向著y軸反方向振動軸反方向振動20 u)(cos0 uxtAy根據(jù)波動方程的標準形式根據(jù)波動方程的標準形式29例例5： 沿沿x軸負方向傳播的一平面簡諧波在軸負方向傳播的一平面簡諧波在t=2s時的波形如圖時的波形如圖所示，設波速所示，設波速u=0.5m/s，求：，求：(1)圖中

23、圖中p點的振動方程；點的振動方程；(2)該波該波的波動方程。的波動方程。解解 (1)由圖可知，由圖可知， A=0.5m， =2mty2cos(5 . 0 m)2 py(m)x(m)o1-0.5u 232p tt故故 p點的振動方程為點的振動方程為所以所以T=4s， = /2。由圖可知由圖可知t=2s時時, p點處在平衡位置并向著點處在平衡位置并向著y軸正方向振動。軸正方向振動。2p 30(2)該波的波動方程該波的波動方程:ty(2cos5 . 0 m2 )5 . 0 x 或根據(jù)或根據(jù)p點的振動方程寫出點的振動方程寫出波動方程波動方程:)5 . 01222cos(5 . 0 xt py(m)x(

24、m)o1-0.5u220 tt)(cos0 uxtAyty2cos(5 . 0 m)2 )22cos(5 . 0 tyuxxp 2)5 . 0(2cos5 . 0 xt31(4)己知波線上某一質點己知波線上某一質點P的振動曲線及波速、傳播方向，求的振動曲線及波速、傳播方向，求波動方程。波動方程。ytoAT 由振動曲線可寫出質點由振動曲線可寫出質點P的振動方程，再根據(jù)相位比較的振動方程，再根據(jù)相位比較法寫出波動方程。法寫出波動方程。32例例6： 已知一平面簡諧波在與坐標原點已知一平面簡諧波在與坐標原點o相距相距x=10cm的點的點p處質元的振動曲線如圖所示，設該波沿處質元的振動曲線如圖所示，設該

25、波沿x軸正向傳播，波速軸正向傳播，波速u=5cm/s，求：，求：(1)p點的振動方程；點的振動方程；(2)該波的波動方程。該波的波動方程。x10cmopuy(cm)t(s)o22解：解：(1)p點的振動方程點的振動方程 0cos tAypcm)2cos(2t 2 (2)波動方程波動方程cm)22cos(2 ty5102 x cm2)5(2cos1022 xt335-4 波的能量和能流波的能量和能流 波動過程實際上是能量的傳播過程。我們以均勻細長棒中波動過程實際上是能量的傳播過程。我們以均勻細長棒中的的簡諧簡諧縱波為例來研究波的能量?？v波為例來研究波的能量。 當波傳播到這個質元時，該質元在平衡位

26、置作當波傳播到這個質元時，該質元在平衡位置作簡諧簡諧振動，同振動，同時該質元受到相鄰質元的作用而發(fā)生形變時該質元受到相鄰質元的作用而發(fā)生形變dy。)(cosuxtAy 一一. 簡諧波的能量簡諧波的能量dxdx+dyuxoyy+dy在在細長棒上細長棒上取一小段取一小段dx，其體積其體積dV=Sdx，質量為，質量為dm= dV ( 為棒的質量密度為棒的質量密度) S：橫截面積：橫截面積此時質元的振動速度此時質元的振動速度)(sinuxtAty 34)(sinuxtAty 2d21d mWk )(sind21222uxtAV 由由楊氏彈性模量的定義楊氏彈性模量的定義：xyYSFdd ,dyk dxd

27、x+dyuxoyy+dyxyYSFdd S：橫截面積：橫截面積xYSkd 其中其中由此可見，細棒中質元的振動類似于彈簧振子的振動。由此可見，細棒中質元的振動類似于彈簧振子的振動。質元質元dm的的振動動能振動動能352)d(21dykWp 22)(d21xyVu )(sind21222uxtAV 2duYxYSk 所以質元所以質元dm形變形變的彈性勢能的彈性勢能)(cosuxtAy 質元質元dm的振動動能的振動動能2d21d mWk )(sind21222uxtAV 質元質元dm的總能的總能:)(sindddd222uxtAVWWWpk 與孤立的振動系統(tǒng)比較與孤立的振動系統(tǒng)比較!36(3)波的波

