2022年成人高考數(shù)學(xué)公式大全

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系uxaxc a,uxc axa. 2.德摩根公式();()uuuuuucabc ac b cabc ac b. 3.包含關(guān)系abaabbuuabc bc auac buc abr4.容斥原理()()card abcardacardbcard ab()()card abccardacardbcardccard ab()()()()card abcard bccard cacardabc. 5集合12,na aa的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n 1 個(gè)；非空子集有2n 1 個(gè)；非空的真子集有2n 2 個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

2、(1)一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2)頂點(diǎn)式2( )()(0)f xa xhk a; (3)零點(diǎn)式12( )()()(0)f xa xxxxa. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載7.解連不等式( )nf xm常有以下轉(zhuǎn)化形式( )nf xm( )( )0f xmf xn|( )|22mnmnf x( )0( )f xnmf x11( )f xnmn. 8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一個(gè)實(shí)根 ,與0)()(21kfkf不等價(jià) ,前者

3、是 后 者 的 一 個(gè) 必 要 而 不 是 充 分 條 件 . 特 別 地 , 方 程)0(02acbxax有且只有一個(gè)實(shí)根在),(21kk內(nèi),等價(jià)于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二 次 函 數(shù))0()(2acbxaxxf在 閉 區(qū) 間qp,上的 最 值 只 能 在abx2處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng) a0 時(shí)，若qpabx,2，則minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xfpf qa；qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，m

4、inmin( )( ),( )f xf pf q. (2)當(dāng) a0) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）)()(axfxf，則)(xf的周期 t=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f x af x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xaf x,則)(xf的周期 t=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，則)(xf的周期 t=3a；(4)()(1)()()(212

5、121xfxfxfxfxxf且1212( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，則)(xf的周期t=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa,則)(xf的周期 t=5a；(6)()()(axfxfaxf，則)(xf的周期 t=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)1mnnmaa（0,am nn，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nn，且1n）. 31根式的性質(zhì)（1）()nnaa. （2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nnaa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,0|,0nn

6、a aaaa a. 32有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) (0, ,)rsrsaaaar sq. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) ()(0, ,)rsrsaaar sq. (3)()(0,0,)rrraba babrq. 注： 若 a0，p 是一個(gè)無理數(shù)， 則 ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logbanban (0,1,0)aan.34.對數(shù)的換底公式logloglogmamnna(0a,

7、且1a,0m,且1m,0n). 推論loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0n). 35對數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a0，a 1，m0，n0，則(1)log ()loglogaaamnmn; (2) logloglogaaammnn; (3)loglog()naamnm nr. 36.設(shè)函數(shù))0)(log)(2acbxaxxfm,記acb42.若)(xf的定義域?yàn)閞,則0a，且0;若)(xf的值域?yàn)閞,則0a，且0.對于0a的情形 ,需要單獨(dú)檢驗(yàn) . 37. 對數(shù)換底不等式及其推廣若0a,0b,0 x,1xa,則函數(shù)log()axybx(1)當(dāng)ab時(shí),在1(0,)a和1

8、(,)a上log()axybx為增函數(shù) . ，(2)當(dāng)ab時(shí),在1(0,)a和1(,)a上log()axybx為減函數(shù) . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載推論:設(shè)1nm，0p，0a，且1a，則（1）log()logmpmnpn. （2）2logloglog2aaamnmn. 38. 平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n，平均增長率為p，則對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有(1)xynp. 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)的和的關(guān)系11,1,2nnnsnassn( 數(shù)列n

9、a的前 n 項(xiàng)的和為12nnsaaa). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式*11(1)()naanddnad nn；其前 n 項(xiàng)和公式為1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 項(xiàng)的和公式為11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載42.等比差數(shù)列na:11,(0)nnaqad ab q的通

