隨機(jī)微分方程均方有界解存在性判定的研究-畢業(yè)論

1、. 畢業(yè)論文題 目隨機(jī)微分方程均方有界解存在性判定的研究學(xué) 院專業(yè)班級學(xué) 號姓 名指導(dǎo)教師二一七年六月九日;中 文 摘 要 隨機(jī)微分方程被廣泛的應(yīng)用在許多領(lǐng)域，如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，自然科學(xué)中，工程技術(shù)中，人口生態(tài)學(xué)中等眾多領(lǐng)域。事實上，使用隨機(jī)微分方程來建?？梢愿鎸?，更準(zhǔn)確的刻畫系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。其中，解的穩(wěn)定性是指解在時間進(jìn)程中具有什么極限狀態(tài)，以及極限狀態(tài)如何依賴于初始值。穩(wěn)定性在系統(tǒng)分析及微分方程的定性理論研究中處于十分重要的地位，一直是人們研究方程的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。因此研究隨機(jī)微分方程解穩(wěn)定性是一項非常有意義的工作。 本文第一章介紹了本文工作的背景以及本文的結(jié)構(gòu)及主要工作；第二章作為準(zhǔn)備知識給出

2、了本文要用到的相關(guān)內(nèi)容，其中包括隨機(jī)微分方程的基本概念和論文中要用到的基本定理；第三章展示了本文的主要結(jié)果，對在隨機(jī)微分方程的系數(shù)滿足全局Lipschitz條件，取值于歐氏空間中某個緊集時，我們可以根據(jù)方程的一個在半實軸上呈現(xiàn)出均方有界性的解推出，方程具有在全空間上均方有界性的解。進(jìn)行了證明，從而證明了是一個有界解；第四章給出了結(jié)論。關(guān)鍵詞 隨機(jī)微分方程 布朗運(yùn)動 隨機(jī)過程 鞅 解的唯一性 有界性ITitle A study on the existence of mean square bounded solution of stochastic differential equations

3、 Abstract Stochastic differential equations are widely used in many fields, such as in economics, in natural science, in engineering, and in many areas of population ecology. In fact, the use of stochastic differential equations to model can be more realistic and more accurate description of the sys

4、tem's operating state. The stability of the solution refers to the limit state of the solution in the time process, and how the limit state depends on the initial value. Stability plays an important role in system analysis and qualitative theory of differential equations. It has been the focus a

5、nd hot spot for people to study equations. Therefore, it is a very meaningful job to study the stability of stochastic differential equations. The first chapter introduces the background of the work and structure of this article and the main work; the second chapter is the related content to give kn

6、owledge will be used in this paper, the basic concept and the basic theorem including stochastic differential equations will be used; The third chapter shows the main results of this paper, the coefficient on the stochastic differential equation to satisfy global Lipschitz conditions, valued in Eucl

7、idean space in a compact set, we can according to the equation in a real half axis shows the mean square boundedness of solution have launched, with equation in the whole space are boundedness of solutions of the party. The proof is proved to be a bounded solution, and the fourth chapter gives the c

8、onclusion. Key words Stochastic differential equation Brown motion stochastic process martingale solution uniqueness boundedness II目錄1 緒論11.1有界解的存在性11.2布朗運(yùn)動21.3 本文結(jié)構(gòu)32 預(yù)備知識42.1 Lyapunov函數(shù)42.2 解的存在唯一性62.3 布朗運(yùn)動與隨機(jī)微分方程72.3.1 代數(shù)72.3.2 可測空間，有限測度，概率測度和概率空間72.3.3 可測映射與隨機(jī)變量82.3.4 隨機(jī)過程，停時102.3.5 隨機(jī)連續(xù)112.3.6

9、布朗運(yùn)動122.3.7 鞅122.3.8 隨機(jī)等價142.3.9 隨機(jī)過程的依分布收斂172.3.10 歐幾里德空間172.3.11 利普希茨連續(xù)條件182.3.12 馬爾科夫過程193 本文的主要結(jié)果213.1 隨機(jī)微分方程的均方有界解214 結(jié)論24參考文獻(xiàn)25致 謝28附錄29IV1 緒論1.1有界解的存在性 最早的常微分方程理論之中并沒有對微分方程解的定性的研究，因為古典微分方程都是可以用數(shù)學(xué)分析的方法求得通解的。但是Liouville于1841年證明了形如： (1.1.1)的Riccati方程，當(dāng) 時，(1.1.1)無法用初等方法求解（證明詳見24)。對于微分方程，方程的解無初等表示

10、其對于應(yīng)用科學(xué)而言幾乎可視為不存在，因而從那個時代開始，微分方程定性研究以及對解的逼近和估計逐漸成為該領(lǐng)域的主要發(fā)展趨勢。對于確定性微分方程 (1.1.2) Picard已經(jīng)證明了著名的Picard存在與唯一性定理，這一定理不僅為使用數(shù)值方法研究微分方程提供了重要理論保證和技巧支撐，甚至最終Poincare及 Birkhoff以常微分方程解對初值的存在唯一性為根基，將解對時間以及初值的某種群性質(zhì)進(jìn)一步抽象化，形成了抽象動力系統(tǒng)理論體系。 除了動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論之外，Birkhoff的另一大成就是對于解的回復(fù)性的。研究發(fā)現(xiàn)解的回復(fù)性已成為動力系統(tǒng)領(lǐng)域最主要的研究方向之一?；貜?fù)性是指，在經(jīng)過充分長