28、的能量密度能量密度(單位體積內媒質的能量單位體積內媒質的能量)為為 (1)任意時刻，質元的任意時刻，質元的動能和勢能都相等動能和勢能都相等。即。即 (2)質元的質元的總能量總能量隨時間作周期性的隨時間作周期性的變化變化，并沿波線以，并沿波線以波速波速u傳播。傳播。pkWWdd )(sind)(sindd222222utuxttAVuxtAVW 結論結論)(sin222uxtA )(sindddd222uxtAVWWWpk VWdd 37平均能量密度：平均能量密度： 單位時間內，通過垂直于波動傳播方向的單位面積的能單位時間內，通過垂直于波動傳播方向的單位面積的能量量, 稱為稱為能流密度能流密度。

29、顯然，。顯然，能流密度能流密度也就是通過垂直于波動也就是通過垂直于波動傳播方向的傳播方向的單位面積的功率單位面積的功率。Sudt二二. 波的能流密度波的能流密度(波強波強)22021d1 AtTT utStSuI dd 設在媒質內垂直于波傳播方向取一面積設在媒質內垂直于波傳播方向取一面積S, 則在則在dt時間內通過時間內通過S面的能量等于面的能量等于 , 于于是是平均能流密度平均能流密度(或或波強波強)為為tSud 2221Au 38例例7: 在各向同性的理想介質中，求：點波源發(fā)出的球面簡諧在各向同性的理想介質中，求：點波源發(fā)出的球面簡諧波的振幅、強度隨距離的變化關系，并寫出球面波方程。波的振

30、幅、強度隨距離的變化關系，并寫出球面波方程。解：解：121221SAu 可得可得121221rrSSAA 2122222121rrAAII 可見，球面波的振幅隨距離呈反比例可見，球面波的振幅隨距離呈反比例衰減，球面波方程可寫為衰減，球面波方程可寫為or1r2由能量守恒由能量守恒在半徑為在半徑為r1和和r2的兩個球面上，波的能流密度分別為：的兩個球面上，波的能流密度分別為：2222212121,21AuIAuI )cos(00krtrrAy (A0是是r0處的振幅處的振幅)222221SAu =39例例8: 一電臺一電臺(視為點波源視為點波源)平均發(fā)射功率平均發(fā)射功率10kw，求離電臺，求離電臺

31、1km處的波強。處的波強。 解：解： 能流密度能流密度(波強波強)為為2221AuuI 顯然，直接用上面的公式無法求得結果。但電臺顯然，直接用上面的公式無法求得結果。但電臺(點波源點波源)發(fā)出的能量是通過一個個半徑為發(fā)出的能量是通過一個個半徑為r的球面的，由定義：能流密的球面的，由定義：能流密度也就是度也就是通過通過垂直于波傳播方向的垂直于波傳播方向的單位面積的功率單位面積的功率。于是所。于是所求平均能流密度求平均能流密度(波強波強)為為24 rpI =7.9610-4(w/m2)例例9：一平面簡諧波在彈性媒質中傳播一平面簡諧波在彈性媒質中傳播, 在某一瞬時在某一瞬時, 媒質中媒質中某質元正處

32、于平衡位置某質元正處于平衡位置, 此時它的能量是此時它的能量是(A)質元的動能為零質元的動能為零 , 勢能最大。勢能最大。(B)質元的動能為零質元的動能為零 , 勢能為零。勢能為零。(C)質元的動能最大質元的動能最大, 勢能最大。勢能最大。(D)質元的動能最大質元的動能最大, 勢能為零。勢能為零。答答: (C)例例10：一平面簡諧波在彈性媒質中傳播一平面簡諧波在彈性媒質中傳播, 在某質元從平衡位在某質元從平衡位置運動到最大位移的過程中置運動到最大位移的過程中(A)它它的勢能的勢能轉換成轉換成動能。動能。(B)它它的動能的動能轉換成轉換成勢能。勢能。(C)它從相鄰的一段媒質獲得能量，其能量逐漸增