10、項(xiàng)公式為1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 項(xiàng)和公式為(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq. 43.分期付款 (按揭貸款 ) 每次還款(1)(1)1nnabbxb元(貸款a元,n次還清 ,每期利率為b). 44常見三角不等式（1）若(0,)2x，則sintanxxx. (2) 若(0,)2x，則1sincos2xx. (3) |sin| cos| 1xx. 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式212( 1) sin,sin()2( 1)s

11、,nnnco212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco47.和角與差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; (n 為偶數(shù) ) (n 為奇數(shù) ) (n 為偶數(shù) ) (n 為奇數(shù) ) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin(平方正弦公式 ); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab(輔助角所在象限由點(diǎn)(

12、 , )a b的象限決定,tanba). 48.二倍角公式sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan. 49. 三倍角公式3sin33sin4sin4sinsin()sin()33. 3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()13tan33. 50.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)sin()yx，x r 及函數(shù)cos()yx，x r(a, 為常數(shù)，且a 0，0)的周期2t；函數(shù)tan()yx，,2xkkz(a, 為常數(shù)，且 a 0，0)的周期t. 51.正弦定理2sinsin

13、sinabcrabc. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載52.余弦定理2222cosabcbca; 2222cosbcacab; 2222coscababc. 53.面積定理（1）111222abcsahbhch（abchhh、分別表示 a、b、c 邊上的高） . （2）111sinsinsin222sabcbcacab. (3)221(| |)()2oabsoaoboa ob. 54.三角形內(nèi)角和定理在 abc 中，有()abccab222cab222()ca

14、b. 55. 簡單的三角方程的通解sin( 1) arcsin(,| 1)kxaxka kza. s2arccos (,| 1)coxaxka kza. tanarctan (,)xaxka kz ar. 特別地 ,有sinsin( 1)()kkkz. scos2()cokkz. tantan()kkz. 56.最簡單的三角不等式及其解集sin(| 1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakz. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載sin(| 1)(

15、2arcsin,2arcsin),xaaxkakakz. cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xaaxkakakz. cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xaaxkaka kz. tan()(arctan ,),2xa arxka kkz. tan()(,arctan ),2xa arxkka kz. 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：( a)=()a; (2)第一分配律： ( + )a= a+ a; (3)第二分配律：(a+b)= a+ b. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) a b= ba（交換律） ; (2)（a） b

16、= （a b）=a b= a（ b）; (3)（a+b） c= a c +b c. 59.平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使得 a=1e1+2e2不共線的向量 e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底60向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a=11(,)xy,b=22(,)xy，且 b 0，則 a b(b 0)12210 x yx y. 53. a與 b 的數(shù)量積 (或內(nèi)積 ) a b=|a|b|cos 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 47 頁

17、 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載61. a b 的幾何意義數(shù)量積 a b 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos的乘積62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè) a=11(,)xy,b=22(,)xy，則 a+b=1212(,)xxyy. (2)設(shè) a=11(,)xy,b=22(,)xy，則 a-b=1212(,)xxyy. (3)設(shè) a11(,)xy，b22(,)xy,則2121(,)aboboaxxyy. (4)設(shè) a=( , ),x yr，則 a=(,)xy. (5)設(shè) a=11(,)xy,b=22(,)xy，則 a b=1212()x xy y.

18、 63.兩向量的夾角公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式,a bd=|abab ab222121()()xxyy(a11(,)xy，b22(,)xy). 65.向量的平行與垂直設(shè) a=11(,)xy,b=22(,)xy，且 b 0，則a|bb= a 12210 x yx y. a b(a 0)a b=012120 x xy y. 66.線段的定比分公式設(shè)111(,)p xy，222(,)pxy，( , )p x y是線段12pp的分點(diǎn) , 是實(shí)數(shù)，且12pppp，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