11、的時間后，解（或者動力系統(tǒng)的軌線）會回到初值或初值在某一拓?fù)湟饬x下的“附近”。從物體運(yùn)動的角度描述就是，所論移動物體經(jīng)足夠長的時間會回到包含出發(fā)點(diǎn)的某個有限區(qū)域中。注意到歐氏空間里有界性蘊(yùn)含緊性，因而解或軌線的有界性是其具有回復(fù)性的一個必要條件。 于是研究如何得到微分方程的有界解開始變得有意義。但遺憾的是，至今仍沒有有效的方法在不確定微分方程解的一些其他特別性質(zhì)之前確定有界解的存在，因而在研究有關(guān)回復(fù)性或穩(wěn)定性（通過Lyapunov對穩(wěn)定性的定義我們不難看出，穩(wěn)定性是一種強(qiáng)回復(fù)性）的經(jīng)典文獻(xiàn)中（見Yoshizawa 25262829, Fink 8 以及Levitan 31),人們都在需要有界

12、解時直接假設(shè)其存在。本文中我們考慮了一些十分特殊的隨機(jī)微分方程的均方有界解的存在性。1.2布朗運(yùn)動 人類對布朗運(yùn)動的研究始于1827年，英國植物學(xué)家R. Brown 1發(fā)現(xiàn)散布在液體或氣體中的微粒（確切說是花粉顆粒）的不規(guī)則運(yùn)動。但Brown的 研究僅出于博物學(xué)的目的并基于直觀觀察：Brown通過顯微鏡發(fā)現(xiàn)花粉顆粒在熱作用下的運(yùn)動十分復(fù)雜，他無法描述其一般規(guī)律，同時他并未視之為一般現(xiàn)象，而是作為花粉的某種特性進(jìn)行描述，Brown對這種運(yùn)動狀態(tài)的總結(jié)是：花粉運(yùn)動無規(guī)律，永不停歇，隨花粉顆粒變小和溫度變高而增強(qiáng)。這是與早期百科全書學(xué)派視科學(xué)研究為對客觀事物分類，歸納和觀察記錄的態(tài)度相契合的。而這種

13、最早以理性的，科學(xué)的視角理解布朗運(yùn)動的人是Albert Einstein。Einstein在他的“奇跡年”（1905年6)對布朗運(yùn)動做出了數(shù)學(xué)解釋，并以布朗運(yùn)動的形式提出了隨機(jī)微分方程的概念（詳見7)。由于布朗運(yùn)動顯 然與熱運(yùn)動相關(guān)，而隨后人們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象在微觀粒子中更加普遍，因而人們描述做布朗運(yùn)動的粒子為布朗粒子（Brownian Particle)，于是布朗運(yùn)動吸引了物理學(xué)家的目光，并由對此的研究發(fā)展出了統(tǒng)計物理學(xué)。在Einstein的年代，數(shù)學(xué)界還不存在現(xiàn)代概率論或隨機(jī)過程理論，因而他對布朗運(yùn)動的看法是基于統(tǒng)計物理學(xué)的，因而Einstein的隨機(jī)微分方程從數(shù)學(xué)角度看來仍顯得不夠嚴(yán)格17。

14、 Einstein對布朗運(yùn)動的描述是，時間的存在是依靠事件的發(fā)生的，因而時間開始的標(biāo)志則是物理事件，即熱運(yùn)動或稱熱擴(kuò)散；而宇宙在時間開始 (這被Einstein稱為“以前”）前是“熱寂”的，因而布朗運(yùn)動的密度（分布)(其中代表空間,為時間）可理解為熱擴(kuò)散方程： （1.2.1)在0時刻以零為初值的解。而（1.2.1)中系數(shù)被稱為擴(kuò)散系數(shù)，而其解為 ，這揭示了布朗運(yùn)動與正態(tài)分布間的關(guān)系。1906年，Smoluchowski 21獨(dú)立于Einstein描述了布朗運(yùn)動，并奠定了隨機(jī)過程理論的重要基礎(chǔ)。1908年，Perrin利用實驗驗證了描述布朗運(yùn)動的方程。Langevin 13于1908年繼續(xù)Ein

15、stein的研究思路，針對做布朗運(yùn)動的微觀粒子，用一個描述確定性動力系統(tǒng)的二階微分方程逼近布朗運(yùn)動： ， （1.2.2)描述了布朗運(yùn)動，此即物理學(xué)中著名的Langevin方程，物理學(xué)界一度稱隨機(jī)微分方程為Langevin方程。上式中，代表粒子質(zhì)量；仍為Einstein定義的擴(kuò)散項，與熱運(yùn)動的擴(kuò)散性相關(guān)；而最后的則是一個隨機(jī)過程代表來自其它粒子的擾動。但這些方程并未建立有關(guān)布朗運(yùn)動的一般理論。后來 Wiener 23于1923年對布朗運(yùn)動做出了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義，因而布朗運(yùn)動又稱 Wiener過程。事實上，由于粒子無規(guī)則運(yùn)動具有隨機(jī)性，只要研究的出發(fā)點(diǎn)不同，布朗運(yùn)動就像隨機(jī)微分方程一樣，有著眾多彼此