33、加它從相鄰的一段媒質獲得能量，其能量逐漸增加。(D)它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質，其能量逐漸減少。它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質，其能量逐漸減少。答答: (D)4041 引起人聽覺的機械波的頻率范圍：引起人聽覺的機械波的頻率范圍： 20 - 20000HzoIILlg10 (dB)樹葉沙沙：樹葉沙沙：20dB; 正常談話：正常談話： 60dB; 鬧市：鬧市：70dB; 飛機起飛：飛機起飛：150dB。 人耳的聽覺并不與聲強成正比，而是與聲強的對數(shù)成人耳的聽覺并不與聲強成正比，而是與聲強的對數(shù)成正比。取正比。取Io=10-12(w/m2)為為聲強聲強標準，則標準，則聲強級聲強級: 引起人聽

34、覺的聲波的聲強范圍：對引起人聽覺的聲波的聲強范圍：對1KHz的聲波的聲波 10-12W/m2 - 1W/m2 5-5 聲波、超聲波和次聲波聲波、超聲波和次聲波(自學自學)42 媒質中任一波陣面的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波媒質中任一波陣面的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時刻，這些子波的包跡面就是新的波陣面。源，其后任一時刻，這些子波的包跡面就是新的波陣面。球球面面波波 tt + t平面波平面波t+ t時刻波面時刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面一一. 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理的重要性在于：知道某一時刻的波陣面，用幾何作惠更斯原理的重要性在于：知道某一時刻的

35、波陣面，用幾何作圖的方法就能確定下一時刻的波陣面，從而確定波的傳播方向圖的方法就能確定下一時刻的波陣面，從而確定波的傳播方向.5-6 波的疊加波的疊加43 用惠更斯原理可以解釋波的衍射用惠更斯原理可以解釋波的衍射、折射、反射等規(guī)律、折射、反射等規(guī)律。例如例如: 波的衍射波的衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播是指波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向發(fā)生改變，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進且強度重新分方向發(fā)生改變，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進且強度重新分布的現(xiàn)象布的現(xiàn)象。a惠更斯原理的不足：不能求出波的強度分布?；莞乖淼牟蛔悖翰荒芮蟪霾ǖ膹姸确植?。練習：練習：根據(jù)惠更斯原理證明波的反射定律

36、和折射定律。根據(jù)惠更斯原理證明波的反射定律和折射定律。44二二. 波的疊加原理波的疊加原理 (波的獨立性原理波的獨立性原理)大量的觀察和研究表明大量的觀察和研究表明: A.幾列波可以保持各自的特點幾列波可以保持各自的特點(頻率、波長、振幅、振動方向頻率、波長、振幅、振動方向等等)同時通過同一媒質同時通過同一媒質, 好像在各自的傳播過程中沒有遇到好像在各自的傳播過程中沒有遇到其他波一樣。其他波一樣。波的獨立性波的獨立性B. 在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內, 任一點處質元的振動為各任一點處質元的振動為各列波單獨在該點引起的振動的合成。列波單獨在該點引起的振動的合成。波的疊加性

37、波的疊加性 應當指出，上述波的疊加原理并不是普遍成立的，只有應當指出，上述波的疊加原理并不是普遍成立的，只有當波的強度較小時當波的強度較小時(波動方程為線性的時波動方程為線性的時)，它才是正確的。，它才是正確的。45三三. 波的干涉波的干涉 兩列波兩列波: (1)頻率相同；頻率相同； (2)振動方向相同；振動方向相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干條件相干條件則這兩列波在空間相遇區(qū)域疊加則這兩列波在空間相遇區(qū)域疊加, 就會出現(xiàn)有些地方的振動就會出現(xiàn)有些地方的振動始終加強始終加強, 而另一些地方的振動始終減弱的穩(wěn)定分布，這種而另一些地方的振動始終減弱的穩(wěn)定分布，這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為波的干涉波

38、的干涉。 能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列列波稱為波稱為相干波相干波，它們的波源稱為，它們的波源稱為相干相干波源波源。下面下面我們來研究波加強和減弱的條件是什么。我們來研究波加強和減弱的條件是什么。46s2s1r1r2p 設兩個相干波源設兩個相干波源S1、S2的振動方程分別為的振動方程分別為 y10=A10cos( t+ 1) y20=A20cos( t+ 2) )2cos(1111 rtAy )2cos(2222 rtAy S1 p:S2 p:P點的合振動為點的合振動為 y =y1+y2=Acos( t+ )(同方向同頻率諧振動的合成同方向同頻率諧振動的合成) 從這兩波源發(fā)出的波在從這