19、- - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載121211xxxyyy121opopop12(1)optopt op（11t）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 abc 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為11a(x ,y )、22b(x ,y)、33c(x ,y),則 abc 的重心的坐標(biāo)是123123(,)33xxxyyyg. 68.點(diǎn)的平移公式xxhxxhyykyykopoppp . 注:圖形 f 上的任意一點(diǎn)p(x，y)在平移后圖形f上的對應(yīng)點(diǎn)為(,)p x y，且pp的坐標(biāo)為( , )h k. 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

20、（1）點(diǎn)( , )p x y按向量 a=( ,)h k平移后得到點(diǎn)(,)pxh yk. (2) 函數(shù)( )yfx的圖象c按向量a=( , )h k平移后得到圖象c,則c的函數(shù)解析式為()yf xhk. (3) 圖象c按向量a=( , )h k平移后得到圖象c,若c的解析式( )yfx,則c的函數(shù)解析式為()yf xhk. (4)曲線c:( , )0f x y按向量 a=( , )h k平移后得到圖象c,則c的方程為(,)0f xh yk. (5) 向量 m=( ,)x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然為m=( , )x y. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)o為ab

21、c所在平面上一點(diǎn)，角,a b c所對邊長分別為, ,a b c，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）o為abc的外心222oaoboc. （2）o為abc的重心0oaoboc. （3）o為abc的垂心oa obob ococ oa. （4）o為abc的內(nèi)心0aoabobcoc. （5）o為abc的a的旁心aoabobcoc. 71.常用不等式：（1）,a br222abab(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ =”號(hào) )（2）,a br2abab(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“

22、 =”號(hào) )（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dr（5）bababa. 72.極值定理已知yx,都是正數(shù)，則有（1）若積xy是定值p，則當(dāng)yx時(shí)和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，則當(dāng)yx時(shí)積xy有最大值241s. 推廣 已知ryx,，則有xyyxyx2)()(22（1）若積xy是定值 ,則當(dāng)|yx最大時(shí) ,|yx最大；當(dāng)|yx最小時(shí) ,|yx最小. （2）若和|yx是定值 ,則當(dāng)|yx最大時(shí) , | xy最??；當(dāng)|yx最小時(shí) , | xy最大. 73. 一 元二 次不 等式20(0)a

23、xbxc或2(0,40)abac，如 果a與精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2axbxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與2axbxc異號(hào)，則其解集在兩根之間 .簡言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 74.含有絕對值的不等式當(dāng) a 0 時(shí)，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 75.無理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg

24、 xg xf xg x . （2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. （3）2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x. 76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)1a時(shí), ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2)當(dāng)01a時(shí), ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

25、18 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載( )0log( )log( )( )0( )( )aafxf xg xg xfxg x77.斜率公式2121yykxx（111(,)p xy、222(,)p xy）. 78.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式11()yyk xx(直線l過點(diǎn)111(,)p xy，且斜率為k)（2）斜截式y(tǒng)kxb(b 為直線l在 y 軸上的截距 ). （3）兩點(diǎn)式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)p xy、222(,)p xy(12xx). (4)截距式1xyab(ab、分別為直線的橫、縱截距，0ab、) （5）一般式0axb

26、yc(其中 a、b 不同時(shí)為 0). 79.兩條直線的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb ; 12121llk k. (2)若1111:0la xb yc,2222:0la xbyc,且 a1、a2、b1、b2都不為零 , 11112222|abcllabc；1212120lla ab b；80.夾角公式(1)2121tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) (2)12211212tan|a ba ba ab b. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

27、 - 第 19 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1111:0la xb yc,2222:0la xb yc,12120a ab b). 直線12ll時(shí)，直線l1與l2的夾角是2. 81. 1l到2l的角公式(1)2121tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) (2)12211212tana ba ba ab b. (1111:0la xb yc,2222:0la xb yc,12120a ab b). 直線12ll時(shí)，直線l1到l2的角是2. 82四種常用直線系方程(1) 定 點(diǎn) 直 線 系 方 程 ： 經(jīng) 過

