人大微積分課件52微積分基本定理

1、一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則二、積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則三、微積分基本公式三、微積分基本公式第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本定理微積分基本定理1.1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，且且 ，則，則 存在，如積分上限存在，如積分上限 在在 上任意變動(dòng)，那么對(duì)于每一取定的上任意變動(dòng)，那么對(duì)于每一取定的 值，值，均有唯一的數(shù)均有唯一的數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，所以與之對(duì)應(yīng)，所以 是一個(gè)定義在是一個(gè)定義在 上的關(guān)于上的關(guān)于 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為 tf ba, bax, dttfxa xx dttfxa dttfxa ba, dttfxxa bxa

2、ba,x一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)稱(chēng)稱(chēng) 為積分上限函數(shù)為積分上限函數(shù). . x x65圖2.2.積分上限函數(shù)的幾何意義積分上限函數(shù)的幾何意義 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 在幾何上表示為右端線(xiàn)可以變動(dòng)的曲邊在幾何上表示為右端線(xiàn)可以變動(dòng)的曲邊梯形的面積梯形的面積 . . abxyoxx )( x x3.3.性質(zhì)性質(zhì) 證證 dttfxxxxa xxx65圖 dttfdttfxaxxa xf ba, dttfxxa ba, xfx bxa (1)(1)定理定理1 1 若若 在在 上連續(xù)，則積分上連續(xù)，則積分上限函數(shù)上限函數(shù) 在在 上具有導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù) . . fxxx00limli

3、m fxlim xf即：即： xfxdxxd xaxxxxadttfdttfdttf xfdttfxxxxxx,另一方面也說(shuō)明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，另一方面也說(shuō)明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，從而可能用原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分從而可能用原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分.此定理一方面說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，此定理一方面說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，(2)(2)定理定理2 2 若函數(shù)若函數(shù) 在在 上連續(xù)，則積上連續(xù)，則積分上限函數(shù)分上限函數(shù) 是是 在區(qū)間在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù). . dttfxxa ba, xf xf ba, xfdttfdxdxx 0 xfdttfdxdxx 01.1.法則法

4、則1 1 若若 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 是是 上的某一定點(diǎn)，則上的某一定點(diǎn)，則 ，有，有 xf0 x ba, bax, ba,二、積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則 x bax, xxfdttfdxdxx 02.2.法則法則2 2 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)， 是是 上的某一定點(diǎn)，函數(shù)上的某一定點(diǎn)，函數(shù) 可微，可微，且且 ，則有，則有 xf ba, ba,0 x證證 令 ， ， dttfuux0 xu dttfdxddttfdxduxxx00 uufdtdudttfdudux0 xxf3.3.法則法則3 3 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)， ， ，且，且 與與都可微，則有都可

5、微，則有 xf ba, bax, bax, x x xxfxxfdttfdxdxx 證證 bax,0 dttfdttfdttfxxxxxx00 dttfdttfxxxx00 dttfdxddttfdxddttfdxdxxxxxx00 xxfxxf例例1 1 求求dtttdxdx1cossin解解 由法則由法則1 1得得xxdtttdxdxcossincossin14.4.例題例題例例2 2 求求dttdxdx20tan解解 由法則由法則2 2得得 2220tan2tantan2xxxxdttdxdx解解 由法則由法則3 3得得例例3 3 求求dttxx32411 242343411111132

6、xxxxdttdxdxx81221213xxxx例例4 4 求求21cos02limxdtextx解解 這是一個(gè)這是一個(gè) 型未定式，可利用洛必達(dá)法型未定式，可利用洛必達(dá)法則計(jì)算，分子為則計(jì)算，分子為”“00dtedtextxtcos11cos22由法則由法則2得得 xexedtedxdxxxtsincos222coscoscos1因此因此 exxexdtexxxtx212sinlimlim22cos021cos0 dttfxxa證證 bxa1.1.定理定理3 3 若函數(shù)若函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)在區(qū)間間 上的一個(gè)原函數(shù)，則上的一個(gè)原函數(shù)，則 xf xf該公式叫微積分基本公式，也叫牛頓萊

7、布該公式叫微積分基本公式，也叫牛頓萊布尼茨公式尼茨公式. . ba, afbfdxxfba 三、微積分基本公式 cxfx ( 為常數(shù)). c令 ， 0,dttfaaxaa cafa afc afbfdxxfba令 ， dxxfdttfbbxbaba , cbfb則 . 2.2.說(shuō)明說(shuō)明 dxxfbaba, dttfxabx (2)微積分基本公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系， 是它的任一原函數(shù)在 上的增量，也是函數(shù) 在 處的函數(shù)值. xfba,(1)(1)微積分基本公式使用的條件是，被積函數(shù)微積分基本公式使用的條件是，被積函數(shù) 在積分區(qū)間在積分區(qū)間 上必須連續(xù)，若不滿(mǎn)足上必須連續(xù)，若不滿(mǎn)足條件

8、，不能使用公式條件，不能使用公式. .(3)(3)為方便起見(jiàn)，記為方便起見(jiàn)，記 ， baxfafbf afbfxfdxxfbaba例例6 6 求求 dxx121解解 2ln2ln1lnln11212xdxx3.3.例題例題 例例5 5 求求 dxx1021解解 340131311103102xxdxx例例7 7 設(shè)設(shè) ，求 1,211, 12xxxxxf dxxf2011/212xyodxxdxx21210211213102312121xxx38313821121 dxxfdxxfdxxf102120解解 解解 當(dāng) 時(shí)， 10 x dttdttfxxx0203033131xtx dttfxx0求求 ，在，在 上的表達(dá)式上的表達(dá)式. 2 , 0例例8 8 設(shè)設(shè) ， 21 ,10 ,2xxxxxfdttdttx110261212131212103xttx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 21 x dttfxx0 dttfdttfx110所以所以， 21 ,6121, 10 ,3123xxxxx例例9 9 求求 dxx202sin1dxxxdxxx2440cossinsincos解解 dxxxdxx20220cossin2sin1dxxx20cossin2440sincoscossinxxxx122由例由例7，例，例8，例，例9可見(jiàn)，若被積函數(shù)在積分區(qū)可見(jiàn)，若被積函數(shù)在積分區(qū)間上存在有限個(gè)第一類(lèi)間