16、不同的定義，但這些定義的本質(zhì)并無二致。1.3 本文結(jié)構(gòu) 本文主體部分由四章組成.第一章為緒論，系統(tǒng)地介紹了本文的研究背景；第二章介紹了本文中各種符號的定義和我們主要應(yīng)用的預(yù)備知識；第三章中，我們簡單地討論了如何利用一些具有特殊性質(zhì)的Lyapunov函數(shù)來判斷隨機(jī)微分方程是否具有均方有界的解。第四章，給出了結(jié)論。限于水平，文中出現(xiàn)不當(dāng)處敬請各位專家批評指正，萬分感謝！292 預(yù)備知識本章中我們會介紹一下本文涉及的一些預(yù)備知識。2.1 Lyapunov函數(shù) 李亞普諾夫函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù),Lyapunov function）是用來證明一動力系統(tǒng)或自治微分方程穩(wěn)定性的函數(shù)。 其名稱來自俄國數(shù)學(xué)家亞歷

17、山大·李亞普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李亞普諾夫函數(shù)在穩(wěn)定性理論及控制理論中相當(dāng)重要。 若一函數(shù)可能可以證明系統(tǒng)在某平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，此函數(shù)稱為李亞普諾夫候選函數(shù)（Lyapunov-candidate-function）。不過目前還找不到一般性的方式可建構(gòu)（或找到）一個系統(tǒng)的李亞普諾夫候選函數(shù)，而找不到李亞普諾夫函數(shù)也不代表此系統(tǒng)不穩(wěn)定。在動態(tài)系統(tǒng)中，有時會利用守恒律來建構(gòu)李亞普諾夫候選函數(shù)。 針對自治系統(tǒng)的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數(shù)的特性。在尋找一個系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性時，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡

18、點(diǎn)穩(wěn)定性的充份條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數(shù)也需要碰運(yùn)氣，通常會用試誤法（trial and error）來尋找李亞普諾夫函數(shù)。 Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標(biāo),它表示了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對于系統(tǒng)是否存在動力學(xué)混沌, 可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來：一個正的Lyapunov指數(shù),意味著在系統(tǒng)相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無法預(yù)測,這就是混沌現(xiàn)象。Lyapunov指數(shù)的和表征了橢球體積的增長率或減小率,對Hamilton 系統(tǒng),Lyapunov

19、指數(shù)的和為零; 對耗散系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為負(fù)。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個不動點(diǎn),那么所有的Lyapunov指數(shù)通常是負(fù)的。 Lyapunov最早對確定性微分方程做出的穩(wěn)定解定義（詳見1516)時考慮到了解與初值的依存關(guān)系。Lyapunov對這種與初值有關(guān)的穩(wěn)定性給出了一個充分條件，或者說提供了一種判別方法。這種方法的技術(shù)內(nèi)核是，定義一種對高維自變量正定的函數(shù): 定義2.1.1 (Lyapunov函數(shù)）首先假設(shè)存在函數(shù),滿足下列條件:I) 在 上連續(xù)；II) 滿足正定性（Positively definite),即，對任意 并且 .我們通常稱滿足上述性質(zhì)i, ii的函數(shù)為Lyapun

20、ov函數(shù)。由于的連續(xù)性，當(dāng)包含于空間中任一緊集(此 處為緊集)，則顯然在上有界，從而當(dāng)為方程（1.1.2)的一個解，并且諸有界性條件仍然存在時，我們有： ， (2.1.1)上述在部分文獻(xiàn)中2730被記為。若我們將上面定義2.1.1 中條件i改為連續(xù)可微，則顯然在上對的偏導(dǎo)數(shù)（有時稱為右上導(dǎo)數(shù)）存在，且關(guān)系式(2.1.1)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?(2.1.2)上式中第三個等式利用了微分方程解的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的定義,其中是 在時的高階無窮小量；第四個等式則利用了根據(jù)鏈鎖規(guī)則。對此要注意的是，若方程的解是維取值的，即 ，而方程為 ，其中 .則有（2.1.2)的高維形式： . （2.1.3） 2.2 解的存在唯一性我

21、們首先對比一下確定性系統(tǒng)的兩種獲得解存在唯一性的方法：最常見的當(dāng)然是Picard定理： 定理2.2.1若常微分方程(1.1.2)的系數(shù)在閉域：上連續(xù)，并滿足局部Lipschitz條件 ，其中為Lipschitz常數(shù),則在上(1.1.2)存在唯一解滿足初值問題 。事實上，解的存在唯一性與Lyapunov具有一定的關(guān)聯(lián)。我們假設(shè)上一節(jié)中提及的Lyapunov函數(shù)滿足某種Lipschitz性： ，則對連續(xù)可微函數(shù)，有 ， ，于是不難想象，利用Lyapunov函數(shù)同樣可以得到解的存在唯一性： 定理2.2.2 (詳見30)首先，若已知某個函數(shù)）是微分方程(1.1.2)的解，則顯然(1.1.2)經(jīng)過偏移可