28、定 點(diǎn)000(,)p xy的 直 線 系 方 程 為00()yyk xx(除直線0 xx),其中k是待定的系數(shù) ; 經(jīng)過定點(diǎn)000(,)p xy的直線系方程為00()()0a xxb yy,其中,a b是待定的系數(shù)(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線1111:0la xb yc,2222:0la xb yc的交點(diǎn)的直線系方程為111222()()0a xb yca xb yc(除2l)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程： 直線ykxb中當(dāng)斜率 k 一定而 b 變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程與直線0axbyc平行的直線系方程是0axby(0)，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線0axbyc(a 0

29、，b 0)垂直的直線系方程是0bxay,是參變量83.點(diǎn)到直線的距離精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載0022|axbycdab(點(diǎn)00(,)p xy,直線l：0axbyc). 84. 0axbyc或0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線:0laxbyc，則0axbyc或0所表示的平面區(qū)域是：若0b，當(dāng)b與axbyc同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)b與axbyc異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域 .簡言之 ,同號(hào)在上 ,異號(hào)在下. 若0b，當(dāng)a與axbyc同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方

30、的區(qū)域；當(dāng)a與axbyc異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域 . 簡言之 ,同號(hào)在右 ,異號(hào)在左 . 85. 111222()()0a xb yca xb yc或0所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線111222:()()0ca xb yca xb yc（12120a a b b） ，則111222()()0a xb yca xb yc或0所表示的平面區(qū)域是：111222()()0a xb yca xb yc所表示的平面區(qū)域上下兩部分；111222()()0a xb yca xb yc所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222()()xaybr. （2）圓的一般方程220 xydx

31、eyf(224def0). （3）圓的參數(shù)方程cossinxarybr. （4）圓的直徑式方程1212()()()()0 xxxxyyyy(圓的直徑的端點(diǎn)是11(,)a x y、22(,)b xy). 87. 圓系方程精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)過點(diǎn)11(,)a xy,22(,)b xy的圓系方程是1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc,其中0a

32、xbyc是直線ab的方程,是待定的系數(shù)(2)過直線l:0axbyc與圓c:220 xydxeyf的交點(diǎn)的圓系方程是22()0 xydxeyfaxbyc,是待定的系數(shù)(3) 過圓1c:221110 xyd xe yf與圓2c:222220 xyd xe yf的交點(diǎn)的圓系方程 是2222111222()0 xyd xe yfxyd xe yf, 是待 定的系數(shù)88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)00(,)p xy與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種若2200()()daxby，則dr點(diǎn)p在圓外 ;dr點(diǎn)p在圓上 ;dr點(diǎn)p在圓內(nèi). 89.直線與圓的位置關(guān)系直線0cbyax與圓222)()(rbyax的

33、位置關(guān)系有三種 : 0相離rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22bacbbaad. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為 r1，r2，doo21條公切線外離421rrd; 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載條公切線外切321rrd; 條公切線相交22121rrdrr; 條公切線內(nèi)切121rrd; 無公切線內(nèi)含210rrd. 91.圓的切線方程(1)已知圓220 xydxeyf若已知切點(diǎn)00(,)xy在圓上，則切線只有一條，其方程

34、是0000()()022d xxe yyx xy yf. 當(dāng)00(,)xy圓外時(shí) , 0000()()022d xxe yyx xy yf表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為00()yyk xx， 再利用相切條件求 k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y 軸的切線斜率為 k 的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓222xyr過圓上的000(,)p xy點(diǎn)的切線方程為200 x xy yr; 斜率為k的圓的切線方程為21ykxrk. 92.橢圓22221(0)xyabab的參數(shù)方程是cossinxayb. 93.橢圓22221(0)xyabab

35、焦半徑公式)(21caxepf，)(22xcaepf. 94橢圓的的內(nèi)外部精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的內(nèi)部2200221xyab. （2）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 95. 橢圓的切線方程(1)橢圓22221(0)xyabab上一點(diǎn)00(,)p xy處的切線方程是00221x xy yab. （2）過橢圓22221(0)xyabab外一點(diǎn)0