39、兩波源發(fā)出的波在P點相遇，點相遇， 它它們單獨在們單獨在P點引起的振動分別為點引起的振動分別為47合振幅合振幅: cos2212221AAAAA 式中式中)(21212rr P點的合振動為點的合振動為 y =y1+y2=Acos( t+ )波強波強: cos22121IIIII 合振幅合振幅A與與有關有關!對空間確定的點對空間確定的點: 不隨時間變化，因而合振幅不隨時間變化，因而合振幅A也不隨時也不隨時 間變化，保持恒定；間變化，保持恒定；對空間不同的點對空間不同的點: 將可能不同，合振幅將可能不同，合振幅A也將不同，但仍也將不同，但仍 然不隨時間變化。然不隨時間變化。即迭加的結果振動強度在空

40、間形成一穩(wěn)定的分布，這就是即迭加的結果振動強度在空間形成一穩(wěn)定的分布，這就是干干涉現(xiàn)象涉現(xiàn)象。48)(21212rr =2k , A=A1+A2 , 加強加強(干涉相長干涉相長)，=(2k+1) , A=|A1-A2| , 減弱減弱(干涉相消干涉相消)，特別是特別是 A1=A2 時，時，A=0，Imin=0。(k =0,1,2)合振幅合振幅: cos2212221AAAAA 波強波強: cos22121IIIII 特別是特別是 A1=A2 時，時，A=2A1，Imax=4I1。49如果兩相干波源的初相相同如果兩相干波源的初相相同( 1= 2 )，則，則 2212 rr式中式中 ，稱為稱為波程差

41、波程差。12rr krr 12加強加強(干涉相長干涉相長)(k =0,1,2) 21212 krr減弱減弱(干涉相消干涉相消)從以上的討論可知，分析波的干涉強弱，只需計算從以上的討論可知，分析波的干涉強弱，只需計算 或或 的的值。值。50 例例11： 已知已知: yb=3cos2 t, yc=4cos(2 t+ /2)(SI),從從b、c兩點發(fā)出的波在兩點發(fā)出的波在p點相遇，點相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s,求求p點的合振動方程。點的合振動方程。cbp解解: y1=3cos(2 t- ) bp 2=3cos(2 t- /2)cp: y2=4cos(2 t+ /2-

42、 ) cp 2=4cos(2 t- /2)p點的合振動方程點的合振動方程:y=y1+y2=7cos(2 t- /2)mbp:m2 . 02 uuT51例例12： 兩個振幅都為兩個振幅都為A的相干波源的相干波源S1和和S2相距相距3 /4， S1比比S2超超前前 /2，設兩波在連線上的波強不隨傳播距離而改變，試分析，設兩波在連線上的波強不隨傳播距離而改變，試分析S1和和S2連線上的干涉情況。連線上的干涉情況。axxb解解 干涉的強弱取決于相位差干涉的強弱取決于相位差:)(21212rr S1左側左側a點點: =S2右側右側b點點: =2 ,2)43(2 S1左側各點都加強，左側各點都加強，Ima

43、x=4I2 ,)43(2 S1S23 /4S2右側各點都減弱，右側各點都減弱， Imin=0分三個區(qū)域討論分三個區(qū)域討論:52 S1和和S2之間之間c點點:S1S23 /4)243(2x x42 2k ,解得解得x= /2處加強。處加強。(2k+1) ，解得解得x=3 /4處減弱。處減弱。2 xc =)(21212rr 53例例13：原點原點o是波源，振動方向垂直紙面，波長為是波源，振動方向垂直紙面，波長為 。AB為波為波的反射平面，反射時無半波損失。的反射平面，反射時無半波損失。A點位于點位于o點的正下方，點的正下方，Ao=h，ox軸平行于軸平行于AB。求。求ox軸上干涉加強點的坐標。軸上干

44、涉加強點的坐標。oxABh)(21212rr 解解= k , (k=1,2,3) 加強加強 kkhx24222 解得解得(最大最大k: 令令x=0，得，得k=2h/ )(k=1,2,3 2h/ )xp q 2 xxhrr 422212 54例例14： 相干波源相干波源S1超前超前S2 ( /2) , A1=A2=0.2m，頻率，頻率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m，兩種媒質中的波速分別為，兩種媒質中的波速分別為 u1=400m/s，u2=500m/s，求兩媒質界面上，求兩媒質界面上p點的合振幅。點的合振幅。)442575. 32(2 =0A=A1+A2 =0.4m)2(222