22、得： 于是解的唯一性體現(xiàn)在上一方程零解的唯一性。因而直接假設(shè)。則若存在Lyapunov函數(shù)滿足Lipschitz條件，則（1.1.2)的解在上是對初值唯一存在的。2.3 布朗運(yùn)動與隨機(jī)微分方程 通過微分方程（1.2.2)可以看出，直觀地說，隨機(jī)微分方程可理解為一個確定性的常微分方程（或偏微分方程）系數(shù)中添加了含有隨機(jī)過程的系數(shù)構(gòu) 成“擾動”項，最終形成了新的方程。在進(jìn)行關(guān)于隨機(jī)微分方程的討論前，我們有必要介紹一些與概率論及隨機(jī)過程相關(guān)的預(yù)備知識：2.3.1 代數(shù) 在數(shù)學(xué)中，某個集合上的-代數(shù)（algebra）又叫域（-field），是的所有子集的集合（也就是冪集）的一個子集。這個子集滿足對于可

23、數(shù)個集合的并集運(yùn)算和補(bǔ)集運(yùn)算的封閉性（因此對于交集運(yùn)算也是封閉的）。-代數(shù)可以用來嚴(yán)格地定義所謂的“可測集”，是測度論的基礎(chǔ)概念之一。 定義2.3.1 (代數(shù)）若集合的子集構(gòu)成的集合 （即的子集族）滿足條件：a. 對任意，有；b. 包含空集及本身；c. 對一列子集則我們稱為上的一個代數(shù)。2.3.2 可測空間，有限測度，概率測度和概率空間 概率測度(probability measure)概率論、遍歷理論等數(shù)學(xué)分支中常用的一種重要的有限測度。20世紀(jì)完成的勒貝格測度和勒貝格積分理論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論，為概率論公理體系的確立奠定了理論基礎(chǔ).概率測度和概率空間就是在這樣的歷史背景下

24、產(chǎn)生的一種重要測度和測度空間。 定義2.3.2 (可測空間，有限測度，概率測度和概率空間）設(shè)代數(shù),集 函數(shù)滿足條件;對任意,;若一列子集,且其中諸項互不相交，則(這被稱為可列可加性)： 則稱為上的一個有限測度，若忽略條件a,則為上的一個測度, 而為一個可測空間。進(jìn)而，若 則稱為上的一個概率測度，簡稱概率。稱為概率空間，本文中，我們恒以此記號表示概率空間。 注2.3.1不難看出，如果集合在代數(shù)下可測，,則顯然,在下仍然可測，但反之未必。2.3.3 可測映射與隨機(jī)變量1、 可測映射： 可測映射是測度論中的一個數(shù)學(xué)概念，它是從一個可測空間到另一個可測空間的滿足一定條件的變換關(guān)系，與之相關(guān)的概念有可測

25、空間、可測函數(shù)，它主要應(yīng)用于抽象積分的變換方面?？蓽y映射的性質(zhì)性質(zhì)1: 設(shè)和是兩個可測空間，為生成代數(shù)的一集類。若是的映射，使得成立，則為可測映射。性質(zhì)2： 設(shè)為可測空間上的一個數(shù)值函數(shù)，即取之于則下列條件等價：為可測函數(shù)。a. 。b. 。c. 。d. 。性質(zhì)3：上實值（復(fù)值）可測函數(shù)全體構(gòu)成實域（復(fù)域）上的一向量空間。性質(zhì)4：設(shè)，都為上的可測函數(shù)，則有：為可測函數(shù)。a. 若處處有意義，則為可測函數(shù)。b. 若處處有意義，則為可測函數(shù)。2、 隨機(jī)變量： 隨機(jī)變量（random variable）表示隨機(jī)試驗各種結(jié)果的實值單值函數(shù)。例如某一時間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺在一定時間內(nèi)收到的

26、呼叫次數(shù)，燈泡的壽命等等，都是隨機(jī)變量的實例。一個隨機(jī)試驗可能結(jié)果（稱為基本事件）的全體組成一個基本空間。隨機(jī)變量是定義在基本空間上的取值為實數(shù)的函數(shù)，即基本空間中每一個點(diǎn)，也就是每個基本事件都有實軸上的點(diǎn)與之對應(yīng)。 隨機(jī)變量基本類型： 簡單地說，隨機(jī)變量是指隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn)。例如一批注入某種毒物的動物，在一定時間內(nèi)死亡的只數(shù)；某地若干名男性健康成人中，每人血紅蛋白量的測定值；等等。另有一些現(xiàn)象并不直接表現(xiàn)為數(shù)量，例如人口的男女性別、試驗結(jié)果的陽性或陰性等，但我們可以規(guī)定男性為1，女性為0，則非數(shù)量標(biāo)志也可以用數(shù)量來表示。這些例子中所提到的量，盡管它們的具體內(nèi)容是各式各樣的，但從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看

27、，它們表現(xiàn)了同一種情況，這就是每個變量都可以隨機(jī)地取得不同的數(shù)值，而在進(jìn)行試驗或測量之前，我們要預(yù)言這個變量將取得某個確定的數(shù)值是不可能的。 按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：離散型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值為有限個，或數(shù)值可以一一列舉出來。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。連續(xù)型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個，或數(shù)值無法一一列舉出來。例如某地區(qū)男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測定值等。隨機(jī)變量不確定性 隨機(jī)變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種隨機(jī)變量 不同的值，具有不確定性和隨機(jī)

28、性，但這些取值落在某個范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機(jī)變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機(jī)變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定所得到的測定值具有統(tǒng)計規(guī)律性。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。 定義2.3.3 (可測映射與隨機(jī)變量）設(shè)有自可測空間至可測空間的映射,若對映射的相空間中任意可測集，其原相在原相所在的空間的中測度意義下仍然可測，則我們稱之為可測映射。對概率空間，為可測空間。則稱可測映射為一個隨機(jī)變量