36、0(,)p xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是00221x xy yab. （ 3 ） 橢 圓22221(0)xyabab與 直 線0axbyc相 切 的 條 件 是22222a ab bc. 96.雙曲線22221(0,0)xyabab的焦半徑公式21| ()|apfe xc，22| () |apfexc. 97.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)00(,)p xy在雙曲線22221(0,0)xyabab的內(nèi)部2200221xyab. (2)點(diǎn)00(,)p xy在雙曲線22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為12222byax漸

37、近線方程：22220 xyabxaby. (2)若漸近線方程為xaby0byax雙曲線可設(shè)為2222byax. (3)若雙曲線與12222byax有公共漸近線，可設(shè)為2222byax（0，焦點(diǎn)在 x 軸上，0，焦點(diǎn)在 y 軸上） . 99. 雙曲線的切線方程精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)雙曲線22221(0,0)xyabab上一點(diǎn)00(,)p xy處的切線方程是00221x xy yab. （2）過雙曲線22221(0,0)xyabab外一點(diǎn)00(,)p

38、 xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是00221x xy yab. （3）雙曲線22221(0,0)xyabab與直線0axbyc相切的條件是22222a ab bc. 100. 拋物線pxy22的焦半徑公式拋物線22(0)ypx p焦半徑02pcfx. 過焦點(diǎn)弦長pxxpxpxcd212122. 101.拋物線pxy22上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為p),2(2ypy或或)2,2(2ptptpp(,)xy，其中22ypx. 102.二次函數(shù)2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為24(,)24bacbaa； （2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為241(,)24bacbaa； （3）準(zhǔn)線

39、方程是2414acbya. 103.拋物線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)ypx p的內(nèi)部22(0)ypx p. 點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2)點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)ypx p的內(nèi)部22(0)ypx p. 點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3)點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)xpy p的內(nèi)部22(0)xpy p. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 47 頁 - - - - - - -

40、 - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)xpy p的內(nèi)部22(0)xpy p. 點(diǎn)00(,)p xy在拋物線22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 104. 拋物線的切線方程(1)拋物線pxy22上一點(diǎn)00(,)p xy處的切線方程是00()y yp xx. （2）過拋物線pxy22外一點(diǎn)00(,)p xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是00()y yp xx. （ 3） 拋 物 線22(0)ypx p與 直 線0axbyc相 切 的 條 件 是22pbac. 105.兩個(gè)常見的曲線

41、系方程(1)過曲線1( , )0fx y,2( , )0fx y的交點(diǎn)的曲線系方程是12( , )( , )0fx yfx y( 為參數(shù) ). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程22221xyakbk,其中22max,kab.當(dāng)22min,kab時(shí),表示橢圓 ; 當(dāng)2222min,max,abkab時(shí),表示雙曲線 . 106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式221212()()abxxyy或2222211212(1)()| 1tan| 1tabkxxxxyyco（弦端點(diǎn)a),(),(2211yxbyx，由方程0)y,x(fbkxy消去 y 得到02cbxax，0, 為直線ab的傾斜角，k為直線的斜率

42、） . 107.圓錐曲線的兩類對稱問題（ 1 ） 曲 線( , )0f x y關(guān) 于 點(diǎn)00(,)p xy成 中 心 對 稱 的 曲 線 是00(2- ,2)0fx xyy. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）曲線( , )0f x y關(guān)于直線0axbyc成軸對稱的曲線是22222 ()2 ()(,)0a axbycb axbycf xyabab. 108.“四線”一方程對于一般的二次曲線220axbxycydxeyf，用0 x x代2x，用0y y代2y，

43、用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxyxxyyax xbcy ydef，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到. 109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直 . 精品學(xué)習(xí)