45、r 解解 先求兩波到達先求兩波到達p點的位相差：點的位相差：)(21212rr s2s1r2r1pu2u1所以所以p點干涉加強點干涉加強, 合振幅為合振幅為)22(112212 rr )2(111 r 55四四. .駐波駐波1. 駐波的產(chǎn)生駐波的產(chǎn)生 駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成的，是干涉現(xiàn)象中的一種特例。向傳播時疊加而成的，是干涉現(xiàn)象中的一種特例。 駐波的形成駐波的形成.562. 駐波的表達式駐波的表達式設有兩列相干波設有兩列相干波 )2cos()2cos(21xtAyxtAy 合成波合成波:txAyyy c

46、os2cos221 3.駐波的特征駐波的特征(2) 波線上各點均作簡諧振動，而且頻率相同，但振幅不同，波線上各點均作簡諧振動，而且頻率相同，但振幅不同，振幅隨振幅隨x按余弦函數(shù)分布。按余弦函數(shù)分布。xAA 2cos2 駐駐(1)駐波方程不滿足駐波方程不滿足y(t+t, x+ ut)=y(t, x), 因此它不表示跑因此它不表示跑動著的波，即不是行波，故稱為駐波。動著的波，即不是行波，故稱為駐波。(駐波方程駐波方程)57(3)波腹和波節(jié)位置波腹和波節(jié)位置yx2A-2Ao波腹波腹波節(jié)波節(jié)AA2max 駐駐0min 駐駐AxAA 2cos2 駐駐波腹波腹令令, 12cos x得得波腹的位置為波腹的位

47、置為,.2, 1, 0,2 kkx 令令, 02cos x得得波節(jié)的位置為波節(jié)的位置為,.2, 1, 0,4)12( kkx 波節(jié)波節(jié)2 2 58txA cos2cos21 txA cos)2cos(21 txAyx cos)2(2cos2121 txAyx cos2cos211 某某t時刻，在時刻，在x1處其位移：處其位移：(4)駐波的位相關系駐波的位相關系1x.txAy cos2cos2 處的位移處的位移:同時刻同時刻,212 xx結論結論任一波節(jié)兩側的各點任一波節(jié)兩側的各點反相反相，相鄰波節(jié)之間的各點，相鄰波節(jié)之間的各點同相同相。駐波實際上就是分段振動著的，沒有振動狀態(tài)或相位的駐波實際上

48、就是分段振動著的，沒有振動狀態(tài)或相位的傳播。傳播。 txAcos2cos21x259(5)駐波中的能量駐波中的能量各質點位移同時達到最大時各質點位移同時達到最大時：動能為零，勢能不為零，主要：動能為零，勢能不為零，主要集中在波節(jié)；集中在波節(jié)；當各質點回到平衡位置時當各質點回到平衡位置時：全部勢能為零；動能最大，主要：全部勢能為零；動能最大，主要集中在波腹。集中在波腹。在駐波波動過程中，動能和勢能不斷轉換，能量在相鄰的波在駐波波動過程中，動能和勢能不斷轉換，能量在相鄰的波腹、波節(jié)間來回轉移。因此，腹、波節(jié)間來回轉移。因此，駐波是不傳播能量的。駐波是不傳播能量的。結論結論這一結論可從能流密度說明。

49、這一結論可從能流密度說明。60(6) 簡正模簡正模 對于兩端固定繩子上形成的駐波，波長必須滿足對于兩端固定繩子上形成的駐波，波長必須滿足: Lnn2u 系統(tǒng)的本征頻率反映了系統(tǒng)的固有頻率特性系統(tǒng)的本征頻率反映了系統(tǒng)的固有頻率特性 ，當外界激，當外界激發(fā)頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，就會引起駐波，這種現(xiàn)發(fā)頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，就會引起駐波，這種現(xiàn)象也稱為象也稱為共振。共振。 駐波頻率駐波頻率:n=1的頻率稱為的頻率稱為基頻基頻，其它頻率稱為，其它頻率稱為諧頻諧頻(或倍頻或倍頻)。每一頻率每一頻率對應于一種可能的振動方式，所有這些振動方式稱為系統(tǒng)的對應于一種可能的振動方式，所有這些振動方式