29、。 在本文中，我們用來表示一個完備距離空間，即，存在映射 且此映射滿足正則性，即 并且滿足三角不等式： 表示所有使得 的值隨機(jī)變量構(gòu)成的空間，其范數(shù)（模）定義為 事實上，對任意,我們均可以談空間以及模，并且如果把模視為一種度量，在這種度量意義下為Banach空間（這一結(jié)論的詳細(xì)證明可見18第二章） 對于一般概率測度空間，代數(shù)往往對空間分劃得不夠“精細(xì)”，導(dǎo)致在歐氏空間中取值,上定義的隨機(jī)變量或許無法定義于 更“精細(xì)”的空間,在本文中我們始終假設(shè)對每個給定的上的 上的概率分布，均存在足夠豐富的隨機(jī)變量使得有適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量，其分布為我們給定的概率分布，這也是隨機(jī)微分方程解對初值的存在性合理的根源。

30、2.3.4 隨機(jī)過程，停時1、 隨機(jī)過程： 隨機(jī)過程整個學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學(xué)科最早源于對物理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學(xué)的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運(yùn)動的開創(chuàng)性工作。1) 隨機(jī)過程的研究：a. 隨機(jī)過程研究方法 研究隨機(jī)過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時和隨機(jī)微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。實際研究中常常兩種方法并用。另外，組合方法和代數(shù)方法在某些特殊隨機(jī)過程的研究中也有一定作用。b. 隨機(jī)過程研究內(nèi)容 主要內(nèi)容有：多指標(biāo)隨

31、機(jī)過程、無窮質(zhì)點(diǎn)與馬爾可夫過程、概率與位勢及各種特殊過程的專題討論等。中國學(xué)者在平穩(wěn)過程、馬爾科夫過程、鞅論、極限定理、隨機(jī)微分方程等方面做出了較好的工作。數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過程是由實際隨機(jī)過程概念引起的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。人們研究這種過程，是因為它是實際隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型，或者是因為它的內(nèi)在數(shù)學(xué)意義以及它在概率論領(lǐng)域之外的應(yīng)用。2) 特殊隨機(jī)過程 對過程的概率結(jié)構(gòu)作各種假設(shè)，便得到各類特殊的隨機(jī)過程。除上述正態(tài)過程、二階過程外，重要的還有獨(dú)立增量過程、馬爾可夫過程、平穩(wěn)過程、鞅點(diǎn)過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程，布朗運(yùn)動和泊松過程，它們的結(jié)構(gòu)比較簡單，便于研究而應(yīng)用又很廣泛。從

32、它們出發(fā),可以構(gòu)造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質(zhì)不同，前者連續(xù)而后者則是上升的階梯函數(shù)。2、 停時 停時(stopping time)：一類隨機(jī)時刻.指具有某種與將來無關(guān)性質(zhì)的隨機(jī)時刻。停時又稱可選時或馬爾可夫時或與將來無關(guān)的隨機(jī)變量。 定義2.3.4 (隨機(jī)過程，停時）設(shè)為非空指標(biāo)集，為概率空間，一族子代數(shù)單調(diào)遞增，即對任意通常我們稱此為濾子（Filter)。對值隨機(jī)變量族,如果對任意 是可測的，我們就稱其為循序可測的, 或稱適定的隨機(jī)過程。對以及任意，若隨機(jī)變量 可以使集合是可測的，則稱為上的一個停時。 在對常微分方程的解的研究過程中，我們經(jīng)常要衡量不同的有界解在某個區(qū)間或緊開拓?fù)渖?/p>

33、的收斂性，此時會定義解的無窮模，即解在所論“時間” 范圍內(nèi)的上確界。對隨機(jī)過程我們可以類似地定義的無窮 模為 在此處可以看出隨機(jī)動力系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)研究方法上的最大差異在于估計：對隨機(jī)過程我們只能談其某一階矩或在概率及分布意義下討論收斂，有界等性質(zhì)，因而有關(guān)隨機(jī)過程的連續(xù)性也是在測度意義下提出的：2.3.5 隨機(jī)連續(xù) 定義2.3.5 (隨機(jī)連續(xù)）設(shè)集合為連續(xù)集合,一個隨機(jī)過程稱為在上隨機(jī)連續(xù)的，若對任意,有 從以上定義可見，對集合，若考慮由取值于歐氏空間的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間，以及上述空間，則由于諸均為的子集，故連續(xù)過程也可以理解為定義于概率測度空間取值于或 Banach空間的隨機(jī)變量。事實上，

34、空間仍然是一個完備度量空間，因而可以將連續(xù)隨機(jī)過程視為一個取值于某種可分完備度量空間的隨機(jī)變量，并以研究隨機(jī)變量的方法研究隨機(jī)微分方程的解（詳見9 和10)。2.3.6 布朗運(yùn)動 布朗運(yùn)動（Brownian movement） 微小粒子表現(xiàn)出的無規(guī)則運(yùn)動。1827年英國植物學(xué)家R.布朗在花粉顆粒的水溶液中觀察到花粉不停頓的無規(guī)則運(yùn)動。進(jìn)一步實驗證實，不僅花粉顆粒，其他懸浮在流體中的微粒也表現(xiàn)出這種無規(guī)則運(yùn)動，如懸浮在空氣中的塵埃。后人就把這種微粒的運(yùn)動稱之為布朗運(yùn)動。1877年J.德耳索首先指出布朗動是由于顆粒受到液體分子碰撞的不平衡力作用而引起的。隨后，1904年法國科學(xué)家H.潘卡雷進(jìn)一步解