44、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直. 113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直. 114證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為

45、判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 . 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律： ab=ba(2)加法結(jié)合律： (ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)= a b116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載117.共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b 0 )，a b存在實(shí)

46、數(shù)使a= bpab、 、三點(diǎn)共線|apabaptab(1)opt oatob. |abcdab、cd共線且abcd、不共線abtcd且abcd、不共線 . 118.共面向量定理向量 p 與兩個(gè)不共線的向量a、b 共面的存在實(shí)數(shù)對, x y,使paxby推論空間一點(diǎn) p 位于平面 mab 內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對, x y,使mpxmaymb，或?qū)臻g任一定點(diǎn)o，有序?qū)崝?shù)對,x y，使opomxmaymb. 119. 對 空 間 任 一 點(diǎn)o和 不 共 線 的 三 點(diǎn)a 、 b 、 c ， 滿 足opxoayobzoc（xyzk） ，則當(dāng)1k時(shí)，對于空間任一點(diǎn)o，總有 p、a、b、c 四點(diǎn)共面；當(dāng)1k

47、時(shí)，若o平面 abc，則 p、a、b、c 四點(diǎn)共面；若o平面 abc，則 p、a、b、c 四點(diǎn)不共面 cab、 、 、d四點(diǎn)共面ad與ab、ac共面adxaby ac(1)odxy oaxobyoc（o平面 abc）. 120.空間向量基本定理如果三個(gè)向量 a、b、c 不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使 pxaybzc推論設(shè) o、a、b、c 是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)p，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使opxoayobzoc. 121.射影公式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 4

48、7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載已知向量ab=a和軸l， e 是l上與l同方向的單位向量 .作 a 點(diǎn)在l上的射影a，作 b 點(diǎn)在l上的射影b，則| cosa baba，e=a e 122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a123(,)a aa，b123(,)b bb則(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab abab；(3)a123(,)aaa(r)；(4)a b1 12233a ba ba b；123.設(shè) a111(,)x y z，b222(,)xyz，則aboboa= 212121(,)xx yyzz. 124空間的線線平行或垂直設(shè)11

49、1(,)ax y zr，222(,)bxyzr，則a brrp(0)ab brr rr121212xxyyzz；abrr0a br r1212120 x xy yz z. 125.夾角公式設(shè)a123(,)a aa，b123(,)b bb，則cosa，b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 推論22222221 12233123123()()()a ba ba baaabbb，此即三維柯西不等式 . 126. 四面體的對棱所成的角精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 47 頁 - - - - -

50、 - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載四面體abcd中, ac與bd所成的角為,則2222|()() |cos2abcdbcdaac bd. 127異面直線所成角cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）為異面直線a b,所成角，,a br r分別表示異面直線a b,的方向向量）128.直線ab與平面所成角sin|ab marcabm(m為平面的法向量 ). 129. 若abc所在平面若與過若ab的平面成的角,另兩邊ac,bc與平面成的角分別是1、2,ab、為abc的兩個(gè)內(nèi)角，則2222212sin

51、sin(sinsin)sinab. 特別地 ,當(dāng)90acb時(shí),有22212sinsinsin. 130. 若abc所在平面若與過若ab的平面成的角,另兩邊ac,bc與平面成的角分別是1、2,ab、為abo的兩個(gè)內(nèi)角，則2222212tantan(sinsin) tanab. 特別地 ,當(dāng)90aob時(shí),有22212sinsinsin. 131.二面角l的平面角精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n為平面， 的

52、法向量） . 132.三余弦定理設(shè) ac 是內(nèi)的任一條直線，且 bc ac，垂足為 c，又設(shè) ao 與ab 所成的角為1，ab 與 ac 所成的角為2，ao 與 ac 所成的角為 則12coscoscos. 133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成 的 角 是1,2, 與 二 面 角 的 棱 所 成 的 角 是 ， 則 有22221212sinsinsinsin2sinsincos; 1212|180()(當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)等號(hào)成立 ). 134.空間兩點(diǎn)間的距離公式若 a111(,)x yz，b222(,)xyz，則,a bd=|abab ab222212121

