時間序列分析的基本概念

1、第五節(jié)第五節(jié) 差分運算及滯后算子差分運算及滯后算子第四節(jié)第四節(jié) 線性差分方程線性差分方程第二節(jié)第二節(jié) 平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)時間序列第一節(jié)第一節(jié) 隨機過程隨機過程同一時刻的水位紀錄是不相同的。X(t)t隨機過程與時間序列的關(guān)系圖示隨機過程與時間序列的關(guān)系圖示n一般地，對于任意mN，t1，t2，tmT，隨機變量Xt1 Xtm的聯(lián)合分布函數(shù)為：, 2, 1, 0T xFtX )(xXPxFtXt時間序列的一維分布函數(shù)。),(,2121,2111xXxXPxxFttXXtt時間序列的二維分布函數(shù)。),(,11,11mttmXXxXxXPxxFmmtt時間序列的有限維分布函數(shù)。代表隨機變量的主要特征。)(x

2、xdFEXtXtt 即為時間序列Xt的均值函數(shù)。被Xt的一維分布族所決定。當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數(shù)序列，它反映的是時間序列Xt每時每刻的平均水平。t)()()(22xdFxXEDXttttt當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數(shù)序列DXt，它反映序列值圍繞其均值做隨機波動時平均的波動程度。 ),()()(),(,yxdFyxXXEstXsXtstsstt時間序列的自協(xié)方差函數(shù)是隨機變量間協(xié)方差的推廣，自協(xié)方差函數(shù)具有對稱性，即：),(),(tsst且有：tDXtt),(),(),(),(),(),(ssttstDXDXststst自相關(guān)函數(shù)描述了時間序列的Xt自身的相關(guān)結(jié)

3、構(gòu)。自相關(guān)函數(shù)也具有對稱性，且有：1),(tt),(),(21,21,2121mXXXmXXXxxxFxxxFmtttmttt量，機器的性能、工藝過程、工人的技術(shù)水平、自然條件(氣溫、雨量等)沒有劇烈的變化，就可以認為相應(yīng)的過程是平穩(wěn)的。這樣要求未免有點過分，當把條件適當放寬時，便得到了寬平穩(wěn)隨機過程。協(xié)方差僅與時間間隔(t-s)有關(guān)。ststXXEstTtEXTtEXstttt,)0 ,()(),()3,)2,)12，為常數(shù)，則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。)0 ,(),(stst)()(kttktktttkXXEEXXEXXE20)(),(ttXEttDX0),(),(kstkDXDXstst

4、10kkkkkkn如果xt 同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個嚴平穩(wěn)的隨機過程。n白噪聲序列是一種最簡單的平穩(wěn)序列，它在時間序列分析中占有非常重要的地位。ststXEXstEXstt0),()2(0) 1 (2則稱此序列為白噪聲序列。則稱此序列為白噪聲序列。同分布序列，此時我們稱其為正態(tài)白噪聲序列jjjjtjtax2作業(yè)：證明Xt為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)序列。kk偏自相關(guān)其實就是如下的條件相關(guān)：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 Xt+k-1)nttxnx11可以證明， 是 的無偏、一致估計。xnktkttknktkttkxxxxknxxxxn11)(1) 2()(1) 1 (kkkk

5、kkkkkknttnktkttkkxxxxxx1210)()(k)221 (1221mnSk0kn(3)在出現(xiàn)的對話框中輸入滯后數(shù)。（可取默認數(shù)） 如果一個時間序列為白噪聲序列，那么 近似地服從N(0,1/n)。于是根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，對任一 的95%的置信區(qū)間為：kknn120196. 10或白噪聲序列檢驗原理白噪聲序列檢驗原理(非常重要！非常重要！)1, 0210mHm：mkmHk，：至少存在某個1, 01mm)(212mnQmkk)()()2(212mknnnQmkk其中，n為樣本容量，m為滯后長度。21( )m121( )m1一般取0.05或者0.10其中：說明說明：1. m的選取要合

6、適，既不能過大，也不能過小。2.若檢驗ARMA(p,q)模型的殘差是否為白噪聲，則Q統(tǒng)計量的自由度為m-p-q例：例：EviewsEviews操作演示操作演示在Eviews 顯示的自相關(guān)圖中，同時給出了Q統(tǒng)計量值和它的相伴概率（P值），若 ,則接受原假設(shè)，即可認為序列為白噪聲序列；否則拒絕原假設(shè)。p010020030040050060070019801982198419861988199019921994STPOORLBQLBQ延遲統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期1011.10.000延遲12期1805.50.000由于P值顯著大于顯著性水平 （0.05或0.10），所以該序列不能拒絕純隨機的原