50、稱為系統(tǒng)的簡正模簡正模，所有的頻率構成系統(tǒng)的所有的頻率構成系統(tǒng)的本征頻率本征頻率。 駐波的邊界條件.exe或或 n=1,2,3,nLn2 2 nL 61(7)關于半波損失關于半波損失入射波在反射時發(fā)生入射波在反射時發(fā)生相位突變相位突變 的現(xiàn)象稱為的現(xiàn)象稱為半波損失半波損失。當波從當波從波疏媒質波疏媒質( u較小較小)垂直入射到垂直入射到波密媒質波密媒質( u較大較大)界面上界面上反射時，有反射時，有半波損失半波損失，形成的駐波在界面處是，形成的駐波在界面處是波節(jié)波節(jié)。反之，當。反之，當波從波密媒質垂直入射到波疏媒質界面上反射時，無半波損失波從波密媒質垂直入射到波疏媒質界面上反射時，無半波損失,

51、界面處出現(xiàn)界面處出現(xiàn)波腹波腹。弦線上的駐波：弦線上的駐波：b.固定端固定端反射反射 形成形成波節(jié)波節(jié) a.自由端自由端反射反射 形成形成波腹波腹即入射波在反射時發(fā)生相位即入射波在反射時發(fā)生相位 的的突變。突變。駐波的邊界條件.exe62例例15 一弦上的駐波方程為一弦上的駐波方程為(SI)550)cos6 .1cos(1000.32txy 求：求：(1)兩行波的振幅和波速；兩行波的振幅和波速；(2)相鄰波節(jié)間的距離；相鄰波節(jié)間的距離； (3) t =3.0010-3s時時, 位于位于x =0.625m處質點的振動速度。處質點的振動速度。 解：解：(1)比較法比較法txy275/12cos)25

52、. 12(cos)1050. 1(22 tTxAy 2cos2cos2 A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u=343.8m/s63(2)相鄰兩波節(jié)之間的距離相鄰兩波節(jié)之間的距離:2 x( =1.25m)=0.625m (3) t=3.0010-3s時時,位于位于x=0.625m處質點的振動速度。處質點的振動速度。)SI(550cos)(cos1000. 32ty x=0.625,)SI(550cos1000. 32t )SI(550cos)6 . 1(cos1000. 32txy 3103dd tty = - 46.2(m/s)64例例16 (1) 波波y2與與y1形成

53、駐波形成駐波, 且在且在x=0處兩波同相處兩波同相, 求波求波y2的方程。的方程。 (2)駐波方程；駐波方程；(3)波幅和波節(jié)位置。波幅和波節(jié)位置。)(SI)4050(2cos0501x.t.y 解解 (1)設波設波y2的的方程為方程為40502cos0502o)x.t(.y 因因y2在在x=0處與已知行波相位相同，所以處與已知行波相位相同，所以 o=0,40502cos0502)x.t(.y 6540502cos0502)x.t(.y (2)寫出繩上的駐波方程寫出繩上的駐波方程:40502cos0501)x.t(.y tx.yyy 40cos2cos10021 (3)波幅和波節(jié)位置波幅和波節(jié)

54、位置波幅波幅:,x12cos ,kx 2(m)2kx 波節(jié)波節(jié):,x02cos ,2) 12(2 kx)(m)12( kx,.)2, 1, 0( k66解解: (1)入射波在入射波在p點的振動方程為點的振動方程為)2cos(1 LtAyp Loyxpy1y2 由于反射端為自由端由于反射端為自由端(無半波損失無半波損失)，所以反射波在，所以反射波在p點的點的振動方程為振動方程為反射波方程為反射波方程為2cos2 LtAy 例例17：波：波 沿棒傳播，在沿棒傳播，在x=L處處(p點點)反反射，反射端為自由端，求：射，反射端為自由端，求：(1)反射波方程；反射波方程；(2)駐波方程。駐波方程。)2c