53、()()()xxyyzz. 135.點(diǎn)q到直線l距離221(|)()|haba ba(點(diǎn)p在直線l上，直線l的方向向量 a=pa，向量b=pq). 136.異面直線間的距離|cd ndn(12,ll是兩異面直線，其公垂向量為n，cd、分別是12,ll上任一點(diǎn)，d為12,ll間的距離 ). 137.點(diǎn)b到平面的距離|ab ndn（n為平面的法向量，ab是經(jīng)過面的一條斜線，a）. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式2222cosdhmnm

54、n. 2222cos,dhmnmnea af. 2222cosdhmnmn（eaaf）. (兩條異面直線 a、b 所成的角為，其公垂線段aa的長度為 h.在直線 a、b 上分別取兩點(diǎn) e、f，a em,afn,efd). 139.三個(gè)向量和的平方公式2222()222abcabca bb cc a2222 | | cos,2 | | cos,2 | |cos,abcaba bbcb ccac a140. 長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為123lll、 、，夾角分別為123、,則有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立

55、體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）. 141. 面積射影定理cosss. (平面多邊形及其射影的面積分別是s、s，它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是l,側(cè)面積和體積分別是s斜棱柱側(cè)和v斜棱柱,它的直截面的周長和面積分別是1c和1s,則1scl斜棱柱側(cè). 1vsl斜棱柱. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載143作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行 . 144棱錐的平行截面的性質(zhì)如果

56、棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理 (歐拉公式 ) 2vfe(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù) e 和面數(shù) f). （1）e=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地 ,若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)f 與棱數(shù) e 的關(guān)系：12enf；（2） 若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m， 則頂點(diǎn)數(shù) v 與棱數(shù) e 的關(guān)系：12emv. 146.球的半徑是 r，則其體積343vr

57、, 其表面積24sr147.球的組合體(1)球與長方體的組合體 : 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體 : 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長 . (3) 球與正四面體的組合體 : 棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為612a,外接球的半徑為64a. 148柱體、錐體的體積13vsh柱體（s是柱體的底面積、h是柱

58、體的高） . 13vsh錐體（s是錐體的底面積、h是錐體的高） . 149.分類計(jì)數(shù)原理（ 加法原理）12nnmmm. 150.分步計(jì)數(shù)原理（ 乘法原理 ）12nnmmm. 151.排列數(shù)公式mna=)1() 1(mnnn=！)(mnn.(n，m n*，且mn)注:規(guī)定1! 0. 152.排列恒等式(1）1(1)mmnnanma; （2）1mmnnnaanm; （3）11mmnnana; 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（4）11nnnnnnnaaa; （5）1

59、1mmmnnnaama. (6) 1!2 2!3 3!(1)! 1n nn. 153.組合數(shù)公式mnc=mnmmaa=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(n n*，mn，且mn). 154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)mnc=mnnc; (2) mnc+1mnc=mnc1. 注:規(guī)定10nc. 155.組合恒等式（1）11mmnnnmccm; （2）1mmnnnccnm; （3）11mmnnnccm; （4）nrrnc0=n2; （5）1121rnrnrrrrrrccccc. (6)nnnrnnnnccccc2210. (7)14205312nnnnnnncccccc. (8)1321232

60、nnnnnnnncccc. (9)rnmrnrmnrmnrmccccccc0110. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 頁，共 47 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(10)nnnnnnnccccc22222120)()()()(. 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系mmnnam c！ . 157單條件排列以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列 . （1） “在位”與“不在位”某（特）元必在某位有11mna種；某（特）元不在某位有11mnmnaa（補(bǔ)集思想）1111mnnaa（著眼位置）11111mnmmn