第10節(jié)群的同態(tài)基本定理

1、近世代數(shù)1第第10節(jié)節(jié) 群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理主要內容主要內容:l 群的同態(tài)群的同態(tài)定義定義l 群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理近世代數(shù)2 群的同態(tài)定義群的同態(tài)定義定義定義1 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。如果存在一個從是兩個群。如果存在一個從G1到到G2的映射的映射f，使得，使得 x, y G1 有有 f(x y) = f(x) f(y), 則稱則稱f 是是G1到到G2的一個的一個同態(tài)同態(tài)(映射映射)，而稱群而稱群G1 與與G2 同態(tài)同態(tài).如果同態(tài)如果同態(tài)f是滿射，則稱是滿射，則稱f 是是G1到到G2的一個的一個滿同態(tài)滿同態(tài)(映映射射)，而稱群，而稱群G1 與與G2

2、滿同態(tài)滿同態(tài)，并記為，并記為G1 G2 .如果同態(tài)如果同態(tài)f是單射，則稱是單射，則稱f 是是G1到到G2的一個的一個單同態(tài)單同態(tài)(映映射射)，而稱群，而稱群G1 與與G2 單同態(tài)單同態(tài).近世代數(shù)3群的同態(tài)性質群的同態(tài)性質定理定理1 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。是兩個群。 f是從是從G1到到G2的的同同態(tài)，則態(tài)，則 (1) f(e1)=e2 ; (2) x G1 有有 f(x)-1= f(x-1).定理定理2 設設(G1, )是一個群，是一個群，( G2, )是一個代數(shù)系。如是一個代數(shù)系。如果果存在一個從存在一個從G1到到G2的滿射的滿射f，使得，使得 x, y G1 有有 f(

3、x y) = f(x) f(y), 則則( G2, )是一個群是一個群.近世代數(shù)4群的同態(tài)性質群的同態(tài)性質定理定理3 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。是兩個群。 f是從是從G1到到G2的滿的滿同態(tài)，則同態(tài)，則G2的單位元的單位元e2的完全原象的完全原象 f -1(e2)=x | x G1， f (x)=e2是是G1的一個正規(guī)子群的一個正規(guī)子群.定義定義2 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。是兩個群。 f是從是從G1到到G2的滿的滿同態(tài)，同態(tài)，e2是是G2的單位元，則的單位元，則G1的正規(guī)子群的正規(guī)子群f -1(e2)稱為稱為同態(tài)同態(tài)f 的的核核，記為，記為Kerf。f(G

4、1)稱為稱為f 下下G1的同態(tài)象的同態(tài)象.顯然，當顯然，當 f是同態(tài)是同態(tài)(未必是滿同態(tài)未必是滿同態(tài))，則，則G1 f(G1).近世代數(shù)5群的同態(tài)性質群的同態(tài)性質定理定理4 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。是兩個群。 f是從是從G1到到G2的滿的滿同態(tài)，則同態(tài)，則(1)如果如果H1是是G1的子群，那么的子群，那么f(H1)是是G2的子群；的子群；(2)如果如果N1是是G1的正規(guī)子群，那么的正規(guī)子群，那么f(N1)是是G2的正規(guī)子群；的正規(guī)子群；(3)如果如果H2是是G2的子群，那么的子群，那么f -1(H2)是是G1的子群；的子群；(4)如果如果N2是是G2的正規(guī)子群，那么的正規(guī)子

5、群，那么f -1(N2)是是G1的正規(guī)子群的正規(guī)子群.定理定理5 設設N是是G的正規(guī)子群，則的正規(guī)子群，則GG/N. 如果如果f是是G到到G/N的同態(tài)，則的同態(tài)，則Kerf=N. (*)近世代數(shù)6群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理定理定理6(群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理) 設設(G1, )和和( G2, )是兩個是兩個群。群。 f 是從是從G1到到G2的滿同態(tài)，的滿同態(tài)，E=Kerf，則，則 G1/E G2 .定理定理7 群群(G1, )到群到群(G2, )的任一滿同態(tài)的任一滿同態(tài)f 均可分解成均可分解成一一個自然同態(tài)個自然同態(tài)g與一個同構與一個同構h的合成，即的合成，即f=hg并且并且h是

6、唯是唯一一的的.定理定理8 設設(G1, )和和( G2, )是兩個群。是兩個群。 f 是從是從G1到到G2的滿的滿同態(tài)，同態(tài)，N2是是G2的正規(guī)子群，的正規(guī)子群， N1 =f -1(N2)，則，則 G1/ N1 G2/ N2 .近世代數(shù)7群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理定理定理9 設設N是是G的正規(guī)子群，的正規(guī)子群，H是是G的任一子群，則的任一子群，則NH是是H的正規(guī)子群，且的正規(guī)子群，且HN/N H/(NH).例例1 設設G是一個是一個mn階群，階群，N是是G的一個的一個n階正規(guī)子群，階正規(guī)子群，m與與n互素互素. 試證：試證： N是是G的唯一的的唯一的n階正規(guī)子群階正規(guī)子群.近世代數(shù)8總

7、總 結結主要內容主要內容l 群的定義群的定義l 群的基本性質群的基本性質l 子群的判別定理子群的判別定理l 變換群、置換群、循環(huán)群變換群、置換群、循環(huán)群l 陪集的定義及其性質陪集的定義及其性質l 拉格朗日定理及其應用拉格朗日定理及其應用l 正規(guī)子群與商群正規(guī)子群與商群l 群的同態(tài)基本定理群的同態(tài)基本定理近世代數(shù)9基本要求基本要求l 判斷或證明給定集合和運算是否構成群判斷或證明給定集合和運算是否構成群l 熟悉群的基本性質熟悉群的基本性質l 能夠證明能夠證明G的子集構成的子集構成G的子群的子群l 熟悉熟悉n元元置換的表示方法、乘法以及置換的表示方法、乘法以及n元元置換群置換群l 會求循環(huán)群的生成元及其子群會求