35、釋，大物體（如線度為0.1毫米）將從各個方面受到運(yùn)動原子的沖擊，打擊非常頻繁，概率定律使之互相補(bǔ)償，故它們不移動。微小的粒子受到的打擊太少，以至無法補(bǔ)償。這就是說，布朗運(yùn)動是液體分子處于不停頓無規(guī)則熱運(yùn)動的宏觀表現(xiàn)。1905-1906年A.愛因斯坦和M.von斯莫盧霍夫斯基分別發(fā)表了理論上分析布朗運(yùn)動的文章。1908年皮蘭用實驗驗證了愛因斯坦的理論，從而使分子動理論的物理圖像為人們廣泛接受。 定義2.3.6 (布朗運(yùn)動）我們稱一個實值隨機(jī)過程 為布朗運(yùn)動，若它滿足：(幾乎必然成立)對任意， 服從均值為0,方差為的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；具有獨(dú)立平穩(wěn)增量，即對任意的，隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布?，F(xiàn)已知連續(xù)時間

36、布朗運(yùn)動是一個鞅（原因詳見1223):2.3.7 鞅 上個世紀(jì)七十年代以來鞅論的研究日漸活躍起來，其在理論和應(yīng)用上的重要性也日益突出。鞅論的思想方法不僅為許多重要結(jié)論提供簡捷的證明而且導(dǎo)致了許多新的問題的發(fā)現(xiàn)和解決。 鞅論是由杜布提出的一門數(shù)學(xué)理論。杜布是美國數(shù)學(xué)家。1910年10月27日生于辛辛那提。2004年6月7日卒于伊利諾伊。杜布畢業(yè)于哈佛大學(xué)，1932年獲博士學(xué)位·他是美國國家科學(xué)院和美國科學(xué)藝術(shù)研究院院士，伊利諾伊大學(xué)教授。杜布的主要貢獻(xiàn)是概率論.他深入研究了隨機(jī)過程理論，得出了任意的隨機(jī)過程都具有可分修正，建立了隨機(jī)函數(shù)理論的公理結(jié)構(gòu)。他是鞅論的奠基人，雖然萊維等人早在

37、1935年發(fā)表了一些孕育著鞅論的工作，1939年維爾引進(jìn)“鞅”(martingale)這個名稱，但對鞅進(jìn)行系統(tǒng)研究并使之成為隨機(jī)過程論的一個重要分支的，則應(yīng)歸功于杜布。 他還引進(jìn)了半鞅的概念。在鞅論中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布邁耶上鞅分解定理等.鞅論使隨機(jī)過程的研究進(jìn)一步抽象化，不僅豐富了概率論的內(nèi)容，而且為其它數(shù)學(xué)分支如調(diào)和分析、復(fù)變函數(shù)、位勢理論等提供了有力的工具.他對代數(shù)函數(shù)中的聚值集的理論也作出了貢獻(xiàn)。他還對霍普夫的個體遍歷定理的特殊情形給出了證明。在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的還有：杜布定理、杜布不等式、杜布收斂性等等。 定義2.3.7(鞅)對任意,我們稱一個循序可測的連續(xù)

38、隨機(jī)過程為上的鞅(或上鞅)，如果對任意,對概率幾乎必然地有： 微分方程的求解與隨機(jī)積分的定義有密切聯(lián)系。在1942年11對隨機(jī)積分做出了定義： 由于隨機(jī)變量顯然不滿足我們在數(shù)學(xué)分析中對可微函數(shù)的定義，因而隨機(jī)微分只能以積分的逆運(yùn)算的形式定義。顯然上述積分定義均取用了諸分劃的左端點(diǎn)，不難看出，如此定義的隨機(jī)積分也是一個鞅12,而這保證了一些關(guān)乎收斂的性質(zhì)（詳見4第九章)，而收斂從某種意義上說意味著穩(wěn)定。因而在本文中我們研究的是型隨機(jī)微分方程，其一般形式為（關(guān)于一般形式的型隨機(jī)微分方程的具體說明可見于9及12): （2.3.1） 其中是值的，是值的矩陣函數(shù)。此外，作為方程系數(shù)的 和也可以具有隨機(jī)性

39、，此即上面表達(dá)式中的含義：定義于某概率空間上的隨機(jī)變量作為參變量加入系數(shù)中。在本文中我們考慮的微分方程并不復(fù)雜，因而如不特殊說明，我們默認(rèn)方程系數(shù)本身不具有隨機(jī)性，且為連續(xù)函數(shù)，即我們考慮的是方程 （2.3.2）而此處的隨機(jī)擾動為布朗運(yùn)動。 于是隨機(jī)微分方程（2.3.2)在區(qū)間上的解即隨機(jī)積分滿足對應(yīng)積分方程 的隨機(jī)過程。 通常，若隨機(jī)過程定義于濾子空間上并且是連續(xù)的，我們固定某個，則（幾乎必然地）得到了一個連續(xù)函數(shù)，此即隨機(jī)過程的“軌道” 或“路徑”（Path)。于是對于隨機(jī)微分方程的解的對初值是否唯一這個問題，與確定性對應(yīng)問題出現(xiàn)了本質(zhì)上的不同：我們完全可以找到兩個在同一歐氏空間中取值，但