55、os(1xtAy )2cos(2 LtAyp Lx 2)42cos( LxtA 67另法：另法：設反射波方程為設反射波方程為)2cos(2oxtAy Loyxpy1y2 由于反射端為自由端由于反射端為自由端(無半波損失無半波損失)，入射波和反射波在，入射波和反射波在p點相差為零，即點相差為零，即, 0)2()2( oLtLt Lo4 反射波方程為反射波方程為)42cos(2 LxtAy 68(2)駐波方程駐波方程)2(2cos2 LxtAy )2cos(1xtAy 駐波方程為駐波方程為)2cos()(2cos221 LtLxAyyy Loyxpy1y269例例18： 設波源位于坐標原點設波源位

56、于坐標原點o處，其振動方程為處，其振動方程為yo=Acos t。在在x= -3 /4處的處的Q點有一波密反射壁點有一波密反射壁( 為為波長波長)，如圖所示。求，如圖所示。求: (1)o點發(fā)出的沿點發(fā)出的沿x軸傳播的波的波動方程軸傳播的波的波動方程; (2) Q點反射的反射波的波動方程點反射的反射波的波動方程; (3)oQ區(qū)域內合成波的方程區(qū)域內合成波的方程; (4)x0區(qū)域內合成波的方程。區(qū)域內合成波的方程。解解 (1)沿沿x軸正方向傳播的波軸正方向傳播的波:)2cos(1xtAy 沿沿x軸負方向傳播的波軸負方向傳播的波:)2cos(2xtAy otAycos()2xQy2y1y43ox70(

57、2) 入射波入射波y2在在Q點的振動方程為點的振動方程為yr)23cos(2 tAyQ 由于反射壁處有半波損失，反射波由于反射壁處有半波損失，反射波yr在在Q點的振動方程為點的振動方程為)2cos(2xtAy 最后得最后得Q點反射波的波動方程為點反射波的波動方程為 )2cos(xtA )23cos( tAyrQ)2cos( tA2cos tAyr)43(2 xQy2y1y43ox71另法：另法： 設設Q點反射的反射波的波動方程為點反射的反射波的波動方程為)2(cosxtAyor 由于反射壁處有半波損失，入射波由于反射壁處有半波損失，入射波y2和反射波和反射波yr在在Q點點相差應為相差應為 ，即

58、，即 )43(2)43(2tto解得解得 o= - 4 最后得最后得Q點反射波的波動方程為點反射波的波動方程為 )2(cosxtAyr Qy2y1y43oxyr72txAyyyr cos2cos22 oQ區(qū)域內合成波的方程為區(qū)域內合成波的方程為這是駐波方程。這是駐波方程。(4) x0區(qū)域內合成波的方程：區(qū)域內合成波的方程：)2cos(2xtAy (3)2cos(xtAyr )2cos(1xtAy ryyy1)2cos(2xtA 這是行波方程。這是行波方程。yrQy2y1y43oxp73 如果波源或接收器如果波源或接收器(觀察者觀察者)或兩者同時相對于媒質運動時，或兩者同時相對于媒質運動時，接收

59、器接收到的頻率和波源的頻率不同接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。這一現(xiàn)象稱為這一現(xiàn)象稱為多普勒多普勒(Doppler)效應效應。5-7 多普勒效應多普勒效應 為簡單起見為簡單起見, 下面的討論假定波源和接收器在同一直線下面的討論假定波源和接收器在同一直線上運動。規(guī)定用上運動。規(guī)定用 s表示波源相對于媒質的運動速度；表示波源相對于媒質的運動速度； r表示接收器相對于媒質的運動速度；表示接收器相對于媒質的運動速度； u表示波在媒質中的傳播速度。表示波在媒質中的傳播速度。 s表示波源的頻率；表示波源的頻率； r表示接收器收到的頻率；表示接收器收到的頻率； 表示波的頻率。表示波的頻率。74多多接收到的接收到的 波數(shù)波數(shù) r / 1.波源靜止，接收器相對于媒質以波源靜止，接收器相對于媒質以 r運動運動 當接收器在媒質中靜止不動時，他在單位時間內接收到當接收器在媒質中靜止不動時，他在單位時間內接收到 u / 個波。個波。 現(xiàn)因接收器以速度現(xiàn)因接收器以速度 r向波源運動，他在單位時間內向波源運動，他在單位時間內多接收到多接收到 r /