7、假設(shè)。-4-3-2-10123255075100125150175200WNLBQLBQ延遲統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲5期3.650.601延遲12期6.820.743由于P值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列不能拒絕純隨機（白噪聲）的原假設(shè)。) 1 ()()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt)2(0)()()(1111tntnntntytaytaytay1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數(shù)，且an(t)、f(t)不同時為零，若 ai(t)為常數(shù)，則上述兩式即為常系數(shù)差分方程。) 3 ()(1111tfy

8、ayayaytntnntnt其中：a1,a2, an為常數(shù)，且an不為零，f(t)為t的已知函數(shù)。) 4(01111tntnntntyayayay設(shè)齊次方程（4）有特解：為非零常數(shù),tty 則：0111nnnnaaa稱為方程（4）的特征方程，此特征方程的解稱為特征根。（1）若特征方程有一實特征根 ，其重數(shù)為m（m=n） 則：tmtttt1,為齊次方程的m個線性無關(guān)解。（2）若特征方程有一對共軛復(fù)根), 0(tan:,2sin;sin;sincos;cos;cos),2(2211abbarrktrtttrtrtrtttrtrnkkibaibatktttktt由下式確定其中個線性無關(guān)特解為齊次線性

9、方程的則其重數(shù)為（3）將所得的n個線性無關(guān)特解組合，即得齊次方程的通解：)()()()(2211tyctyctyctynnc其中：c1,c2, cn為n個任意常數(shù)。.065:112的通解求差分方程例tttyyy為任意常數(shù)的通解為于是所給方程其有兩個特征根特征方程為解2121212,32)(:, 3; 2,0)3)(2(65:cccctyttc的通解求差分方程例044212tttyyy為任意常數(shù)于是方程的通解為故有重特征根特征方程為解21212122,2)()(, 20)2(44cctcctytc的通解求差分方程例0312tttyyy.,;3;3tan; 13sin3cos)()31 (21)3

10、1 (21012121212任意常數(shù)其中因此方程的通解為其有一對共軛復(fù)根特征方程為解ccrtctctyiic的通解求三階差分方程例2012434123ttttyyyytctcctyttiitttcttt2sin22cos2)3()(2sin2;2cos2;)3(2,2, 30)4)(3(1243321321223于是齊次方程的特解為性無關(guān)特解為對應(yīng)齊次方程的三個線故特征根為特征方程為解1)2sin2cos(2)3()(. 1, 1.,321tctccytyyyBBBytttcttt于是所給方程的通解為有特解即所給方程將其代入所給方程可得為待定常數(shù)設(shè)非齊次方程有特解時間序列xt在t時刻的一階差分

11、定義為：21122ttttttxxxxxxxt在t時刻的二階差分定義為：1tttxxx一般地，p階差分定義分：111tptptpxxx二、季節(jié)差分二、季節(jié)差分設(shè)xt為含有周期為S的周期性波動序列， 那么一階季節(jié)差分（S步差分）被定義為：stttsxxx二階季節(jié)差分被定義為：ststtstttsxxxxxx222010020030040050060070019801982198419861988199019921994STPOOR-40-30-20-1001020304019801982198419861988199019921994D(STPOOR)-.15-.10-.05.00.05.10.

12、1519801982198419861988199019921994DLOG(STPOOR)4080120160200240280485052545658606264666870USAGDP-20-15-10-50510152025485052545658606264666870D(USAGDP)-.15-.10-.05.00.05.10.15485052545658606264666870DLOG(USAGDP)-.05.00.05.10.15.20485052545658606264666870DLOG(USAGDP,0,4)-.06-.04-.02.00.02.04.06.0848505

13、2545658606264666870DLOG(USAGDP,1,4)時間原序列滯后一期 滯后二期 滯后三期tytyt-1yt-2yt-3112213-0.5214-10.5215-1.5-1-0.5260-1.5-1-0.5710-1.5-181.510-1.59-0.51.51010-1.5-0.51.5111-0.5-1.5-0.51.5120.5-0.5-1.5-0.51310.5-0.5-1.5時間序列的延遲運算時間原序列超前一期 超前二期 超前三期tytyt+1yt+2yt+3112-0.5-122-0.5-1-1.53-0.5-1-1.504-1-1.5015-1.5011.56

14、011.5-0.5711.5-0.5-1.581.5-0.5-1.5-0.59-0.5-1.5-0.50.510-1.5-0.50.5111-0.50.51120.51131時間原序列一階差分tytyt=yt-yt-1122423624825102612271428162918210202112221224213262例：時間序列的差分運算例：時間序列的季節(jié)差分時間原序列一階季節(jié)差分tyt4yt=yt-yt-42000.153.4255.9357.5464.52001.159.46261.96363.56470.562002.165.46267.96369.56476.56時間原序列 一階季節(jié)差分一階季節(jié)差分的一次差分tyt4yt=yt-yt-44yt-4yt-12000.153.4255.9357.5464.52001.159.46262.