40、彼此獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，即，令： 為彼此不同的隨機(jī)變量，但完全可以有:對任意, 因而我們有必要介紹一下隨機(jī)等價的概念：2.3.8 隨機(jī)等價 隨機(jī)過程等價(equivalence of stochastic pro-cesses)是隨機(jī)過程理論的基本概念之一。 定義2.3.8 (隨機(jī)等價)設(shè)兩個隨機(jī)過程均取值于，若： 則稱它們?yōu)殡S機(jī)等價（或無法區(qū)分）的。 注2.3.2如果把隨機(jī)過程的諸時刻視為變量，則這些隨機(jī)變量間的視為未必蘊(yùn)含隨機(jī)過程的彼此等價，因為對所有, ，并不代表對而若令代表那些使上式不成立的的集合，則無法保證為零測集。 同時，對于適定于某個濾子的隨機(jī)過程,必存在隨機(jī)過程與之隨機(jī)等價。

41、如果我們把連續(xù)隨機(jī)過程視為某種“系統(tǒng)”，則這一事實與微分方程解的存在性有許多相似處，類似結(jié)論還有： 定理2.3.1 (Skorohod表現(xiàn)定理，見5定理11.7.1)若可分度量空間上的一列概率測度依弱拓?fù)涫諗恐粮怕蕼y度,則存在某個概率空間上的值隨機(jī)變量列及隨機(jī)變量,分別以,為分布，使得。 在這里我們必須提到隨機(jī)微分方程解對初值的存在唯一性定理。在確定性系統(tǒng)當(dāng)中，如果給定一個有限鄰域為時間的取值范圍，解定義在某個緊集上是比較自然的，因為連續(xù)函數(shù)在自變量有界時具有有界性；但隨機(jī)變量的取值往往不存在有界性，當(dāng)然也談不上緊性，于是我們對于隨機(jī)微分方程 (2.3.1)的系數(shù)提出條件： 設(shè)為值連續(xù)函數(shù)，值

42、連續(xù)矩陣函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)維布朗運(yùn)動。設(shè)滿足全局Lipschitz和全局線性增長性，并共用 Lpschitz常數(shù)和線性增長常數(shù)。即存在獨(dú)立于的常數(shù),使得對任意任意, (a) (b)于是我們有如下結(jié)果： 定理2.3.2 (詳見9)若隨機(jī)微分方程（2.3.2）的系數(shù)滿足條件,則對任意初值,及任意初始時刻，方程（2.3.2）存在唯一的解滿足初值條件： .需要注意的是，上述的唯一性不考慮我們上文介紹的隨機(jī)等價意義下的不同解。 由于隨機(jī)微分方程的解必然是一個隨機(jī)過程，因而對于解的研究大多集中在對解的估計上，我們希望能夠像數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)或變量一樣，用某種度量來衡量隨機(jī)微分方程的解，為此提供了一個定理作為工具

43、： 定理2.3.3 (等距）設(shè)是實值布朗運(yùn)動，為一 個隨機(jī)過程，則 注意到，對常微分方程而言，解都是可微的，但是隨機(jī)變量的隨機(jī)微分是在積分的逆運(yùn)算基礎(chǔ)上定義出來的，而它的運(yùn)算法則是否與常規(guī)的微分相同? 對此，給出了以下結(jié)論： 定理2.3.4 (公式(或鏈鎖規(guī)則)設(shè)隨機(jī)過程 滿足方程 其中為向量,為矩陣函數(shù)，則對函數(shù) （2.3.3）此處是對的Hessian矩陣，即相當(dāng)于對向量值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): 函數(shù)表示矩陣的際數(shù)，對于式（2.3.3)則為: 基于的運(yùn)算法則，Bertram及合作者2提出了對于隨機(jī)微分方程的 Lyapunov 函數(shù)： 設(shè)函數(shù)對是的（即對是2次連續(xù)可微的，其余類推），對是的，并且自身

44、及其諸一階偏導(dǎo)數(shù)(此處),二階偏導(dǎo)數(shù)（此處),三階偏導(dǎo)數(shù)（此處），均對任意緊集，在上有界，且滿足： 對所有,且對所有 (2.3.4)同時我們定義： 本文中我們在討論解之間的關(guān)系時還會涉及以下概念：2.3.9 隨機(jī)過程的依分布收斂 定義2.3.9 (隨機(jī)過程的依分布收斂)設(shè)完備度量空間取值于的隨機(jī)變量序列及隨機(jī)變量的在上的分布分別是和,如果對所有連續(xù)有界函數(shù), ，則我們稱依分布收斂至,稱依弱拓?fù)涫諗浚ɑ蛉跏諗浚┲痢?.3.10 歐幾里德空間 歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡稱為歐氏空間(也可以稱為平直空間)，在數(shù)學(xué)中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里

