數(shù)理方程題庫

1、五、(Possion 方程)求定解問題卜加=12(? -/), I川戲旳丄二川=o0 < x < /, r > 0 t> 00 0兀蘭f當(dāng) 1-.I 1 I -'ll'時，求.二 和.一- 時"的0 < x < /, r > 0 t> 00 < JC < /0 < % < /, t > 0t > 00<x< I+ v2 < a0 < jc < /, t > 0 r>00<x<l第一局部別離變量法一、(i)求解特征值問題uflx) +

2、 lu(x) = 0t 0 < X < IzdO) = it(l) = 0(2)驗證函數(shù)系二關(guān)于內(nèi)積I2/ J=i< 護(hù)(X),>= I <p(x)t/f(x)dxJo正交，并求范數(shù) L 1)7TT2?二、用別離變量法求解疋解問題為=局g4 u(091) = 0, uQ, t)二 0s w(x, 0) =的解的表達(dá)式，寫出具體的別離變量過程進(jìn)一步， 值.三、(方程非齊次的情形)求定解問題Uf d Uxx + sin , 彳 u(091) = 0, w(/, r) = a w(x, 0) = sin y,四、(邊界非齊次的情形)求定解問題ut - cruxx 十 s

3、in 牛« «(05 f) = u(/, t) - 1,0心,0) = Sill y,六、求定解問題：的二冷工一屏也“ ux(0, r) = w(Z, t) = 0, u(x, 0)二 0(龍)，1、考試只考四種邊界條件，即還有以下三種:2) jd W m 忙3) 114) ：.匚.二 _；，：;；打：一門(無2、以上均為拋物型方程，還可以考雙曲型方程(相應(yīng)的初值條件變?yōu)閮蓚€)和橢圓型方程 初值條件)；3、考試中除特別要求(如以上的第二題)外，不要求必須用別離變量法、特征函數(shù)法等方法 求解，你可以自己選擇方法(如上面的第三題)可以用Laplace變換求解。第二局部積分變換法

4、一、請用下面三種方法求解無窮限波動問題X2'ut ox(1) 用積分變換法推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式(2) 用特征線法推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式(3) 用降維法推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式、用積分變換法求解定解問題2u 2x y, x 1, y 0x y3dUy 0X ,x 1Ux 1 cosy, y 0注意：只考應(yīng)用Fourier變換和Laplace變換求解方程的問題第三局部特征線問題一、判斷方程y2H.xx +二 0的類型二、從達(dá)朗貝爾公式出發(fā)，證明在無界弦問題中(1) 假設(shè)初始位移x和初始速度x為奇函數(shù)，那么u t,00(2) 假設(shè)初始位移x和初始速度x為偶函數(shù)，那么ux t,00三、請用以下方法求解定解問題+ 5»JV + 4f/Vy 二 0,-oo << +0O, y > 0k(x,0) = 4詵 u/x,0) = 0, 一g <x< +8(1) 用特征線法求解(2) 用積分變換法求解第四局部Legendre多項式2一、將f X x在區(qū)間 1,1內(nèi)展成勒讓德多項式的級數(shù)二、在半徑為1的球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)，使u r 1 3cos2 1(提示：邊界條件僅與有關(guān)，解也同樣)第五局部Green函數(shù)20、證明:x lim0x(弱)，其中x£ x0,x21、證明:.sin Nx limNNxx弱22、證明:當(dāng)：時,&