45、德對于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度，轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標(biāo)系。這是有限維、實和內(nèi)積空間的“標(biāo)準(zhǔn)”例子。 歐氏空間是一個特別的度量空間，它使得我們能夠?qū)ζ涞耐負(fù)湫再|(zhì)，例如緊性加以調(diào)查。內(nèi)積空間是對歐氏空間的一般化。內(nèi)積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。歐氏空間是一個特別的度量空間，它使得我們能夠?qū)ζ涞耐負(fù)湫再|(zhì)，在包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發(fā)揮了作用。在公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得建立了角和空間中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空

46、間的抽象數(shù)學(xué)空間中。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴(kuò)展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做維歐幾里得空間（甚至簡稱維空間）或有限維實內(nèi)積空間。 這些數(shù)學(xué)空間還可被擴(kuò)展到任意維的情形，稱為實內(nèi)積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數(shù)教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須嚴(yán)密地表達(dá)并被擴(kuò)展到任意維度。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。還另存在其他種類的空間，例如球面則非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現(xiàn)的時候也不是歐幾里得空間。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定聯(lián)系的點(diǎn)所成的集合。

47、其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點(diǎn)都以相同方向移動相同距離。其二是關(guān)于在這個平面中固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應(yīng)被認(rèn)為是等價的（全等）。歐幾里得空間的最后問題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上仿射空間。直覺上，區(qū)別在于對于原點(diǎn)應(yīng)當(dāng)位于這個空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因為它可以到處移動。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發(fā)揮了作用。一個定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動機(jī)是為了定義空

48、間中圍繞點(diǎn)的開球。這一基本的概念正當(dāng)化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導(dǎo)入機(jī)動性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。歐幾里德空間是無窮大的。定義2.3.10（歐幾里德空間） 設(shè)是實數(shù)域上的線性空間（或稱為向量空間），若上定義著正定對稱雙線性型（稱為內(nèi)積），則稱為（對于的）內(nèi)積空間或歐幾里德空間（有時僅當(dāng)是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。具體來說，是上的二元實值函數(shù)，滿足如下關(guān)系：a. ;b. ;c. ;d. ,而且當(dāng)且僅當(dāng)時成立。這里,是中任意向量，是任意實數(shù)。2.3.11 利普希茨連續(xù)條件 利普希茨連續(xù)條件（Lipschitz continuity）是以德國

49、數(shù)學(xué)家魯?shù)婪?#183;利普希茨命名，是一個比一致連續(xù)更強(qiáng)的光滑性條件。直觀上，利普希茨連續(xù)函數(shù)限制了函數(shù)改變的速度，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于利普希茨常數(shù)。 在微分方程理論中，利普希茨條件是初值條件下解的存在唯一性定理中的一個核心條件。 一些特殊的利普希茨函數(shù)，例如壓縮映射，被應(yīng)用在巴拿赫不動點(diǎn)定理中。 定義2.3.11 利普希茨連續(xù)條件 若存在常數(shù)，使得對定義域的任意兩個不同的實數(shù)均有： 成立，則稱在上滿足利普希茨條件，稱為利普希茨常數(shù)，顯然地，若滿足利普希茨條件，則一致連續(xù)。2.3.12 馬爾科夫過程 馬爾可夫過程（Markov process）是一類隨機(jī)過程。它的原始模型馬爾

50、可夫鏈，由俄國數(shù)學(xué)家A.A.馬爾可夫于1907年提出。1951年前后，伊藤清建立的隨機(jī)微分方程的理論，為馬爾可夫過程的研究開辟了新的道路。1954年前后，W.費(fèi)勒將半群方法引入馬爾可夫過程的研究。流形上的馬爾可夫過程、馬爾可夫向量場等都是正待深入研究的領(lǐng)域。它的原始模型馬爾可夫鏈，由俄國數(shù)學(xué)家.馬爾可夫于1907年提出。人們在實際中常遇到具有下述特性的隨機(jī)過程：在已知它所處的狀態(tài)的條件下，它未來的演變不依賴于它以往的演變。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨(dú)立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程叫做馬爾可夫過程。荷花池中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過程的一個形象化的例子。青蛙依照

51、它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的，當(dāng)所處的位置已知時，它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關(guān)。如果將荷葉編號并用分別表示青蛙最初處的荷葉號碼及第一次、第二次、跳躍后所處的荷葉號碼，那么 就是馬爾可夫過程。液體中微粒所作的布朗運(yùn)動，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在電子層中的跳躍，人口增長過程等等都可視為馬爾可夫過程。還有些過程（例如某些遺傳過程）在一定條件下可以用馬爾可夫過程來近似。 關(guān)于馬爾可夫過程的理論研究，1931年.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了概率論的解析方法，首先將微分方程等分析方法用于這類過程，奠定了它的理論基礎(chǔ)。1951年前后，伊藤清在P.萊維和C.H.伯恩斯坦等人工作的基礎(chǔ)上，建立了隨機(jī)微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒將泛函分析中的半群方法引入馬爾可夫過程的研究中，鄧肯等并賦予它概率意義（如特征算子等）。50年代初，角谷靜夫和J.L.杜布等發(fā)現(xiàn)了布朗運(yùn)動與偏微分方程論中狄利克雷問題的關(guān)系，后來G.A.亨特研究了相當(dāng)一般的馬爾可夫過程（亨特過程）與位勢的關(guān)系。流形上的馬爾可夫過程、馬爾可夫場等都是正待深入研究的領(lǐng)域。 在馬爾可夫性的定義中，"